我们应该如何教几何（人教社章建跃）

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,我们应该如何教几何,人民教育出版社 章建跃,一、关于数学育人的基本观点,教育的根本任务是,立德树人,。,数学教育要,着眼于学生的长期利益,。,数学育人要,发挥数学的内在力量,，充分挖掘数学课程所蕴含的价值观资源，围绕学生数学学科核心素养的发展需要，以培育学生的理性精神、提高学生的数学思维能力为核心，使学生掌握“四基”、“四能”，学会,有逻辑地、创造性地思考,，成为善于认识问题、解决问题的人才。,发挥数学的内在力量，实现“,教数育人,”,数学教师应成为学生发展的导师：,教数学知识是手段，育人是目的,；,数学源于对现实世界的抽象，不仅仅是符号运算、形式推理、模型构建，也彰显了人与世界的关系，更表达了宇宙空间的本质；,数学的最本质特征是逻辑的严密性，其中蕴含着讲规则、重证据、依逻辑、实事求是、严谨求实的科学精神与为人品格；,数学,不仅有工具属性,，也有鲜明的理性精神属性，所以数学教育必然是工具性和理性精神的统一体,。,二、教师专业发展的基石,理解数学，理解学生，理解教学，理解技术,。,“,四个理解,”,的内涵：掌握丰富的数学学科知识；中小学数学课程结构体系、教学重点的知识；学生数学学习难点的知识；关于重点知识的教学解释的知识；关于有效促进学生数学理解的知识；关于评估学生的知识理解水平的知识；等。,特别是，,教师对,“,内容所反映的数学思想方法,”,的理解水平决定了教学所能达到的水平和效果,。,理解数学知识的三重境界,知其然,知其所以然,何由以知其所以然,启发学生，示以思维之道耳！,三、在理解数学的基础上设计数学活动,几何的研究对象是什么？,空间的最基本概念是“位置”。,（,1,）几何中，“位置”用什么来标记？,（,2,）空间中两个位置之间的差别用什么来标记？,（,3,）“位置差别”用什么几何量来加以定量化,的刻画,？,（,4,）如何刻画直线的“直”、平面的“平”？,度量是数学的本质所在,几何学是关于几何图形的形状、大小、位置关系的科学。,点、直线、平面是基本几何图形，源于对现实事物的抽象,纯粹的数学对象,。,“,位置,”,是宇宙空间的最基本要素，位置用,“,点,”,表示；,直线段是连接两点的最短通路，两个点的位置差异用线段的长度表示。,直线由点组成，直线的,“,直,”,用点与点之间的关系来刻画；,平面由点、直线组成，平面的,“,平,”,用点、直线的关系，用直线的,“,直,”,来刻画。,“方向”是另一个基本概念,（,1,）几何中，“方向”用什么来表达？,（,2,）两个方向的差别用什么来度量？,平面上的一条射线表达了一个方向，一条直线则是具有两个相反的方向。,两条共起点的射线，在方向上的差别也就是,BAC,的角度，即角度是其方向差的度量。,如何研究,“,相交线,”,首要问题是什么？,研究对象的抽象,定义相交线。,数学的方式：,（,1,）低维定义高维；,（,2,）组成要素的基本关系。,接下来的研究内容是什么？,性质,“,相交线的性质,”,的内涵是什么？,两条直线相交形成四个角（几何元素），这些角之间的相互关系,几何图形组成元素间的相互关系就是性质！,如何发现这些角的相互关系？,探究过程,四个角的关系,1+,2+,3+,4=360,三个角的关系,变化中不存在不变性,没有固定的关系,两个角的关系,（,1,）,两两,配对,有,6,对角，即,1,和,2,，,1,和,3,，,1,和,4,，,2,和,3,，,2,和,4,，,3,和,4,。,（,2,）,1,和,2,的关系如何研究？,从角的定义出发，得到研究内容,：两个角的顶点、边的关系，得到,1,与,2,的,位置,关系。,顶点重合；一边重合，称这两个角,“相邻”,；另一边互为反向延长线，所以两个角,“互补”,。