第3章 动量与角动量2009版

动量与角动量,第三章,牛顿定律揭示了物体所受外力与它的加速度之间的关系。只要知道物体在某一时刻的受力情况，就可根据牛顿第二定律求出物体在该时刻获得的加速度。,然而，实际上力对物体的作用总是要延续一段或长或短的时间，在这段时间内，力的作用将积累起来产生一个总的效果。,本章将介绍力的时间积累效应的规律以及由此引出的一些重要定律。,3.1,冲量与动量定理,一、动量,定义,在经典力学中，物体的质量是恒定的，可将牛顿第二定律做下面的演化：,瞬时状态量，,SI,单位,kg,ms,-1,引入动量后，牛顿第二定律可以表示为：,任一瞬间，质点动量的时间变化率等于同一瞬间作用于质点的合力，其方向与合力方向一致。表明力是使物体动量改变的原因。,作用于物体上的合外力的冲量等于物体动量的增量,质点的动量定理,二、动量定理,注意,(1),动量定理和牛顿第二定律都反映了质点运动状态的变化与力的作用关系，但有差别。,牛顿第二定律,表示的是在力的作用下质点动量的,瞬时变化,规律；,动量定理,则表示在力作用下质点动量的,持续变化,情形，即在一段时间内合力对质点作用的积累效果。,牛顿第二定律：,动量定理：,要产生同样的效果，即同样的动量增量，力大力小都可以。力大，时间可以短些；力小，时间需长些。只要力的时间积累（即冲量）一样，就产生同样的动量增量。,注意,(2),三、动量定理的应用,求平均冲力的大小,作用于物体上的力是作用时间极短，数值很大而且变化很快的一种力，这种力称为冲力。,确定冲力随时间变化的细节很难，无法用牛顿第二定律处理。可以测定物体在冲击前后的动量，以及冲力作用于物体的时间，借助动量定理来估计冲力的平均值。,注意,(1),合外力的冲量的方向应和受力质点的动量的增量的方向一致，但不一定和质点的初动量或末动量的方向一致。,动量定理式都是矢量公式，应用时可直接用作图法，按几何关系求解，也可用分量式求解。,冲量在任一方向的分量只能改变自己方向上的动量分量，而不能改变与它相垂直的其他方向的动量分量。,注意,(2),例,1,：质量为,2.5g,的乒乓球以,10,m/s,的速率飞来，被板推挡后，又以,20,m/s,的速率飞出。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为,45,o,和,30,o,，,求：,（1）,乒乓球得到的冲量；,（2）,若撞击时间为,0.01,s,，,求板施于球的平均冲力的大小和方向,。,45,o,30,o,n,v,2,v,1,解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。设挡板对球的冲力为,F,，则有：,45,o,30,o,n,v,2,v,1,O,x,y,取坐标系，将上式投影，有：,为,平均冲力,与,x,方向的夹角,。,45,o,30,o,n,v,2,v,1,O,x,y,小球受到的冲量为：,平均冲力为：,此题也可用矢量法解,v,2,v,1,v,1,t,45,o,30,o,n,v,2,v,1,O,x,y,求角度：,a,为,F,与,x,轴夹角,平均冲力：,例,2,、一质量均匀分布的柔软细绳铅直地悬挂着，绳的下端刚好触到水平桌面上，如果把绳的上端放开，绳将落在桌面上。试证明：在绳下落的过程中，任意时刻作用于桌面的压力，等于已落到桌面上的绳重量的三倍。,o,x,分析：,绳子自由下落，其加速度为,g,。,桌面受到的压力来自两个方面，一是已落下的绳子的质量力，一是绳子下落时对桌而的冲力。,以绳子为研究对象，它受到的力有两个，重力和桌面对它的冲力，在计算绳子受到的冲力时，重力可忽略不计。,根据动量定理，桌面对柔绳的冲力为：,柔绳对桌面的冲力,F,F,即：,而已落到桌面上的柔绳的重量为,mg=,Mgx,/L,所以,F,总,=,F+mg=2Mgx/L+Mgx/L=3mg,证明：,取如图坐标，设,t,时刻已有,x,长的柔绳落至桌面，随后的,dt,时间内将有质量为,dx,（,Mdx,/L),的柔绳以,dx/dt,的速率碰到桌面而停止，它的动量变化率为：,关于质点动量定理的几点说明,质点动量定理是矢量规律，要注意其矢量特点,（例如小球垂直下落与地面作弹性碰撞后以相同的速率反弹回来）,力的冲量是过程量，对应于一段时间；质点动量是状态量,(,瞬时量,),，对应于一个时间点,(,时刻,),。