电路第五版第三章习题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,3,章 电阻电路的一般分析,重点,熟练掌握电路方程的列写方法：,支路电流法,网孔电流法,回路电流法,结点电压法,下 页,返 回,线性电路的一般分析方法,(1),普遍性：对任何线性电路都适用。,复杂电路的一般分析法就是根据,KCL,、,KVL,及元件电压和电流关系列方程、解方程。根据列方程时,所选变量的不同,可分为支路电流法、网孔电流法、回路电流法和结点电压法。,（,2,）,元件的电压、电流关系特性。,（,1,）,电路的连接关系,KCL,，,KVL,定律。,方法的基础,(2),系统性：计算方法有规律可循。,下 页,上 页,返 回,网络图论,（,Network Graph Theory,),B,D,A,C,D,C,B,A,哥尼斯堡七桥难题,图论是拓扑学的一个分支，是富有趣味和应用极为广泛的一门学科。,下 页,上 页,返 回,欧拉将哥尼斯堡七桥问题转化为仅包含点、线的拓扑结构,莱昂哈德,欧拉（,Leonhard,Euler,）,2007,年是瑞士数学家、物理学家兼工程师莱昂哈德,欧拉诞辰,300,周年纪念。,1707,年欧拉生于瑞士巴塞尔，,13,岁入读巴塞尔大学，,15,岁大学毕业，,16,岁获硕士学位，,19,岁开始发表论文，,26,岁时担任了彼得堡科学院教授，约,30,岁时右眼失明，,60,岁左右完全失明，欧拉,1783,年,76,岁在俄国彼得堡去世。在失明后，他仍然以口述形式完成了几本书和,400,多篇论文。,欧拉被公认为人类历史上成就最为斐然的数学家之一。在数学及许多分支中都可以见到很多以欧拉命名的常数、公式和定理，他的工作使得数学更接近于现在的形态。他不但为数学界作出贡献，更把数学推至几乎整个物理的领域。此外欧拉还涉及建筑学、弹道学、航海学等领域。,瑞士教育与研究国务秘书,Charles,Kleiber,曾表示：,“,没有欧拉的众多科学发现，今天的我们将过着完全不一样的生活。,”,法国数学家拉普拉斯则认为：读读欧拉，他是所有人的老师。,数学史上公认的,4,名最伟大的数学家分别是：,阿基米德、牛顿、欧拉和高斯。,在几何方面，欧拉解决了哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡曾是德国城市，后属苏联。普雷格尔河穿城而过，并绕流河中一座小岛而分成两支，河上建了,7,座桥。传说当地居民想设计一次散步，从某处出发，经过每座桥回到原地，中间不重复。这就是今天的,一笔画,问题，但在当时没人能解决。,1736,年欧拉发表了图论方面的第一篇论文，解决了著名的哥尼斯堡七桥难题，他将这个问题变成一个数学模型，用点和线画出网络状图，证明这种走法不存在。对此类问题的讨论研究，事实上引导了图论和拓扑学的发展。,相隔一百年后，在,1847,年基尔霍夫第一次应用图论的原理分析电网，从而把图论引进到工程技术领域。,20,世纪,50,年代以来，图论的理论得到了进一步发展，将复杂庞大的工程系统和管理问题用图描述，可以解决很多工程设计和管理决策的最优化问题，例如，完成工程任务的时间最少，距离最短，费用最省等等。,图论受到数学、工程技术及经营管理等各方面越来越广泛的重视。,3.1,电路的图,1.,电路的图,抛开元件性质,一个元件作为一条支路,元件的串联及并联组合作为一条支路,6,5,4,3,2,1,7,8,5,4,3,2,1,6,有向图,下 页,上 页,返 回,R,4,R,1,R,3,R,2,R,5,u,S,+,_,i,(1),图的定义,(,Graph),G=,支路，结点,电路的图是用以表示电路几何结构的图形，图中的支路和结点与电路的支路和结点一一对应。,a.,图中的结点和支路各自是一个整体。,b.,移去图中的支路，与它所联接的结点依然存在，,因此允许有孤立结点存在。,c.,如把结点移去，则应把与它联接的全部支路同时移去。