弯曲应力刘鸿文

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第五章 弯曲应力,刘鸿文,工程实例,工程实例,工程实例,工程实例,工程实例,工程实例,工程实例,5-1,纯弯曲,弯矩是垂直于横截面的内力系的合力偶矩；而剪力是切于横截面的内力系的合力；,弯矩,M,只与横截面上的正应力,s,相关，而剪力,F,S,只与切应力,t,相关。,A,B,C,D,a,a,F,F,+,-,F,F,S,图,F,+,Fa,M,图,AC,、,DB,段为横力弯曲,CD,段为纯弯曲,b,b,m,n,n,m,a,a,D,x,d,q,b,b,m,m,n,n,M,M,a,a,平面假设：变形前原为平面的横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁的轴线。,纯弯曲实验,设想梁由平行于轴线的众多纵向纤维所组成。变形后，上侧纤维缩短，下侧纤维伸长，中间必有一层纤维的长度不变，称为,中性层,。,5-2,纯弯曲时的正应力,在,推导纯弯曲梁横截面上正应力,的计算公式时，,要综合考虑,几何,，,物理,和,静力学,三方面 。,当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩,M,，,又有剪力,F,S,。,只有与正应力有关的法向内力元素,d,F,N,=,d,A,才能合成弯矩,只有与切应力有关的切向内力元素,d,F,S,=,d,A,才能合成,剪力,所以，在梁的横截面上一般既有,正应力,，又有,切应力,F,S,M,I,、纯弯曲正应力公式,推导过程演示,1,1,2,2,c,a,b,d,1,1,2,2,c,a,b,d,M,M,M,M,假设,平截面假设,单向受力假设,中性层,：构件内部既不伸长也不收缩的纤维层。,中性轴,：横截面与中性层的交线。,M,M,1.,几何条件,m,2,n,2,s,y,s,L,y,O,1,O,2,r,a,2,dx,n,2,m,2,n,1,m,1,O,曲率中心,n,2,dx,n,1,m,1,m,2,y,a,1,y,a,2,e,1,O,1,O,2,e,2,x,中性层,z,中性轴,y,对称轴,o,a,2,a,1,y,d,q,d,l,d,q,x,e,2,e,1,2.,物理条件,(,胡克定律,),3.,静力学条件,d,A,y,z,(,中性轴,),x,z,y,O,s,d,A,M,中性轴通过截面形心,梁的上下边缘处，弯曲正应力取得最大值,，分别为：,抗弯截面模量,。,4.,纯弯曲梁横截面上的应力,(,弯曲正应力,),：,距中性层,y,处的应力,y,轴为对称轴,5.,横截面上正应力的画法：,M,s,min,s,max,M,s,min,s,max,线弹性范围,正应力小于比例极限,s,p,；,精确适用于纯弯曲梁；,对于横力弯曲的细长梁,(,跨度与截面高度比,L/h5),，上述公式的误差不大，但公式中的,M,应为所研究截面上的弯矩，即为截面位置的函数。,6.,公式适用范围：,1.,矩形截面,三种典型截面对中性轴的惯性矩,2.,实心圆截面,3.,截面为外径,D,、内径,d,(,a,=d/D,),的空心圆,:,弯曲正应力分布,弹性力学精确分析表明，当跨度,l,与横截面高度,h,之比,l/h,5,（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。,横力弯曲最大正应力,5-3,横力弯曲时的正应力,工,件,A,C,B,2a,a,A,B,F,C,2a,a,Fa,例题,5,1,螺栓压板加紧装置如图所示。已知板长,3,a,150mm,，压紧材料的弯曲许用应力,s,=140MPa,。试计算压板传给工件的最大容许压紧力,F,。,解：绘制,M,图，求出,M,max,Fa,。,例题,5-2,卷扬机卷筒心轴的材料,45,钢，弯曲许用应力,s,100MPa,，轴的结构和受力如图所示，,F,25.3kN,。试校核轴的强度。,A,25.3kN,25.3kN,F,95,F,88,F,85,60,55,55,55,55,145,840,B,M,1,M,2,M,3,M,4,解：绘制,M,图,求出各截面上的最大应力，进行强度校核。