函数极限存在的夹逼准则(课件全)

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,一,.,函数极限存在的夹逼准则,定理,2.,且,第六节,极限存在准则及,两个重要极限,证明,证,:,当,时,设,则,当,则,从而有,故,也可写为,时,令,用于,1,型,例：,1,、求,原式,公式：,证,:,当,即,时，,例,.,1,、求,解,:,原式,2,、,求,解,:,原式,=,3,、,求,解,:,令,则,因此,原式,令,第一章,都是无穷小,第七节,引例,.,但,无穷小趋于,0,的速度是多样的,.,无穷小的比较,定义：,设,对同一自变量的变化过程为无穷小,且,是,的,高阶,无穷小,是,的,低阶,无穷小,是,的,同阶,无穷小,是,的,等价,无穷小,是,的,k,阶,无穷小,记作,记作,或,例如,当,时,又如,，,时,是关于,x,的二阶无穷小,且,例,.,当,时,是,的几阶无穷小,?,解：无穷小量比较阶时，要找最低阶数,例,.,证明,:,当,时,证,:,常用等价无穷小,:,说明：以上各式中的,x,可换为任意无穷小,定理,1.,证,:,即,即,例如,故,定理,2.,设,且,存在,则,证,:,例如,自变量变化过程相同,设对同一变化过程,为无穷小,说明,:,无穷小的性质,(1),和差取大规则,:,由等价,可得简化某些极限运算的下述规则,.,若,=o(,),例如,去掉高阶,(2),和差代替规则,:,例如,和差代替有条件,因式代替规则,:,界,则,例如,乘除可代替,例,1.,求,解,:,原式,乘除可代替,和差代替有条件,例,2.,求,解,:,第八节,函数的连续性与间断点,一、函数连续性的定义,1,、,f(x),在,x,0,点处连续,对,自变量的增量,有,函数的增量,称函数,在点,连续,反映自变量的变化很微小时，函数值的变化也很微小。,定义：,f(x),在,x,0,的某一邻域 内有定义,1,、,可正可负，不为零。,2,、可正可负可为零。,例,.,证明函数,在,内任意一点连续,.,证,:,即,这说明,在,内任意一点连续,.,函数,在点,连续有下列,等价命题,:,可见,函数,在点,定义,:,在,的某邻域内有定义,则称函数,(1),在点,即,(2),极限,(3),设函数,连续必须具备下列条件,:,存在,;,且,有定义,存在,;,若,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的,连续函数,.,2,、,f(x),在区间上连续,称,f(x),在,x,0,点处左连续,称,f(x),在,x,0,点处右连续,其图像是一条连续而不间断的曲线。,a,b,在,二、函数的间断点,(1),函数,(2),不存在,;,(3),函数,存在,但,不连续,:,设,在点,的某去心邻域内有定义,则下列情形,这样的点,之一,函数,f,(,x,),在点,虽有定义,且,称为,间断点,.,在,无定义,;,间断点分类,:,第一类间断点,:,及,均存在,若,称,若,称,第二类间断点,:,及,中至少一个不存在,称,若其中有一个为振荡,称,若其中有一个为,为,可去间断点,.,为,跳跃间断点,.,为,无穷间断点,.,为,振荡间断点,.,为其无穷间断点,.,为其振荡间断点,.,为可去间断点,.,例如,:,显然,为其可去间断点,.,(4),(5),为其跳跃间断点,.,左连续,右连续,第一类间断点,可去间断点,跳跃间断点,左右极限都存在,第二类间断点,无穷间断点,振荡间断点,左右极限至少有一个不存在,在点,间断的类型,在点,连续的等价形式,3,、若,在某区间上每一点都连续,则称它在该区间上,连续,或称它为该区间上的,连续函数,.,其图像是一条连续而不间断的曲线。