,下 页,上 页,返 回,当用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路的图以及它的结点数、支路数将随之不同。,从图,G,的一个,结,点出发沿着一些支路连续移动到达另一,结,点（或回到原出发点）所经过的支路构成路径。,(2),路径,（,3,）连通图,图,G,的任意两,结,点间至少有一条路经时称为连通图，非连通图至少存在两个分离部分。,下 页,上 页,返 回,(3),子图,若图,G,1,中所有支路和结点都是图,G,中的支路和结点，则称,G,1,是,G,的子图。,树,(Tree),T,是连通图的一个子图满足下列条件：,(1),连通,(2),包含所有,结,点,(3),不含闭合路径,下 页,上 页,返 回,树支：构成树的支路,连支：属于,G,而不属于,T,的支路,2,）树支的数目是一定的：,连支数：,不是树,树,特点,1,）对应一个图有很多的树,下 页,上 页,返 回,书,P55,图,3-3,回路,(Loop),L,是连通图的一个子图，构成一条闭合路径，并满足：,(1),连通，,(2),每个,结,点关联,2,条支路,1,2,3,4,5,6,7,8,2,5,3,1,2,4,5,7,8,不是回路,回路,2,）基本回路的数目是一定的，为连支数,特点,1,）对应一个图有很多的回路,3,）对于平面电路，网孔数为基本回路数,下 页,上 页,返 回,平面电路：各条支路除结点外不再交叉。,基本回路,(,单连支回路,),1,2,3,4,5,6,5,1,2,3,1,2,3,6,支路数树枝数连支数,结点数,1,基本回路数,结论,结点、支路和基本回路关系,基本回路具有独占的一条连支，且这一连支不出现在其它基本回路中。,下 页,上 页,返 回,例,8,7,6,5,4,3,2,1,图示为电路的图，画出三种可能的树及其对应的基本回路。,8,7,6,5,8,6,4,3,8,2,4,3,下 页,上 页,返 回,3.2,KCL,和,KVL,的独立方程数,1.,KCL,的独立方程数,6,5,4,3,2,1,4,3,2,1,1,4,3,2,4,1,2,3,0,结论,n,个结点的电路,独立的,KCL,方程为,n,-1,个。,下 页,上 页,返 回,2.,KVL,的独立方程数,KVL,的独立方程数,=,基本回路数,=b,(n,1),结论,n,个结点、,b,条支路的电路,独立的,KCL,和,KVL,方程数为：,下 页,上 页,返 回,3.3,支路电流法,(branch current method),对于有,n,个,结,点、,b,条支路的电路，要求解支路电流,未知量共有,b,个。只要列出,b,个独立的电路方程，便可以求解这,b,个变量。,以各支路电流为未知量列写电路方,程分析电路的方法。,1,.,支路电流法,2,.,独立方程的列写,（,1,）从电路的,n,个结点中任意选择,n-1,个结点列写,KCL,方程,（,2,）选择基本回路列写,b-(n-1),个,KVL,方程,下 页,上 页,返 回,R,1,R,2,R,3,R,4,R,5,R,6,+,i,2,i,3,i,4,i,1,i,5,i,6,u,S,1,2,3,4,例,1,3,2,有,6,个支路电流，需列写,6,个方程。,KCL,方程,:,取网孔为基本回路，沿顺时针方向绕行列,KVL,写方程,:,结合元件特性消去支路电压得：,回路,1,回路,2,回路,3,1,2,3,下 页,上 页,返 回,支路电流法的一般步骤：,(1),标定各支路电流（电压）的参考方向；,(2),选定,(,n,1),个,结,点,，列写其,KCL,方程；,(3),选定,b,(,n,1),个独立回路，列写其,KVL,方程；,(,元件特性代入,),(4),求解上述方程，得到,b,个支路电流；,(5),进一步计算支路电压和进行其它分析。,支路电流法的特点：,支路法列写的是,KCL,和,KVL,方程，所以方程列写方便、直观，但方程数较多，宜于在支路数不多的情况下使用。,下 页,上 页,返 回,例,1.,结点,a,：,I,1,I,2,+I,3,=0,(1),n,1=1,个,KCL,方程：,求各支路电流及电压源各自发出的功率。