,例题,5,3,T,形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示。铸铁的,抗拉许用应力为,t,=30MPa,抗压许用应力为,C,=160MPa,。,已知截面对形心轴,Z,的惯性矩为,I,z,=763cm,4,y,1,=52mm,校核梁的强度。,80,y,1,y,2,20,20,120,z,P,1,=9KN,P,2,=4KN,A,c,B,D,1m,1m,1m,解：,最大正弯矩在截面,C,上,最大负弯矩在截面,B,上,+,-,2.5,4,C,B,B,截面,C,截面,+,-,2.5,4,C,B,习题,如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷,F,=15kN,作用。试计算截面,B,-,B,的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应力。,解,：,1,确定截面形心位置,选参考坐标系,zoy,如图示，将截面分解为,I,和,II,两部分，形心,C,的纵坐标为,:,2,计算截面惯性矩,20,120,20,120,单位：,mm,I,II,3,绘制弯矩图 截面,BB,的弯矩为,:,计算最大弯曲正应力,在截面,B,的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值分别为：,6kN,m,习题,受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：,（,1,）,11,截面上,1,、,2,两点的正应力；,（,2,）此截面上的最大正应力；,（,3,）全梁的最大正应力；,（,4,）已知,E=200GPa,，,求,11,截面的曲率半径。,解：画,M,图求截面弯矩,M,1,M,max,求应力,M,1,M,max,求曲率半径,1,120,180,30,2,q=60,kN,/m,1,m,2,m,1,1,B,A,y,z,M,1,M,max,梁的正应力强度条件,1.,弯矩最大的截面上,2.,离中性轴最远处,4.,脆性材料,抗拉和抗压性能不同，二方面都要考虑,3.,变截面梁要综合考虑 与,O,z,y,y,t，max,y,c，max,O,z,y,y,t，max,y,c，max,为充分发挥材料的强度，最合理的设计为,习题,跨长,l,=2m,的铸铁梁受力如图所示。已知材料的拉,，,压许用应力分别为,s,t,30MPa,，,s,c,90MPa,。试根据截面最为合理的要求，确定,T,字形截面梁横截面的尺寸,d,，并校核梁的强度。,A,B,1m,2m,P,=80KN,解：要使截面最合理，必须使同一截面的,220,y,60,280,z,o,z,已知,o,z,以上边缘为参考边,220,y,60,280,z,1,2,220,y,60,280,z,(2),校核梁的强度,习题,一槽形截面铸铁梁如图所示。已知，,b=2 m,I,Z,549310,4,mm,4,，铸铁的许用拉应力,s,t,=30MPa,，许用压应力,s,c,=90MPa,。试求梁的许可荷载,F,。,b,C,b,D,A,P,b,B,解,：,弯矩图如图所示。,最大负弯矩在,B,截面上，,最大正弯矩在,C,上,。,y,20,20,134,86,120,180,z,40,C,y,1,y,2,梁的截面图如图所示，中性轴,到上，下边缘的距离分别为,-,+,C,B,C,截面,-,+,C,B,C,截面的强度条件由最的拉应力控制。,B,截面,取其中较小者，得该梁的,许可荷载为,习题,两矩形截面梁，尺寸和材料的许用应力均相等，但放置如图,(a),、,(b),。,按弯曲正应力强度条件确定两者许可载荷之比,F,1,F,2,？,解：,分析：该题的关键：两种梁的最大弯曲正应力相等且等于许用应力。,由弯曲正应力计算公式,解：由弯矩图可见,该梁满足强度条件，安全,习题,图示外伸梁，受均布载荷作用,，,材料的许用应力,=160MPa,，,校核该梁的强度。,习题,简支梁在跨中受集中载荷,P,=30,kN,，,l,=8,m,，,120,MPa,。,试为梁选择工字钢型号。,解：,由强度条件，得,选择工字钢,28a,A,B,P,习题,梁,AC,的截面为,10,工字钢，,B,点用圆钢杆,B,D,悬挂，已知圆杆的直径,d,=20mm,，,梁及杆的,=160,MPa,，,试求许用均布载荷,q,。