内江师范学院数学与信息科学学院数值分析

内江师范学院数学与信息科学学院,吴开腾,制作,对象：信息与计算科学、数学与应用数学,电话：，2342289,E-mail:,10/10/2024,数值分析,“,数值分析,”确实是一门数学课，但又与你们已经熟悉的数学课（例如微积分和代数等基础课程）完全不同。从基本的思想方法和思维方式，到课程的学习方法都要有重大的变化。你所熟悉的数学课，他们共同的特点大概是抽象和严格的演绎，思维逻辑严密；而这门课，除了保持上述的特点之外，“归纳”成为不容忽视的思维方法，讨论的,核心问题,是“误差”这个在数学上似乎根本就不应当存在的东西。以往的数学课，课后认真阅读教科书和做一定数量的习题十分重要；现在除了读书和做习题外，使用计算机进行计算变得同样重要。,非线性科学与工程计算,发展需要加强数值计算方法的研究。,数值分析确实是一门数学课,非线性科学与工程计算,第一节 非线性问题的数学理论和方法,第三节 应用数学,第二节 科学与工程计算,第一节 非线性问题的数学理论和方法,研究,非线性现象,的稳态结构；非稳态的产生、发展过程和整体性态；各种由有序到无序，由决定性到随机性，由经典到量子，由离散到连续以及由连续到间断的数学规律；各种场和各种相互作用的数学问题上述问题与纯粹数学各个分支相互交叉形成许多生长点它们的研究直接为各门自然科学探索非线性现象的定性及定量规律提供精确的语言、有效的方法和进一步发展的理论基础,1、非线性偏微分方程,2、变分理论与几何分析,3、动力系统与常微分方程,4、经典和量子系统的数学问题,5、随机系统的数学问题,主要研究内容,第二节 科学与工程计算,科学与科学计算,的兴起是二十世纪后半叶重要的科技进步之一；它是伴随着电子计算机的出现而迅速发展并获得广泛应用的新兴交叉学科，是数学及计算机科学实现其在高科技领域应用的必不可少的纽带和工具计算与理论和实验相提并列，已经成为当今世界科学活动的第三种手段当前许多重大的科学技术问题暂时难以求得理论解，也往往难以使用实验手段，但却可以进行,数值模拟,计算大大增强了人们从事科学研究的能力，加速了科技转化为生产力的进程，深刻地改变着人类认识世界和改造世界的方法和途径,1、高维流体的计算方法,2、材料科学中的计算研究,3、并行计算,4、计算数学中基础研究,主要研究内容,第三节 应用数学,应用数学,是指数学科学中有明显应用背景和应用前景的部分应用数学自身基础性研究和应用基础性研究，不是简单的数学应用应用数学以纯粹数学为基础，由于处理对象的特殊性而具有自身的理论体系应用数学中提出的模型和难点常常反过来推动纯粹数学的发展,1、数理统计学,2、运筹学中的数学方法,3、控制理论,4、数学机械化研究,5、应用数学中的若干交叉前沿领域,主要研究内容,返 回,计算机与数学的有机结合形成了“科学计算”的研究方法，它的,核心内容,是以现代化的计算机及数学软件为工具，以数学模型为基础进行模拟研究。科学计算是一个新兴的、发展十分迅速的学科。作为引论性的课程，这里涉及的算法都是很经典的。学习这门课程的目的，不是算法的方法本身，也不是算法分析的细节，而是重在把握算法背后的思想和基本原理。通过本课程和后续课程的学习，培养你跟踪科学与工程计算学科发展的能力，建立选择算法的思想和意识。,“,科学计算,”的研究方法,算 法,一、研究算法的意义,二、什么是算法,三、,多项式求值的秦九韶方法,四、方程求根的二分法,算法,：是构造性的数值方法，即不但要论证问题的可解性，而且解的构造是通过数值演算过程来完成的。,线性方程组的求解,可以说明算法的主要性。,递推化的基本思想：重复同一算法。,算法的有效性。,返回,线性方程组的求解,线性方程组的行列式求解方法（Cramer）在理论上可以用来求解任意阶线性方程组，这种方法求解一个 阶方程组，要计算 个 阶行列式的值，为此总共需要做 次乘法。当 充分大时，这个计算量是相当惊人的。