,由质点动量的改变量可以确定一段时间内合力的冲量（即合力的积累效应），但不能确定各个瞬时的作用力的大小。,应用质点动量定理时，要注意参照系的选择。只能在惯性系中运用。,不同的惯性系中，冲量有相同的形式，而动量的数值和方向随参照系而变，但动量的改变量不变。,1,、内力与外力,四、质,点系的动量定理,内力：,系统内各质点间的相互作用力称为内力,外力：,系统以外的其他物体对系统内任意一质点的作用力称为外力。,例子：区分内力与外力,A,B,外力：,内力：,用水平向右的力,F,推物体,B,，,A,、,B,之间无相对滑动并以共同的加速度向右运动。,2,、质点系动量定理,两个质点组成的质点系：,在起始时刻,t,0,，两质点动量分别为：,在时刻,t,，两质点动量分别为：,选取适当的惯性参照系，对两质点分别运用动量定理：,两式相加，且根据牛顿第三定律，有：,第,i,个质点受到的合力为,对第,i,个质点运用动量定理有：,将上述结果推广到由任意多,个,质点组成的质点系,分别列出,N,个质点的动量定理，相加后可得：,内力成对出现，其冲量的矢量和为零，即：,所以：,质点系动量定理,质点系动量定理,3,、用于质点系牛顿第二定律,质点系动量定理,将上式写成微分形式：,系统的总动量,系统所受合外力,用于质点系的牛顿第二定律,系统的总动量随时间的变化率等于该系统所受的合外力,注意,质点系动量定理表明：系统总动量随时间的变化完全是外力作用的结果，,系统的内力不会引起系统总动量的改变,。,外力与内力的区分完全取决于所选取的研究对象。,质点系动量定理是由牛顿定律导出的规律，只适用于惯性参照系。,质点系动量定理的数学表达式是矢量方程，直角坐标系中的分量式为：,外力矢量和在某一方向的冲量等于在该方向上质点系动量分量的增量。,例：一辆煤车以,v=3m,/s,的速率从煤斗下面通过，每秒钟落入车厢的煤为,m=500kg,。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢（车厢钢轨间的磨擦忽略不计）,x,v,F,dm,m,x,v,F,dm,m,解：以,m,表示时刻,t,煤车和已落进煤车的煤的总质量，此后,dt,时间内又有质量为,dm,的煤落入车厢。,dm,在落入车厢前水平速度为,0,，落下后的水平速率为,v,。,t+dt,时刻的水平总动量：,此系统所受的水平外力为牵引力,F,，由动量定理得：,取,m,和,dm,组成质点系。,该系统在,t,时刻的水平总量为：,一、质点系动量守恒定律,一个孤立的力学系统（系统不受外力作用）或合外力为零的系统，系统内各质点间动量可以交换，系统的总动量保持不变。,-,动量守恒定律,3.2,动量守恒定律,二、几点说明,1,、动量是矢量。质点组动量守恒，是指质点组内所有质点的动量的矢量和在过程中保持不变。,例：三个弹性小球用绳扎紧，静止地放在光滑桌面上。细线剪断前后总动量保持为零。,2,、系统内力,外力时，可使用动量守恒定律处理问题,。,例：两物体发生碰撞时，撞击力（内力）比空气阻力、摩擦力甚至重力都大得多，近似认为满足动量守恒定律。,3,、实际问题中，常使用动量守恒矢量式的直角坐标分量式。,例：一个物体在空中炸成几块，在忽略空气阻力的情况下，这些碎块受到的外力只有竖直向下的重力，因此它们的总动量在水平方向上的分量守恒。,4,、动量定律是由牛顿定律导出的，只适用于惯性系。,求：,1,、若人匀速运动，他到达车尾时车的速度；,2,、车的运动路程；,3,、若人以变速率运动，上述结论如何？,例,1,、,m,解,：以人和车为研究系统，取地面为参照系。水平方向系统不受外力作用，动量守恒。