数学圆锥曲线复习课件

*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,圆,锥,曲,线,椭圆,双曲线,抛物线,定义,标准方程,几何性质,直线与圆锥曲线,的位置关系,一、知识点框架,双曲线的定义：,椭圆的定义：,二、基础知识点梳理,1,、圆锥曲线的定义,椭圆的标准方程：,双曲线的标准方程：,抛物线的标准方程：,2,、圆锥曲线的标准方程,.,F,M,.,.,F,M,.,.,F,M,.,椭,圆,抛,物,线,双,曲,线,3,、圆锥曲线的性质,通径长,焦点弦,.,F,M,.,.,F,M,.,.,F,M,.,范围：,对称性：,顶点：,离心率：,焦点：,x,轴,y,轴,原点,对称，长轴长,为,2,a,短轴长为,2,b,关于焦点所在轴对称,x,轴,y,轴,原点对称，长轴长为,2,a,短轴长为,2,b,无,.,F,M,.,.,F,M,.,.,F,M,.,通径长：,渐近线,无,无,准线,无,无,无,无,4,、直线与圆锥曲线的位置关系：,直线与圆锥曲线的交点,计算,注意特殊情况,直线与圆锥曲线的弦长,弦长公式,直线与圆锥曲线的弦中点,韦达定理,或点差法,(1),弦长公式,注意：,一直线上的任意两点都有距离公式或弦长公式,(2),面积求解,消元,一元二次方程,消,y,消,x,O,A,B,c,x,y,(3),直线与圆锥曲线有关弦的中点问题,解题,思路：,圆锥曲线定义的应用,【技法点拨】,圆锥曲线定义的应用技巧,（,1,）在求点的轨迹问题时，若所求轨迹符合圆锥曲线的定义，则根据其直接写出圆锥曲线的轨迹方程,.,（,2,）焦点三角形问题，在椭圆和双曲线中，常涉及曲线上的点与两焦点连接而成的“焦点三角形”，处理时常结合,圆锥曲线的定义,及,解三角形的知识,解决,.,（,3,）在抛物线中，常利用定义，以达到“到焦点的距离”和“到准线的距离”的相互转化,.,例,1,：,(1),一动圆与两圆：,x,2,+,y,2,=1,和,x,2,+,y,2,-6,x,+5=0,都外切，则动圆圆心的轨迹为,(),（,A,）抛物线 （,B,）双曲线,（,C,）双曲线的一支 （,D,）椭圆,(2),（,2011,辽宁高考）已知,F,是抛物线,y,2,x,的焦点，,A,，,B,是该抛物线上的两点，,|,AF,|,|,BF,|,3,，则线段,AB,的中点到,y,轴的距离为,(),（,A,）（,B,）,1,（,C,）（,D,）,C,C,练习一：,C,例,2,：,已知点,P,是椭圆 一点 ，,F,1,和,F,2,是椭圆的焦点，,若,F,1,PF,2,=90,，求,F,1,PF,2,的面积,若,F,1,PF,2,=60,，求,F,1,PF,2,的面积,若,F,1,PF,2,=,，求,F,1,PF,2,的面积,x,y,o,P,F,1,F,2,d,改成双曲线呢,?,求圆锥曲线的方程,【技法点拨】,1.,求圆锥曲线方程的一般步骤,一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用,“先定形，后定式，再定量”,的步骤,.,(1),定形,指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置,.,(2),定式,根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为,mx,2,+,ny,2,=1(,m,0,n,0).,(3),定量,由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小,.,2.,求椭圆、双曲线的标准方程,最常用方法为,定义法、待定系数法,，求解时注意有两个定形条,件,(,如已知,a,，,b,，,c,，,e,中的任意两个,),和一个定位条件,(,对称轴、,焦点或准线等,),对于双曲线要注意双曲线,与渐近线 的关系，这两条渐近线方程可以合并表示为,，一般地，与双曲线 