譬如一个20阶不算太大的方程组，大约要做10,21,次乘法，这项计算即使用百万次每秒的计算机去做，也得连续工作千百万年才能完成。当然这是完全没有实际意义的。其实解线性方程组有许多实用的算法：消去方法和迭代方法等。,可能吗？有用吗？,算法实例,例1 证明二次方程,至多有两个不同的实根。,证明：这里介绍三种方法：,反证法、图解法和公式法。,1、反证法：假设有三个相异的实根，从而得出矛盾。,2、图解法：原方程配方得：,在坐标纸上描出上述方程右端所示的抛物线，它与横坐标轴的交点即为所求的实根，而交点至多只有两个。,3、公式法：由（2）可导出直接的求根公式,分析,：上述三种方法，反证法不是构造性的；作图法虽说是构造性的，但不是数值的，这里所说的“算法”必须是构造性的数值方法，即不但要论证问题的可解性，而且解的构造是通过数值演算过程来完成的。,同传统意义的近似计算方法不同，所要研究的算法是为计算机提供的，因此，解题方案当中的每个细节都必须准确地加以定义，并且要完成地描述整个解题过程。譬如，设用公式(3)求解问题(1)，则需要依判别式 的符号区分下列三种情况：,，无实根；,，有重根；,，可用公式求得两个互异实根；,返回,多项式求值的秦九韶方法,设要对给定的 求下列多项式的值,解：一种自然的算法是直接逐项求和法。共需要 次乘法，事实上，用,即,另一种计算方法，先加工计算公式，将式（4）进行降幂重排列为,并变形为：,根据（5）从里层往外层一层一层地计算，此时，共需要 次乘法。相对于第一种方法，其计算量减少了一半，并且结构简单。这就是著名的,秦九韶,方法多项式求值方法。,（公元12021261年）,南宋，数学家。他在1247年（淳佑七年）著成数书九章十八卷全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是一部划时代的巨着，它总结了前人在开方中所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中对大衍求一术一次同余组解法）和正负开方术高次方程的数值解法）等有十分深入的研究。其中的”大衍求一术”一次同余组解法），在世界数学史上占有崇高的地位。在古代孙子算经中载有”物不知数”这个问题，举例说明：有一数，三三数之余二，五五数之余二，七七数之余二，问此数为何？这一类问题的解法可以推广成解一次同余式组的一般方法奏九韶给出了理论上的证明，并将它定名为”大衍求一术”。,秦九韶,返回,算法的有效性,O,a,K次二分之后区间长度,误差估计,初始点的选择？使得所求解正好在所构造的小区间内？,方程的根,许多实际问题对应的算法表现为某种无穷递推过程的截断，实现这类算法，不但需要建立计算公式，还需要解决精度控制问题，比如用：,二分法求解方程的根,。,返回,算法的实现：框图,矩形框是叙述框,圆边框是检查框,一、前 言,科学计算,已成为与理论分析、科学实验并驾齐驱的科学研究方法，这不仅是不争的事实，而且还随着计算机的飞速发展日益深入地获得普及。大量从事力学、物理学、航空航天、信息传输、能源开发、土木工程、船舶机械、水文地质勘测、医药卫生、农业科研开发以及人口资源预测等领域的科研人员和工程技术人员，甚至连金融和风险投资等领域内的有关人员，都把计算方法作为自己领域内的一种重要的研究手段与工具。,当代计算科学的发展，引起或正在引起整个科学，从内容、方法到研究手段上的改变，也将导致科学的重新分化和组合。计算科学的研究已经不能脱离具体的应用科学，因为只有这样才有生命力，才会有开拓和创新。,数值方法的重要性,科学计算的兴起是20世纪最重要的科学进步之一.,科学活动可分为三种：,理论、实验和计算,计算科学家构造,求解,科学问题,的计算方法，把这些方法软件化、设计和进行试验，分析这些数值试验的误差，他们研究计算方法的数学特征，通过计算揭露所,求解,科学问题,的基本性质和规律,二、计算可否代替实验,由于计算方法的不同选择以及对计算方法和所解决实际问题的理解，都将影响计算结果的可靠性！