,初态：,人和车相对地面以速率,v,0,沿,x,轴正向运动，该质点系动量的水平分量为,(M+m)v,0,末态：,车相对地面的速率为,v,，,人相对于车的速率为,-,u,，则人相对于地面的速率为,(-u+v),，质点系动量的水平分量为,Mv,+,m,(-u+v),m,2),车的运动路程为：,由水平方向动量守恒：,1),人匀速运动，到达车尾时小车的速度为,：,u=l/t,由于人匀速运动，即,u,为常量，故小车的运动速度,v,也为常量。此时车的运动路程可用,s=vt,进行计算。,3,),若人以变速度运动，即人相对于小车的速率,u,不是一个恒定值,在任意时刻，车与人组成的质点系的动量在水平方向的分量仍守恒，即仍满足下面的关系式,由此解得小车的运动速率为：,u,随时间变化，故小车的运动速率也随时间变化。小车的运动距离须用积分来求。,车的运动距离为：,人匀速和变速运动得到的结果相同。,例,2,、一个原先静止的装置炸裂为质量相等的三块。已知其中两块在水平面内各以,80m/s,和,60m/s,的速率沿垂直的两个方向飞开。求第三块的飞行速度。,v,2,y,x,v,1,O,v,3,q,分析：,以三个碎块为一质点系。已知两碎块在水平面内运动，而质点系又不受外力（由于内力远大于外力，重力、空气阻力等可忽略），故第三块碎块也必在水平面内运动，且质点系动量守恒。,解：,如图在水平面内建立直角坐标系,xoy,v,2,y,x,v,1,O,v,3,q,质点系炸裂前动量为零，由于动量守恒，炸裂后总动量应该也为零：,因为三碎块质量相等，故有：,设第三碎块的速度方向与,x,轴成,q,角，将上面的矢量式改写为分量形式，有：,两式联立求解可得：,3.3,火箭飞行原理,火箭是其内部燃料,(,液态氢,),在氧化剂,(,液态氧,),作用下急剧燃烧，产生炽热气体并以高速向后喷射致使火箭主体获得向前的动量。,在,t,时刻，,dm,尚未被喷出，火箭总质量相对于地面的速度为,v,，动量为,Mv,在,t+,t,时刻，,dm,被以相对于火箭的速度,(,称为喷射速度,),u,喷出，火箭则以,v+dv,的速度相对于地面飞行。,时刻,时刻,我们可以将火箭的总质量,M,分成两部分，一部分是火箭主体质量,M-,dm,，另一部分则是行将被喷出的物质质量,dm,。,将火箭主体和喷射的物质视为一个系统，并忽略作用于系统的仅有的一个外力,重力，则根据动量守恒定律，在飞行方向的分量式为：,燃料喷出后火箭主体的质量,燃料喷出后火箭主体的速度,燃料质量,燃料相对于地面的速度,燃料喷出后火箭系统的在飞行方向上的动量（末态动量）。,燃料喷出前火箭系统在飞行方向上的动量,(,初态动量,),。,由于火箭上燃料,dm,的喷射，使火箭总质量,M,减少，其减少量可记为,-dM,，故有,dm=-dM,于是上式变为（将,dm,用,-dM,表示）：,(,忽略二阶无穷小量,dM,dv,),设：火箭点火时质量为,m,i,，初速度为,v,i,；燃料烧完时火箭的质量为,m,f,，末速度为,v,f,。,上式积分可得：,如果,v,i,=0,，火箭主体在其质量从,M,0,变到,M,时所达到的速度为：,采用多级火箭。运行时，先让第一级火箭发动，推动火箭主体前进；当第一级火箭燃料耗尽时让其自脱落，以减小,M,的值。第二级火箭开始工作，继续推动火箭前进，依次进行下去，直到最后一级火箭的燃耗尽并脱落，剩,余,的部分则是有效负载，能达到相当大的速度。,讨论,式中，,M,0,是火箭未发射时的质量，包括负载、火箭外壳等结构以及全部燃料和氧化剂的质量；,M,是负载及火箭外壳等结构的质量。,如何提高火箭的速度？,方法一：提高喷射速度,u,（难以实现）,化学燃烧过程所达到的喷射速度理论值为,5,10,3,m/s,，而实际能达到的只有此值的一半左右。难以再提高。,方法二：提高质量比,M,0,/M,（实际可行）,3.4,质心,一、质心的定义,质心就是一个质点系的质量中心,C,m,1,m,2,m,3,X,Z,Y,O,C,设一个质点系由,n,个质点组成，以,m,1,m,2,m,i,m,n,分别表示各质点的质量；以,分别表示各质点对某一坐标原点的