,解：由平衡条件,10,号工字钢,A,d,B,C,D,2m,1m,q,q,+,+,-,F,B,F,N,5-4,弯曲的切应力,I,、梁横截面上的切应力公式,1,、公式推导：,n,1,m,n,2,m,1,z,e,1,1,1,1,1,y,e,2,e,1,x,2,1,1,2,dx,b,A,y,y,x,d,x,x,M,+d,M,M,F,S,F,S,s,s,+d,s,t,m,n,m,m,d,x,t,y,t,A,一,、矩形梁横截面上的切应力,横截面上距中性轴等远的各点处,切应力,大小相等,。,各点的切应力方向均与,截面侧边平行,。,F,S,横截面上的剪力,I,S,横截面对中性轴的惯性矩,b,求应力点处的宽度,S,*,Z,横截面上距中性轴为,y,的横线以外部分的面积对中性轴的静矩,t,y,切应力，方向与,F,s,相同,Z,y,y,0,y,0,b,h/2,h/2,max,二,、工字形梁横截面上的切应力,分母两项查表。,其他截面的切应力最大值，一般也在中性轴处。,计算腹板上距中性轴为,y,处的切应力,o,z,y,b,h,0,y,b,0,h,工字钢截面切应力公式推导,三、薄壁环形截面梁,z,y,横截面上切应力的大小沿,壁厚无变化。,切应力的方向与圆周相切,。,图,5-7,为一段薄壁环形截面梁。环壁厚度为,环的平均半径为,r,0,，,由于,r,0,故可假设,式中,A=2,r,0,为环形截面的面积,横截面上最大的切应力发生,中性轴上，其值为,四、圆截面梁,式中,为圆截面的面积,d,z,o,y,最大切应力发生在中性轴上,假设,沿宽度,上各点处的,切应力均汇交于,点,。,各点处切应力沿,y,方向的分量,沿宽度相等。,在截面边缘上各点的切应力,的方向与圆周相切。,五、等直梁横截面上最大剪应力的一般公式,对于 等直梁，其最大剪应力,t,max,一定在最大剪力,F,S,max,所在的横截面上，而且一般说是位于该截面的中性轴上。全梁各横截面中最大剪应力可统一表达为,b,横截面在中性轴处的宽度,全梁的最大剪力,整个横截面对中性轴的惯性矩,中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩,II,、,梁的切应力强度条件,梁的切应力强度条件为,在选择梁的截面时，通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。,式中，,为材料在横力弯曲时的许用切应力。,在选择梁的截面时，必须同时满足正应力和切应力强度条件。,通常先按正应力选出截面，再按切应力进行强度校核。,梁的强度大多由正应力控制，按正应力强度条件选好截面后，一般并不需要再按切应力进行强度校核。,但在以下几种特殊条件下，需校核梁的切应力：,1,、梁的最大弯矩较小，而最大剪力却很大；,2,、在焊接或铆接的组合截面（如工字钢）钢梁中，当其横截面腹板部分的厚度与梁高之比小于型钢截面的相应比值；,3,、由于木材在其顺纹方向的剪切强度较差，木梁在横力弯曲时可能因中性层上的切应力过大而使梁沿中性层发生剪切破坏。,例题,5,5,简支梁,AB,如图所示。,l,=2m,，,a,=0.2m,。梁上的载荷为,q,=10kN/m,，,F,200kN,。材料的许用应力,s,160MPa,，,t,100MPa,。试选择适用的工字钢型号。,q,F,F,B,A,l,a,a,210,210,45,解：绘制,F,S,、,M,图，,M,max,45kN,m,。,习题,简支梁受均布荷载作用，其荷载集度,q,3.6kN/m,梁的跨长,l,=3m,横截面为,b,h,=120180mm,2,许用弯曲正应力,s,=7MPa,，许用切应力,t,=0.9MPa,校核梁的强度。,A,B,q,解：梁的正应力强度校核,最大弯矩发生在跨中截面上，其值为,梁横截面的的抗弯截面系数为,横截面上的最大正应力,梁的剪应力强度校核,矩形截面的面积为,梁横截面上的最大剪应力,梁最大的剪力为,所以此木梁是安全的。,习题,悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为,1m,。,胶合面的许可切应力为,0.34MPa,，,木材的,=10,M