基于这一点，通常情况下，计算不能代替实验，可为什么还要进行数值计算？,这涉及到如何理解计算的作用问题？,计算与实验在解决实际问题中可以起互补作用；,计算可以解决一些实验不能处理的问题；,所谓的“反问题”；,计算可以用于研究某些基本流动现象，获得流场的时空变化规律，使计算成为唯一的研究手段；,计算对,实验或设计,有,重大,影响,。,返回,奥迪A4 3.0 quattro永久四轮驱动,室内设计,室内设计与分布,整体设计,奔驰 S350,法拉利 612 Scaglietti,ELANTRA 2.0 CVT,BMW 760Li,红旗,马自达,返回,三、数值方法的必要性,在实际的计算中，由于方程组、模型几何结构和物理结构的复杂性，计算规模往往很大，进行这样的实际计算，手工和以往的任何机械式计算工具都无法胜任第二次世界大战后期，导弹等尖端武器的研制正是对这种复杂的科学计算提出了迫切的要求，这种需要促进了数字电子计算机的发明和发展,科学研究手段和方法的改变,计算机技术与数值计算的相互推动，是二十,世纪中叶以来科学技术领域最引人瞩目的现,象之一,1、计算机技术与科学计算、研究手段的关系,科学技术研究的实际问题与理论问题不断提出越来越复杂的数学模型，要求得到近似数值解,过去的研究方式是,：先对问题的提法、解的性质（是否存在、是否稳定、是否物理解）、近似方法与误差分析等都作了充分研究之后，才去做数学问题的数值求解解的特性还不十分明确而又急需解决的实际问题，就必须采用一些非标准的方法，如类比、外推、内插、综合、试验等数学推理方法，广泛采用这些数学推理方法的有限元、有限差分等数值方法就是在电子计算机的出现之后才发展和成熟起来的，从一定意义上讲，,计算机的迅猛发展改变了传统的科学研究手段和方法，使人们采用数值方法求解数学问题的范围得到了空前的扩展,2、研究思维方式的改变,在科学技术实际问题的研究中可以用数值模拟来选择实验或设计的最佳方案，这样就可以减少试验次数和试验时间，尽快获得最佳的试验结果和设计方案尤其对于尖端技术问题的研究，试验往往极其昂贵，有的甚至还相当危险，这样使用数值模拟就会产生巨大的经济效益和社会效益,3、数值模拟对试验或设计的影响,现在，数值计算再也不能仅仅被看作是理论研究和试验研究的辅助手段了，它已成为独立于理论与实验的一种基本的科学活动，数值计算已经成为近代科学技术迅速发展的不可忽视的重要因素,总之，,计算的作用不能过高估计也不能过低估计，计算只有与实验进行有机结合才能发挥重要作用，对于解决工程问题，计算可以帮助选型、减少费用、缩短设计周期，但在定型时还需进行实验测量与修正，对于某些特殊问题，计算还可以代替实验，设计部门在使用计算结果时，很少过分强调结果的精确度；对他们而言，只有有明确使用计算的目的才能正确利用计算结果,引论,插值方法,数值积分,常微分方程的差分方法,方程求根的迭代法,线性方程组的数值解法：,迭代法、直接法,四、主要内容,章次,内容,学,时,章次,内容,学,时,引论,4,第四章,方程求根的迭代法,4,第一章,插值方法,14+2,第五章,线性方程组的迭代法,5+2,第二章,数值积分,6+2,第六章,线性方程组的直接法,5+2,第三章,常微分方程的差分方法,4+2,五、理论计划与课时分配,主要参考书目,冯 康等编，数值计算方法，北京：国防工业出版社，,1978,张德荣等，计算方法与算法语言，高等教育出版社，,1981,程心一，计算流体动力学，北京，科学出版社，,1981,杨东屏等，可计算性理论，北京，科学出版社，,1999.4,石钟慈等，奇效的计算,_,大规模科学与工程计算的理论和方法，湖南，湖南科学技术出版社，,1998,石钟慈 第三种科学方法,计算机时代的科学计算，清华大学出版社，,2001,黄明游，刘 播，徐 涛编，数值计算方法，科学出版社，,2005,王超能，数值分析简明教程（第二版），高等教育出版社 2005,六、教 材,七、相关要求,微积分（数学分析）,线性代数（高等代数）,算法语言,常微分方程,理解数值计算方