指数函数及其性质的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第2课时指数函数及其性质的应用,1.,理解指数函数的单调性与底数,a,的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题,.,1.,指数函数单调性在比较大小，解不等式及求最值中的应用,(,重点,),1函数,y,a,x,(,a,0，且,a,1)的定义域是R，值域是_,若,a,1，则当,x,0时，,y,_1；当,x,0时，,y,1；当,x,0时，,y,_1.,若0,a,0时，,y,1，当,x,1时，函数,y,a,x,在R上是_,0,a,1时，函数,y,a,x,在R上是_,(0，,),增函数,减函数,3若,a,b,1，当,x,0时，函数,y,a,x,图象在,y,b,x,图象的上方；当,x,a,b,0，当,x,0时，函数,y,a,x,图象在,y,b,x,图象的上方；当,x,0，且,a,1)和,y,a,x,(,a,0，且,a,1)的图象关于,_,对称,y,轴,复合函数,y,a,f,(,x,),单调性的确定：,当,a,1时，单调区间与,f,(,x,)的单调区间_；当0,a,0.5,3,x,4,，则,x,的取值范围是_,解析：,2,32,x,0.5,3,x,4,2,32,x,2,43,x,32,x,43,x,x,1.,答案：,x,|,x,1,由题目可获取以下主要信息：,所给函数与指数函数有关；,定义域是使函数式有意义的自变量的取值集合，,值域是函数值的集合，依据定义域和函数的单调性求解.,题后感悟,对于,y,a,f,(,x,),这类函数，,(1)定义域是指,只要使,f,(,x,)有意义的,x,的取值范围,(2)值域问题，应分以下两步求解：,由定义域,求出,u,f,(,x,)的值域,；,利用,指数函数,y,a,u,的单调性,求得此函数的值域,解答本题可以看成关于2,x,的一个二次函数，故可令,t,2,x,，利用换元法求值域.,解题过程,函数定义域为R.,令2,x,t,(,t,0)，则,y,4,x,2,x,1,1,t,2,2,t,1(,t,1),2,.,t,0，,t,11，,(,t,1),2,1，,y,1，,值域为,y,|,y,1，,y,R,题后感悟,如何求形如,y,b,(,a,x,),2,c,a,x,d,的值域？,换元，令,t,a,x,；,求,t,的范围，,t,D,；,求二次函数,y,bt,ct,d,，,t,D,的值域,题后感悟,比较幂的大小的常用方法：,(1)对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用,指数函数的单调性,来判断(2)对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用,指数函数图象的变化规律,来判断(3)对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则应通过,中间值,来比较,1、已知下列不等式，比较m、n的大小。,2,m,0.2,n,a,m,a,n,(,a0,且,a1,),解：mn m1时，mn,当0a1时 m,b,c,B,b,a,c,C,c,b,a,D,c,a,b,解析：,1.2,0.8,1.2,0,1，,08,0.9,0.8,0.7,0.8,0,1,b,a,1时，,y,关于,u,为增函数；,当0,a,1时，原函数的增区间为1，,)，减区间为(,，1；,当0,a,0且,a,1)的函数的单调性？,方法一：利用单调性定义比较,y,1,af,(,x,1,)与,y,2,af,(,x,2,)时，多用作商后与1比较,方法二：利用复合函数单调性：当,a,1时，函数,y,a,f,(,x,),与函数,y,f,(,x,)的单调性相同；当0,a,0且,a,1)的图象与,y,a,x,(,a,0且,a,1)的图象关于,y,轴对称，,y,a,x,(,a,0且,a,1)的图象与,y,a,x,(,a,0且,a,1)的图象关于,x,轴对称，函数,y,a,x,(,a,0且,a,1)的图象与,y,a,x,(,a,0且,a,1)的图象关于坐标原点对称,2,y,(,a,x,)型或,y,a,f,(,x,),型函数的单调规律,研究形如,y,a,f,(,x,),(,a,0，且,a,1)的函数的单调性，可以有如下结论：当,a,1时，函数,y,a,f,(,x,),的单调性与,f,(,x,)的单调性相同；当0,a,0，且,a,1)的函数单调性的研究，也需结合,a,x,的单调性及,(,t,)的单调性进行研究,复合函数,y,f,(,(,x,)的单调性研究，遵循一般步骤和结论，即：分别求出,y,f,(,u,)与,u,(,x,)两个函数的单调性，再按口诀,“,同增异减,”,得出复合后的单调性，即两个函数同为增函数或者同为减函数，则复合后结果为增函数；若两个函数一增一减，则复合后结果为减函数，为何有,“,同增异减,”,？我们可以抓住,“,x,的变化,u,(,x,)的变化,y,f,(,u,)的变化,”,这样一条思路进行分析,求方程2,|,x,|,x,2的实根的个数,解析：,原方程可化为2,|,x,|,2,x,.,令,y,1,2,x,，,y,2,2,x,.,在同一坐标系内作出两函数图象，如图所示,两函数有两个交点，,方程2,|,x,|,x,2有两个不同的根,题后感悟,本题巧妙地构造函数，利用图象交点个数判定方程解的个数，充分体现数形结合的观点,