,用,几何语言准确,表达,即为,邻,补角的定义：,1,与,2,有一条公共边,OA,，它们的另一边互为反向延长线，即,1,与,2,互补，具有这种关系的两个角，互为邻补角,（,3,）其余,5,对角的关系的研究,让,学生类比,1,与,2,的位置关系的研究过程，,对,其余,5,对角的边的位置关系,进行,自主探究,，,并作出分类,，得出,对顶角的定义，再得出：两条直线相交所形成的,4,个角中，两两之间的位置关系，根据两个角的边之间特殊的位置关系，分成两类，一类是邻补角，一类是对顶角,。,过程与结果的融合，直观想象、数学抽象等素养的落实。,接下去研究什么？,已经,研究了两条直线相交形成的,6,对角的位置关系，发现可以分为两类。那么，邻补角、对顶角分别有怎样的,大小,关系呢？这就是接下来要研究的问题。,几何学是研究几何图形的形状、大小、位置关系的科学。,如何让学生感受证明,“,对顶角相等,”,的必要性,从一个给定的图形中得到“对顶角相等”，但任意两个对顶角都相等吗,？,观察剪刀,剪纸的过程，这个过程中什么在变化？对顶角的相等关系总能保持吗？为什么？,在,一个平面内的两条相交线，不仅,AB,，,CD,的位置关系可以改变，交点,O,的位置也可以改变。在这些变化过程中，对顶角仍然相等吗？你如何使人相信：如果两个角具有对顶角的位置关系，那么它们就一定相等？你能把道理完整地写出来吗？,接下来研究什么？,垂线,从一般相交到相互垂直。,从一般到特殊是发现和提出数学问题的,“,基本之道,”,！,“,特殊,”,往往很重要。,小结：相交线的研究路径,概念,性质,特例,其中，概念的定义明确了研究对象及其几何要素（,4,个共顶点的角）；性质是指几何要素之间的相互关系（,4,个角的位置关系、大小关系）；特例是指两条相交线的特殊位置关系，即垂直，与距离这一重要数学概念相关，因此有特别的重要性。,角的关系是指角的组成要素之间的关系。,从定义出发研究性质,。,如何研究平行线的性质？,大前提,：两条直线平行；,小前提,：与第三条直线相交；,结论,：同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。,性质的表现方式,：“第三条直线”在运动变化过程中，与两条平行线相交形成的角（几何要素）之间具有确定的关系。,体现核心素养的“大概念”,从方法论的高度看,，研究,两条直线某种位置关系的,性质，就是探索在这种位置关系,下，两条直线的组成要素之间以及与其他直线所形成的图形中出现的确定关系（不变性和不变量）。,具体方法是,让几何元素动,起来，看“变化中的,不变性、不变量”。,这是教学设计的源头，需要采用单元设计，把“,数学对象的抽象,组成元素的提取,相互关系的猜想,猜想的证明,性质的应用,”等落实下来。,提倡单元整体设计教学,学生数学学科核心素养水平的达成不是一蹴而就的，具有,阶段性、连续性、整合性,等特点。教师应理解不同数学学科核心素养水平的具体要求，不仅关注每一节课的教学目标，更要关注主题、单元的教学目标,。所以，,整体把握教学内容,对,促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展,具有重要意义。这就是提倡,单元整体,设计教学的理由。,要防止碎片化教学现象的延续,老师的困惑：单元设计会出现课的容量过大问题，知识不巩固、解题能力不过关。受应试的困扰，大家习惯于,“,当堂巩固,”,，学一个知识点就要进行大量巩固性练习。这样的教学，结果必然是：知识碎片化，而孤立的、缺乏知识系统性的知识点训练也导致了训练效果不佳，学生综合运用知识的能力不强。,思想、方法的普遍适用性,例如，直线平行于平面的性质,位置关系（大前提）,：直线,l,平面,；,探究性质的思路：直线,l,、平面,与其他直线、平面所形成的确定关系，可以得到命题：,（,1,）如果,a,l,（小前提,）,，那么,a,；,（,2,）如果,a,，那么,a,l,；,（,3,）如果,a,l,，那么,a,；,（,4,）如果,a,，那么,a,l,；,（,5,）如果,l,，那么,；,（,6,）如果,，那么,l,；,（,7,）如果,l,，那么,；,（,8,）如果,，那么,l,。,（,9,）与“公理”相联系，直线,l,与平面,内任意一点,A,确定一个平面,，,=,m,，那么,m,l,；,（,10,）,l,，所以,l,=,。