有共同渐近线的双曲,线方程是,3.,求抛物线标准方程,需一个定位条件（如顶点坐标、焦点坐标或准线方程），以及一个定形条件（即已知,p,）,4.,几个注意点,（,1,）在求解对应圆锥曲线方程时，还要特别注意隐含条件，如,双曲线,有,c,2,=,a,2,+,b,2,，,椭圆,有,a,2,=,b,2,+,c,2,.,（,2,）“求轨迹方程”和“求轨迹”是两个不同概念，“求轨迹”除了首先要求我们求出方程，还要说明方程轨迹的形状，这就需要我们对各种基本曲线方程和它的形状的对应关系了如指掌,.,例,1,：,(1),已知点,P,(3,，,-4),是双曲线,渐近线上的一点，,E,，,F,是左、右两个焦点，若 则双,曲线方程为,(),（,A,）（,B,）,（,C,）（,D,）,(2),（,2011,新课标全国高考）在平面直角坐标系,xOy,中，椭圆,C,的中心为原点，焦点,F,1,，,F,2,在,x,轴上，离心率为 过,F,1,的直,线,l,交,C,于,A,，,B,两点，且,ABF,2,的周长为,16,，那么,C,的方程为,_,C,【解析】,(1),选,C,.,不妨设,E,（,-c,0,），,F,（,c,0,），则,（,3+c,-4,）,（,3-c,-4,）,=25-c,2,=0,，所以,c,2,=25.,可排除,A,、,B.,又由,D,中双曲线的渐近线方程为 点,P,不在其上，排除,D,故选,C.,(2),设椭圆方程为,因为离心率为,所以,解得 即,a,2,2,b,2,.,又,ABF,2,的周长为,AB,+,AF,2,+,BF,2,AF,1,+,BF,1,+,BF,2,+,AF,2,（,AF,1,+,AF,2,）,+,（,BF,1,+,BF,2,）,2,a,2,a,4,a,，,所以,4,a,16,，,a,4,，所以,所以椭圆方程为,答案：,【想一想】,解答题,1,的方法有哪些？解答题,2,的关键点是什么？,提示：,（,1,）解答题,1,可利用排除法，也可利用待定系数法直接求解,.,（,2,）解答题,2,的关键点是将过焦点的三角形的边利用椭圆定义转化为与长轴长,2a,的关系,.,练习四：,圆锥曲线的性质及应用,【技法点拨】,圆锥曲线性质的求解方法,椭圆、双曲线、抛物线的几何性质，主要指图形的范围、对称性，以及顶点坐标、焦点坐标、中心坐标、离心率、准线、渐近线以及几何元素,a,，,b,，,c,，,e,之间的关系等,1,离心率,求离心率时一定要尽量结合曲线对应图形，寻找与,a,，,b,，,c,有,关的关系式,.,对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法：,（,1,）代入法就是代入公式 求离心率；（,2,）列方程法就,是根据已知条件列出关于,a,b,c,的关系式,，然后把这个关系式,整体转化为关于,e,的方程，解方程即可求出,e,值,.,2.,范围,解答范围问题时特别注意题中隐含的不等关系，如曲线方程中,x,y,的范围,.,常用方法也有两个,.,（,1,）解不等式法，即根据题设条件列出关于待求量的不等式，解不等式即得其取值范围；,（,2,）求函数值域法，即把待求量表示成某一变量的函数，函数的值域即为待求量的取值范围,.,3.,最值,圆锥曲线中的最值问题主要有与圆锥曲线有关的线段长度、图形面积等,.,研究的常见途径有两个：,（,1,）利用平面几何中的最值结论；,（,2,）把几何量用目标函数表示出来，再用函数或不等式知识求最值,.,建立“目标函数”，借助代数方法求最值，要特别注意自变量的取值范围,.,例,1,：（,2011,福建高考）设圆锥曲线,C,的两个焦点分别为,F,1,，,F,2,，若曲线,C,上存在点,P,满足,|,PF,1,|,F,1,F,2,|PF,2,|,4,32,，则曲线,C,的离心率等于,(),（,A,）（,B,）,（,C,）（,D,）,【解析】,选,A.,设,|,F,1,F,2,|,2,c,(,c,0),，,由已知,|,PF,1,|,F,1,F,2,|,PF,2,|,432,，,得 且,|,PF,1,|,PF,2,|,，,若圆锥曲线,C,为椭圆，则,2,a,|,PF,1,|,|,PF,2,|,4,c,，,离心率,若圆锥曲线,C,为双曲线，,则 离心率,【归纳】,解答本题的注意点,.,提示：,解答本题对已知条件利用时，要分类讨论，同时注意对椭圆及双曲线定义的理解,.,直线与圆锥曲线,【技法点拨】,1.,直线与圆锥曲线交点问题的解题思路,直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解,的讨论，即联立方程组,通过消去,y,(,也可以消去,x,),得到,x,的方程 的形式,并对方程进行讨论,。