控制系统的能控性和能观测性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第3章 控制系统的能控性和能观测性,在多变量控制系统中，能控性和能观测性是两个反映控制系统构造的基本特性，是现代控制理论中最重要的基本概念。,问题的提出:,这是由于在经典控制理论中，只限于讨论控制作用（输入）对输出的控制。输入与输出这两个量的关系，唯一地由系统的传递函数所确定，只要系统是稳定的，系统就是能控的。另一方面，系统的输出量本身就是被控量，对于一个实际的物理系统来说，它当然是可以观测到的，所以在经典控制理论中没有必要涉及能控性和能观性。,然而在现代控制理论中，是把反映系统,内部运动状态的状态向量,作为被控量，而且它们不一定是实际上可观测到的物理量，至于输出量则是状态向量的线性组合，这就产生了从输入量 到状态量 的能控性问题和从输出量 到状态量 的能观测性问题。,本章的内容为：,1.引言能控性、能观测性的基本概念,2.能控性及其判据,3.能观测性及其判据,4.离散系统的能控性和能观测性,5.对偶原理,6.能控标准形和能观测标准形,7.能控性、能观测性与传递函数的关系,8.系统的结构分解,9.实现问题,10.使用MATLAB判断系统的能控性和能观测性,3.1 引言,首先，通过例子介绍能控性、能观测性的基本概念。,例3-1,电路如下图所示。如果选取电容两端的电压 为状态变量，即：。电桥平衡时，不论输入电压 如何改变，,不随着 的变化而改变，或者说状态变量不受 的控制。即：该电路的状态是不能控的。,显然，当电桥不平衡时，该电路的状态是能控的。,例3-2,电路如下图所示，如果选择电容C,1,、C,2,两端的电压为状态变量，即：，电路的输出 为C,2,上的电压，即 ，则电路的系统方程为,如果初始状态为,系统状态转移矩阵为,系统状态方程的解为,可见，不论加入什么样的输入信号，总是有,一般情况下，系统方程可以表示为,（1）,状态能控与否，不仅取决于,B,阵（直接关系），还取决于,A,阵（间接关系）。,系统状态转移矩阵为,系统能观测问题是研究测量输出变量,y,去确定状态变量的问题。,例3-3,电路如下图所示。选取 为输入量，为输出量，两个电感上的电流分别作为状态变量，则系统方程为,系统状态方程的解为,为了简便起见，令,则,从上式可知，不论初始状态为什么数值，输出 仅仅取决于其差值 。当 ，则输出恒等于零。显然，无法通过对输出的观测去确定初始状态，称这样的系统是不能观测的。,对于不能观测的系统，其不能观测的状态分量与y 既无直接关系，又无间接关系。状态是否能观测不仅取决于,C,，还与,A,有关。,一般情况下，系统方程如式（1）所示，状态能观测与否，不仅取决于,C,阵（直接关系），还取决于,A,阵（间接关系）。,两个例子的分析结论是：能控与A,B阵有关；能观与A,C阵有关。,3.2 能控性及其判据,3.2.1 线性定常系统的能控性及其判据,1.能控性定义,线性定常系统的状态方程为,（2）,给定系统一个初始状态 ，如果在 的有限时间区间 内，存在容许控制 ，使 ，则称系统状态在 时刻是能控的；如果系统对任意一个初始状态都能控，则称系统是状态完全能控的。,说明：,1）初始状态 是状态空间中的任意非零有限点，控制的目标是状态空间的坐标原点。（如果控制目标不是坐标原点，可以通过坐标平移，使其在新的坐标系下是坐标原点。）,2）如果在有限时间区间 内，存在容许控制 ，使系统从状态空间坐标原点推向预先指定的状态 ，则称系统是状态能达的；由于连续系统的状态转移矩阵是非奇异的，因此系统的能控性和能达性是等价的容许控制,(对于一个实际的控制问题，输入控制的u（t）的取值必定要受一定条件的约束。满足约束条件的控制作用u（t）的一个取值对应于r维空间的一个点，所有满足条件的控制作用u（t）的取值构成r维空间的一个集合，记为，称之为容许控制集。凡是属于容许控制集的控制，都是容许控制。)。,3）只有整个状态空间中所有的有限点都是能控的，系统才是能控的。,4）满足（3）式的初始状态，必是能控状态。