,解,(2),b,(,n,1)=2,个,KVL,方程：,11,I,2,+,7,I,3,=,6,U,=,U,S,7,I,1,11,I,2,=70-6=64,70V,6V,7,b,a,+,+,I,1,I,3,I,2,7,11,下 页,上 页,返 回,1,2,例,2.,结点,a,：,I,1,I,2,+I,3,=0,(1),n,1=1,个,KCL,方程：,列写支路电流方程,.(,电路中含有理想电流源）,解,1.,(2),b,(,n,1)=2,个,KVL,方程：,11,I,2,+,7,I,3,=,U,7,I,1,11,I,2,=70-U,a,1,2,70V,6A,7,b,+,I,1,I,3,I,2,7,11,增补方程：,I,2,=6A,+,U,_,1,解,2.,70V,6A,7,b,+,I,1,I,3,I,2,7,11,a,由于,I,2,已知，故只列写两个方程,结点,a,：,I,1,+I,3,=6,避开电流源支路取回路：,7,I,1,7,I,3,=70,下 页,上 页,返 回,例,3.,结点,a,：,I,1,I,2,+I,3,=0,列写支路电流方程,.(,电路中含有受控源）,解,11,I,2,+,7,I,3,=,5U,7,I,1,11,I,2,=70-5,U,增补方程：,U,=7,I,3,a,1,2,70V,7,b,+,I,1,I,3,I,2,7,11,+,5,U,_,+,U,_,有受控源的电路，方程列写分两步：,(1),先将受控源看作独立源列方程；,(2),将控制量用未知量表示，并代入,(1),中所列的方程，消去中间变量。,下 页,上 页,返 回,如果将支路电流用支路电压表示，然后代入,KCL,方程，连同支路电压的,KVL,方程，可得到以支路电压为变量的,b,个方程，这就是,支路电压法,。,3.4,、,5,网孔电流法和回路电流法,(mesh current method)(loop current method),基本思想,为减少未知量,(,方程,),的个数，假想每个回路中有一个回路（网孔）电流。各支路电流可用回路（网孔）电流的线性组合表示。来求得电路的解。,1.,回路电流法,以基本回路中的回路电流为未知量,列写电路方程分析电路的方法。当,取网孔电流为未知量时，称网孔法,i,1,i,3,u,S1,u,S2,R,1,R,2,R,3,b,a,+,+,i,2,i,m,1,i,m,2,独立回路为,2,。选图示的两个独立回路，支路电流可表示为：,下 页,上 页,返 回,回路电流在独立回路中是闭合的，对每个相关结点均流进一次，流出一次，所以,KCL,自动满足。因此回路电流法是对独立回路列写,KVL,方程，方程数为：,列写的方程,与支路电流法相比，方程数减少,n,-,1,个。,回路,1,：,R,1,i,m,1,+,R,2,(,i,m,1,-,i,m,2,),-,u,S1,+,u,S2,=0,回路,2,：,R,2,(,i,m,2,-,i,m,1,)+,R,3,i,m,2,-,u,S2,=0,整理得：,(,R,1,+,R,2,),i,m,1,-,R,2,i,m,2,=,u,S1,-,u,S2,-,R,2,i,m,1,+(,R,2,+,R,3,),i,m,2,=,u,S2,i,1,i,3,u,S1,u,S2,R,1,R,2,R,3,b,a,+,+,i,2,i,m,1,i,m,2,2,.,方程的列写,下 页,上 页,返 回,R,11,=R,1,+R,2,回路,1,的自电阻。等于回路,1,中所有电阻之和。,观察可以看出如下规律：,R,22,=R,2,+R,3,回路,2,的自电阻。等于回路,2,中所有电阻之和。,自电阻总为正,。,R,12,=R,21,=R,2,回路,1,、回路,2,之间的互电阻。,当两个回路电流流过相关支路方向相同时，互电阻取正号；否则为负号。,u,m,1,=u,S1,-,u,S2,回路,1,中所有电压源电压的代数和。,u,m,2,=u,S2,回路,2,中所有电压源电压的代数和。,当电压源电压方向