,这时要注意考虑,a,0,和,a,0,两种情况，对双曲线和抛物线而言，一个公共点的情况除,a,0,，,0,外，直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时，都只有一个交点,(,此时直线与双曲线、抛物线属相交情况,).,2.,中点弦问题的常规处理方法,(1),通过方程组转化为一元二次方程，结合根与系数的关系及中点坐标公式进行求解；,(2),点差法，设出两端点的坐标，利用中点坐标公式求解；,(3),中点转移法，先设出一个端点的坐标，再借助中点设出另一个端点的坐标，而后消去二次项,.,3.,直线与圆锥曲线相交弦长的求解方法,利用弦长公式求解：,直线,l,:,y,=,kx,+,b,与圆锥曲线交于,A,（,x,1,y,1,）、,B,（,x,2,y,2,），则弦长为,例,1,：,过点,(0,2),与抛物线 只有一个公共点的直线有,(,),（,A,）,1,条,(B)2,条,(C)3,条,(D),无数多条,C,.,P,题型一：直线与圆锥曲线的位置关系,课堂互动讲练,例,1,：,(2008,年高考北京卷,),已知,ABC,的顶点,A,，,B,在椭圆,x,2,3,y,2,4,上，,C,在直线,l,：,y,x,2,上，且,AB,l,.,(1),当,AB,边通过坐标原点,O,时，求,AB,的长及,ABC,的面积；,(2),当,ABC,90,，且斜边,AC,的长最大时，求,AB,所在直线的方程,【思路点拨】,(1),首先由条件求出直线,AB,的方程，然后联立直线与椭圆的方程，整理成关于,x,的一元二次方程，利用根与系数的关系求出弦长,|,AB,|,，进而求出,ABC,的面积；,(2),首先用待定系数法设出直线,AB,的方程，然后建立斜边长,|,AC,|,是某一变量的函数关系式，最后求出函数取最大值时的变量值，进而求出直线,AB,的方程，在解题时，注意运用函数的思想方法,解：,(1),因为,AB,l,，且,AB,边通过点,(0,0),，所以,AB,所在直线的方程为,y,x,.,设,A,，,B,两点坐标分别为,(,x,1,，,y,1,),，,(,x,2,，,y,2,),课堂互动讲练,课堂互动讲练,课堂互动讲练,所以,|,AC,|,2,|,AB,|,2,|,BC,|,2,m,2,2,m,10,(,m,1),2,11.,所以当,m,1,时，,AC,边最长,(,这时,12,64,0),此时,AB,所在直线的方程为,y,x,1.,例,3,：,(1),求抛物线,y,2,=2x,过点,(-2,0),的弦的中点轨迹,(2),求椭圆,的一组斜率为,2,的平行弦,中点轨迹,(3),.,例,2:,(1),求椭圆 上的点,与定点,(0,1),的最大距离；,与直线,2,x,-,y,+10=0,的最大距离。,分类讨论思想,【技法点拨】,分类讨论思想的认识及应用,分类讨论思想，实际上是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略,.,分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法和技巧，做到确定对象的全体，明确分类的标准，不重不漏地讨论,.,例,1,：,椭圆的中心是坐标原点，长轴在,x,轴上，离心率,已知点 到这个椭圆上点的最远距离为 求这个椭圆方,程，并求椭圆上到点,P,的距离为 的点的坐标,.,【解析】,设椭圆方程为,由,a,2,=,b,2,+,c,2,得,a,=2,b,故椭圆方程可化为 设,M,（,x,y,）,是椭圆上任意一点，则,x,2,=4,b,2,-4,y,2,.,-,b,y,b,（讨论 与,-,b,b,间的关系），,若 则当 时，,