,（3）,5）当系统中存在不依赖于 的确定性干扰 时，不会改变系统的能控性。,（4）,2.能控性判据,定理3-1,（2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的,n,n,维格拉姆矩阵满秩,（5）,（这个定理为能控性的一般判据，所谓满秩就是每个状态能控。但是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）,定理3-2,（2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是下面的,n,nr,维能控性矩阵满秩。,（6）,（7）,证明,应用凯-哈定理，有,上式代入（3）式,（8）,于是,（9）,如果系统能控，必能够从（9）式中解得 ，,，。这样就要求,（本判据本身很简单，因此是最为常用的方法。）,定理3-3,（PBH判别法）（2）式的线性定常系统为状态能控的充分必要条件是，对,A,的所有特征值 ，都有,（10）,（证明略）,（11）,定理3-4,（2）式的线性定常系统的矩阵 A 的特征值 互异，,将系统经过,非奇异线性变换,变换成对角阵,则系统能控的充分必要条件是矩阵 中不包含元素全为零的行。,例3-6,有如下两个线性定常系统，判断其能控性。,（1）,（2）,解,根据定理3-4，系统（1）,不能控；系统（2）能控。,且 ，,定理3-5,（2）式的线性定常系统的矩阵 A 具有重特征值，、,、,、分别为 重、重、重、,、重。,经过非奇异线性变换，得到约当阵,则系统能控的充分必要条件是矩阵 中与每一个约当子块最下面一行对应行的元素不全为零。,（12）,例3-7,有如下两个线性定常系统，判断其能控性。,（1）,（2）,解,根据定理3-5，系统（1）能控；系统（2）不能控,（,定理（3-4）、定理（3-5）不仅可以判断系统能控性，而且对于不能控的系统，可以知道哪个状态分量不能控。）,说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能控性的判据。虽然它们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能控性时是等价的。,2.在线性连续定常系统中，由于能达性和能控性是等价的，因此，能控性判据同样可以判断能达性。,3.2.2 线性时变系统的能控性判据,（13）,线性时变系统的状态方程为,定理3-6,状态在时刻 能控的充分必要条件是存在一个有限时间 ，使得函数矩阵 的,n,个行在 上线性无关。,（证明略）,定理3-7,状态在时刻 能控的充分必要条件是存在一个有限时间 ，使得以下格拉姆矩阵非奇异。,（14）,（15）,定义：,（16）,当,定理3-8,如果线性时变系统的 和 的元是,(n1),阶连续可微的。如果存在一个有限的 ，使得,（17）,则系统在 是能控的。,例3-8,线性事变系统方程为 ，,初始时刻 ，试判别系统的能控性。,解,而,所以，能控。,3.3 能观测性判据,3.3.1 线性定常系统能观测性及其判据,1.能观测性定义,（18）,线性定常系统方程为,如果在有限时间区间 （）内，通过观测 ，能够惟一地确定系统的初始状态 ，称系统状态在 是能观测的。如果对任意的初始状态都能观测，则称系统是状态完全能观测的。,说明,：,1）已知系统在有限时间区间 内的输出 ，观测的目标是为了确定 。,2）如果根据 内的输出 能够惟一地确定任意指定状态 ，则称系统是可检测的。连续系统的能观测性和能检测性等价。,),(,x,1,t,3）状态空间中所有有限点都是能观测的，则系统才是能观测的。,4）系统的输入 以及确定性的干扰信号 均不改变系统的能观测性。,2.能观测性,定理3-9,（18）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下格拉姆能观性矩阵满秩，即,（19）,（20）,其中,（这个定理为能观测性的一般判据。但是，由于要计算状态转移矩阵，比较繁琐。实际上，常用下面介绍的判据。）