,第九节,连续函数的运算与,初等函数的连续性,定理,2.,连续单调递增 函数的反函数,在其定义域内连续,一、连续函数的运算法则,定理,1.,在某点连续的,有限个,函数经,有限次,和,差,积,商,(,分母不为,0),运算,结果仍是一个在该点连续的函数,.,例如,例如,在,上连续单调递增，,其反函数,(,递减,).,在,1,1,上也连续单调递增,.,递增,(,递减,),也连续单调,定理,3.,连续函数的复合函数是连续的,.,在,上连续 单调 递增,其反函数,在,上也连续单调递增,.,即：,设函数,于是,复合函数,又如,且,即,例如,是由连续函数链,因此,在,上连续,.,复合而成,二、初等函数的连续性,基本初等函数,在定义区间内,连续,连续函数有限次,四则运算,的结果连续,连续函数的,反函数,连续,有限个连续函数的,复合函数,连续,初等函数在定义区间内连续,的连续区间为,(,端点为单侧连续,),的连续区间为,的定义域为,因此它无连续点,而,例如,三、求连续区间、并讨论间断点。,1,、初等函数的连续区间即为其定义域，定义域外的点为间断点。,例：讨论 的连续区间及间断点,例：讨论 的连续区间及间断点,2,、分段函数连续区间的求法,-,分界点为可能间断点。,例：讨论 的连续区间及间断点,例：讨论 的连续区间及间断点,根据连续定义确定待定系数,例,3.,设函数,在,x,=0,连续,则,a,=,b,=,.,解,:,四、利用初等函数的连续性求极限,2,、设函数,于是,例,4.,求,解,:,原式,第十节,一,、最值定理,二、零点定理、介值定理,闭区间上连续函数的性质,注意,:,若函数在,开区间,上连续,结论不一定成立,.,一,、最值定理,定理,1.,闭区间,上连续的函数,即,:,使,或在闭区间内,有间断,在该区间上必有最大,(,小,),值,点,例如,无最大值和最小值,也无最大值和最小值,又如,推论,.,二、介值定理,定理,2,.,(,零点定理,),至少有一点,且,在闭区间上连续的函数在该区间上有界,.,定理,3.,(,介值定理,),设,且,则对,A,与,B,之间的任一数,C,一点,证,:,作辅助函数,则,且,故由零点定理知,至少有一点,使,即,推论,:,使,至少有,在闭区间上的连续函数,必取得介于最小值与最,大值之间的任何值,.,例,1.,证明方程,一个根,.,证,:,令,又,故据零点定理,至少存在一点,使,即,在区间,内至少有,通过作辅助函数,F(x),再利用零点定理,辅助函数的作法：,1,、把结论中的 （或 ）改写成,2,、移项，使等式右边为零，令左边式子为,F(x),例,2,：,至少有一个不超过,4,的,证,：,证明,令,且,根据零点定理,原命题得证,.,内至少存在一点,在开区间,显然,正根,.,则,证明至少存在,使,提示,:,令,则,易证,例,3,：,设,一点,三、判断函数有界的方法：,1,、若,f(x),在,a,b,上连续,f(x),在,a,b,有界,2,、若,f(x),在（,a,b,）上连续,f(x),在（,a,b,）有界,习题课,二、连续与间断,一、函数,三、极限,2,.,设函数,求,解,:,一、函数,1,、,已知,求,解,:,4.,设,求,解,:,3.,设,求,及其定义域,.,由,得,解,:,解,:,利用函数表示与变量字母的无关的特性,.,代入原方程得,代入上式得,设,其中,求,令,即,即,令,即,画线三式联立,即,5,.,有无穷间断点,及可去间断点,解,:,为无穷间断点,所以,为可去间断点,极限存在,6.,设函数,试确定常数,a,及,b.,二、连续与间断,7.,设,f,(,x,),定义在区间,上,若,f,(,x,),在,连续,提示,:,且对任意实数,证明,f,(,x,),对一切,x,都连续,.,8.,求,的间断点,并判别其类型,.,解,:,x,=1,为第一类,可去间断点,x,=1,为第二类,无穷间断点,x,=0,为第一类,跳跃间断点,3,、由下列等式，求出,a,，,b,，,c,。,5.,求,解,:,令,则,利用夹逼准则可知,