隐函数及几何应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三、小结 思考题,一、一个方程的情形,二、方程组的情形,第一节 隐函数的求导公式,解：,解,令,解法,1,例,3,解法,2,例,3,*,解,1(,公式法,):,令,则,解,解,解,解,【,思考题,】,【,解,】,解,则二元,线性方程组的解为,注意,分母都为原方程组的系数行列式,.,解二元线性方程组,预备知识：,将所给方程的两边对,y,求导，用同样方法得,第二节 隐函数组,下面推导公式：,即，,等式两边对,x,求导，,现,这是关于,的,二元线性方程组。,方程组有唯一解。,类似，对,等式两边对,y,求导，,得关于,的线性方程组。,解,方程组得,特别地，方程组,例,5,设,解,1,：,令,则,解,2,：,方程两端对,x,求导。,注意：,即,得,即,隐函数的求导公式,小结,隐函数的求导法则,例,6,已知,解：,方程组关于,x,求导,方程组关于,y,求导,例,6,已知,解：,第三节 微分法在几何上的应用,一、空间曲线的切线与法平面,二、曲面的切平面与法线,三、小结 思考题,复习：空间直线的,对称式方程,直线的对称式方程,复习：平面的点法式,方程,设空间曲线,的方程,割线,的方程为,的方程为,割线,法平面：,过,M,0,(,x,0,y,0,z,0,),点且与切线垂直的平面,曲线在,M,0,处的切线方程,法平面：,过,M,0,(,x,0,y,0,z,0,),点且与切线垂直的平面,曲线在,M,0,处的切线方程,*,法平面,法平面方程为,特别地，,两个柱面的交线,1.,空间曲线方程为,2.,空间曲线方程为,两个曲面的交线,2.,空间曲线方程为,切线方程为,法平面方程为,两个曲面的交线,2.,空间曲线方程为,切线的方向向量,曲面,F(x,y,z,)=0,切平面的法向量,两个曲面的交线,曲面,G(x,y,z,)=0,切平面的法向量,令,故所求切线方程为：,法平面方程为,所求切线方程为,法平面方程为,设曲面方程为,在曲面上,任取一条,过点,M,0,曲线在,M,0,处,的切向量,的曲线,曲面,曲线,1,曲面,切平面方程为,法线方程为,曲面在,M,0,处的,法向量,即,垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,.,的切平面,及法线方程,解,令,切平面方程,法线方程,的切平面,方程,解,为曲面上的切点,得切点,切平面,如何求切点？,思考题,解答,设切点,又依题意知法向量,又切点满足平面和椭球面方程,【,解,】,设 为曲面上的切点,切平面方程为,依题意，切平面方程平行于已知平面，得,【,分析,】,为隐式情形（待定常数法）,因为 是曲面上的切点，,所求切点为,满足方程,切平面方程,(1),切平面方程,(2),令,那么曲面在点,M,处的切平面方程为,曲面在点,M,处的法线方程为,解,切平面方程为,法线方程为,并假定法向量的方向是向上的，,则,曲面法向量,的,方向余弦,为,:,在点,M,的切,平面的方程：,一元函数微分几何意义,切平面上点的竖坐标的增量,因为曲面在,M,处的切平面方程为,法平面,*,曲面,切平面方程为,法线方程为,则令,那么曲面在点,M,处的切平面方程为,曲面在点,M,处的法线方程为,解,解,解,