,定理3-10,（18）式所描述的系统为能观测的充分必要条件是以下能观性矩阵满秩，即,（21）,（22）,证明,设 ，系统的齐次状态方程的解为,（23）,应用凯-哈定理，有,则,或者写成,由于 是已知函数，因此，根据有限时间 内的 能够唯一地确定初始状态 的充分必要条件为 满秩。,定理3-11,（PBH判别法）系统（18）为能观测的充分必要的条件是：对于,A,的每一个特征值 ，以下矩阵的秩均为,n,（24）,例3-9,系统方程如下，试判断系统的能控性,解,不满秩，故系统不能观测。,（,由于以上判据很简单，因此最为常用,）,定理3-12,如果（18）式描述的系统的,A,阵特征值 互异，经过,非奇异线性变换,成为对角阵，则系统为能观测的充分必要条件是 C 矩阵中不包含元素全为零的列。,例3-10 有如下两个线性定常系统，判断它们的能观测性。,（1）,（2）,解 根据定理3-12可以判断，系统（1）是不能观测的。系统（2）是能观测的。,且 ，,定理3-13,如果（18）式描述的系统的,A,阵具有重特征值，,、分别为 重、重、重。,经过非奇异线性变换，得到约当阵,则系统能观测的充分必要条件是矩阵 中与每一个约当子块第一列对应的列，其元素不全为零。,例3-11,如下线性定常系统,试判别系统的能观测性。,解,应用定理3-13可知，系统能观测。,（,定理（3-12）、定理（3-13）不仅可以判断系统能观测性，而且对于不能观测的系统，可以知道哪个状态分量不能观测。）,说明：1.上面通过几个定理给出判断系统能观测性的判据。虽然它们的表达形式、方法不同，但是，在判断线性定常系统能观测性时是等价的。,2.在线性连续定常系统中，由于能检测性和能观测性是等价的，因此，能观测性判据同样可以判断能检测性。,3.3.2 线性时变系统的能观测性判据,线性时变系统方程为,（25）,定理3-14,状态在时刻 能观测的充分必要条件是存在一个有限时刻 ，使得函数矩阵 的,n,个列在 上线性无关。,定理3-15,状态在时刻 能观测的充分必要条件是存在一个有限时间 ，使得以下能观性格拉姆矩阵非奇异。,定义,（26）,（27）,定理3-16,如果线性时变系统的 和 的元是,(n1),阶连续可微的。如果存在一个有限的 ，使得,（28）,则系统在 是能观测的。,小结,1、关于控制系统的能控能观性：现代控制理论的重要概念，核心内容（最优控制和最优估计）的基础。分别分析输入对状态变量的控制能力和输出对状态变量的反应能力。,2、控制系统是否能控能观，如何判断？,定义：,能控性,-在非容许控制作用下，状态变量能在有限时间域内从初始位置到达指定的终端位置；,能观性,-在有限时间域内，输出能唯一确定系统在初始时刻的状态。,判别准则有：一是根据系统模拟结构图，依据定义判别；二是根据A,B阵或是A,C阵，通过矩阵运算来判别。,3、已介绍线性连续定常、时变系统的判别方法，继续介绍线性离散系统的判别方法以及其它相关知识。,输入量,状态变量,输出量,能,控,性,输入量,输出量,G(s),能,观,性,状态方程,输出方程,3.4 离散系统的能控性和能观测性,线性定常离散系统方程为,（29）,3.4.1 能控性定义,系统（29）的任一个初始状态 ，存在 ，在有限时间区间,内，存在容许控制序列 ，使得 ，则称系统是状态完全能控的。,3.4.2 能控性判据,例3-12,线性定常离散系统状态方程为,判断系统的能控性。,（30）,解,所以系统能控。,定理3-17,系统（29）能控的充分必要条件是能控性矩阵 的秩为,n,，即,当然也可以直接依据定义来求解，如,有系统,利用递推法有,3.4.3 能观测性定义,对于（29）式所描述的系统，根据有限个采样周期的 ，可以惟一地确定系统的任一初始状态 ，则称系统是状态完全能观测的。,3.4.4 能观测性判据,定理3-18,系统（29）能观测的充分必要条件是能观性矩阵 的秩为,n,，即,（证明请参见参考教材）,例3-13,线性定常离散系统方程为,试判断系统的能观测性。,解,因此，系统能观测。,第8次学生经典部分回顾及MATLAB实践讲解题目,1、介绍,线性时变系统,的运动分析,。,