如果,m,在,内，则或者,m,l,，或者,m,与,l,是异面直线。,（,11,）直线,m,与直线,l,异面，则过直线,m,有且只有一个平面与直线,l,平行。,（,12,）,l,，,=l,，,=l,1,，,=l,2,，,那么,l,1,l,2,。,研究对象在变，,“,研究套路,”,不变，思想方法不变！,这就是数学基本思想、数学基本活动经验的力量！,几何性质的分类,几何学的基本研究对象可分为两类：物体的形状、物体的,位置，它们的特征就是性质。,几何图形的,形状,：通过它的组成元素的形状及其位置关系来反映,结构特征；,点、直线、平面的位置关系,：,点、直线、,平面（基本几何图形）的,位置关系,是几何图形位置关系的基础,，核心是平行（空间的平直性）、垂直（空间的对称性），距离、角度等可以把位置关系定量化,。,三角形性质的研究思路和方法,以,三角形,的要素（三条边、三个内角）、相关要素（高、中线、角平分线、外角等）以及几何量（边长、角度、面积等）之间的相互关系为基本问题，从,“,形状、大小和位置关系,”,等角度展开研究。,“,形状,”,中，,“,特例,”,是重点,等腰三角形和直角三角形，凡事,“,特例,”,都有性质和判定两个基本问题。,在,一般观念指导下研究,几何图形的性质,。,如何让学生发现三角形的性质,问题,1,：什么叫三角形的性质？,问题,2,：“三条边的关系”指什么？“三个角的关系”又指什么？,问题,3,：边和角之间有确定的关系吗？,问题,4,：高、角平分线、中线的性质是如何表现的？外角呢？,从三角形的“内角和为,180”,、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”、“等边对等角”等你想到了什么？,抽象：三角形的角、边之间的稳定的联系、确定的关系就是性质。,某一类几何对象组成要素之间确定的关系（任意一个对象都具有的关系）就是性质。,从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又想到了什么？,把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”之间的位置关系就是性质。,要素、相关要素之间确定的关系（不随具体事物的变化而变化）也是性质。,三条线段首尾相连,？,四条线段首尾相连而成的平面图形,问题,1,我们已经比较完整地研究了三角形，,接下来你想研究什么平面图形？,四边形,三角形,你能按这个定义画一个四边形吗？,四边形的教学,我们是怎样研究三角形的？,研究思路？,研究内容？,研究方法？,确定研究对象（给定义）,发现性质,证明性质,研究特例（性质、判定）,三角形的组成要素、相关要素之间的大小关系、位置关系（角与角、边与边、边与角）。,度量、观察、实验，从几个具体三角形中发现共性，再推广到一般；研究对象特殊化，发现特殊三角形的性质；条件和结论互换，发现新的定理（性质,判定）,怎样研究四边形,温故而知新,三角形,边,角,三线,四边形,边,角,对角线,三角形,三角形,三角形,边,角,三线,三角形,边,角,三线,三角形,三角形,三角形,三角形,边,角,三线,三角形,边,角,三线,三角形,观察,猜想,证明,边,角,三线,三角形,观察,猜想,证明,边,角,三线,三角形,观察,猜想,证明,边,角,三线,三角形,边,角,三线,三角形,边,角,三线,三角形,确定研究对象（给定义）,发现性质,证明性质,研究特例（性质、判定）,研究一般四边形,四边形,内角和为,360,，外角和,360,.,定义,O,任意三边的和都大于第四边。,对角线的和大于周长的一半而小于周长。,明确定义,发现性质,证明性质,边,角,对角线,性质,四条线段首尾相连而成的平面图形,提出问题：特殊四边形的研究,A,B,C,温故,A,B,C,A,B,C,边的大小特殊化,边的位置特殊化,角特殊化,特殊三角形的性质、判定,知新,O,边的位置特殊化,特殊四边形的性质、判定,怎样研究？,研究思路？,研究内容？,研究方法？,确定研究对象（给定义）,发现性质,证