材料力学 拉伸压缩、剪切

河南理工大学土木工程学院,第二章 轴向拉伸和压缩,材料力学,第二章 轴向拉伸与压缩,剪切,Tuesday,October 8,2024,2-1,轴向拉压的概念及实例,目 录,2-2,内力计算,2-3,拉压杆的应力,2-4,拉压杆的变形计算,2-5,拉（压）杆内的应变能,2-7,强度条件,2-8,应力集中的概念,2-6,材料的基本力学性能,钢压杆,一、工程实例,2-1,轴向拉压的概念及实例,2.1,轴向拉压的概念,三、变形特点,沿轴向伸长或缩短,二、受力特点,外力的合力作用线与杆的轴线重合,四、计算简图,F,F,F,F,轴向压缩,轴向拉伸,2.1,轴向拉压的概念,思考：,下列杆件是不是拉压杆？,2.1,轴向拉压的概念,m,m,F,F,一、求内力,设一等直杆在两端轴向拉力,F,的作用下处于平衡，欲求杆件 横截面,m m,上的内力。,22,内力计算,1,、截面法,2.2,内力计算,2,、快速算法,杆横截面上的轴力大小等于该截面左侧,(,或右侧,),杆上所有轴向外力的代数和，其中外力背离该截面的轴向外力引起正轴力，反之外力指向该截面者引起负轴力。,例题,1,一等直杆其受力情况如图所示，作杆的轴力图,.,C,A,B,D,600,300,500,400,E,40kN,55kN,25kN,20kN,2.2,内力计算,C,A,B,D,600,300,500,400,E,40kN,55kN,25kN,20kN,C,A,B,D,E,40kN,55kN,25kN,20kN,R,解,:,求支座反力,2.2,内力计算,求,AB,段内的轴力,R,F,N1,C,A,B,D,E,40kN,55kN,25kN,20kN,R,1,2.2,内力计算,求,BC,段内的轴力,R,40kN,F,N2,20kN,C,A,B,D,E,40kN,55kN,25kN,R,2,2.2,内力计算,F,N3,求,CD,段内的轴力,20kN,25kN,C,A,B,D,E,40kN,55kN,25kN,20kN,R,3,2.2,内力计算,求,DE,段内的轴力,20kN,F,N4,40kN,55kN,25kN,20kN,R,4,2.2,内力计算,F,N1,=10kN,（拉力）,F,N2,=50kN,（,拉力,）,F,N3,=-5kN,（压力）,F,N4,=20kN,（拉力）,发生在,BC,段内任一横截面上,C,A,B,D,600,300,500,400,E,40kN,55kN,25kN,20kN,F,50,10,5,20,+,+,N,KN,2.2,内力计算,.,应力的概念,受力杆件,(,物体,),某一截面的,M,点附近微面积,A,上分布内力的平均集度即,平均应力,，其方向和大小一般而言，随所取,A,的,大小而不同。,23,拉压杆的应力,该截面上,M,点处分布内力的集度为 ，其方向一般既不与截面垂直，也不与截面相切，称为,总应力,。,2.3,拉压杆的应力,总应力,p,法向分量,正应力,s,某一截面上法向分布内力在某一点处的集度,切向,分量,切,应力,t,某一截面上切向分布内力在某一点处的集度,应力量纲：,ML,-,1,T,-2,应力单位：,Pa(1 Pa=1 N/m,2,，,1,MPa,=10,6,Pa),。,2.3,拉压杆的应力,.,横截面上的正应力,F,F,a,b,c,d,F,F,a,b,c,d,2.3,拉压杆的应力,1.,变形现象,(1),横向线,ab,和,cd,仍为直线，且仍然垂直于轴线,;,(2),ab,和,cd,分别平行移至,a,b,和,cd,且伸长量相等,.,结论：各纤维的伸长相同，所以它们所受的力也相同,.,F,F,a,b,c,d,2.,平面假设：,变形前原为平面的横截面，在变形后仍保持为平面，且仍垂直于轴线,.,2.3,拉压杆的应力,3.,内力的分布,F,F,N,均匀分布,4.,正应力公式,对变截面杆，当截面变化缓慢时，杆件横截面上的正应力也近似为均匀分布，有：,2.3,拉压杆的应力,例题,2,-3,试求此正方形砖柱由于荷载引起的横截面上的最大工作应力。已知,F,=50,kN,。,2.3,拉压杆的应力,段柱横截面上的正应力,所以，最大工作应力为,s,max,=,s,2,=,-,1.1,MPa,(,压应力）,解：,段柱横截面上的正应力,(,压应力,),(,压应力,),2.3,拉压杆的应力,强度条件,：,杆内的最大工作应力不超过材料的许用应力,强度条件的应用,(2),设计截面,(1),强度校核,(3),确定许可荷载,2.3,应力及强度条件,例题,刚性杆,ACB,由圆杆,CD,悬挂在,C,点，,B,端作用集中力,F,=50,kN,，许用应力,=160MPa,，试设计,CD,杆的,直径。,2,a,a,F,A,B,D,C,2.3,应力及强度条件,2,a,a,F,A,B,D,C,F,N,CD,F,A,C,B,Y,由,得,d,=24.4mm,取,d,=25mm,解：,求,CD,杆受,力,2.3,应力及强度条件,例题,简易起重设备中，,AC,杆由两根,80,80,7,等边角钢组成，,AB,杆由两根,10,号工字钢组成，材料为,Q235,钢，许用应力,=170,MPa,，,求许可荷载,F,。,A,B,C,F,1m,30,0,2.3,应力及强度条件,F,A,x,y,F,N1,F,N2,30,0,解：,(1),取结点,A,为研究对象，受力分析如图,所示,。,结点,A,的平衡方程,为,由型钢表查得,F,A,x,y,F,N1,F,N2,30,0,得到,2.3,应力及强度条件,(2),求许可荷载,(4),结论：许可荷载,F=184.6,kN,由,AC,杆,由,AB,杆,2.3,应力及强度条件,F,k,k,F,二、斜截面上的应力,1,、斜截面上的应力,F,k,k,F,p,以 表示斜截面,k-k,上的应力，于是有,2.3,拉压杆的应力,沿截面法线方向的正应力,沿截面切线方向的剪应力,将应力,p,分解为两个分量：,p,F,k,k,F,F,k,k,x,n,p,2.3,拉压杆的应力,（,1,）,角,2.,符号的规定,（,2,）正应力,拉伸为正,压缩为负,（,3,）切应力 对研究对象任一点取矩,.,p,F,k,k,F,F,k,k,x,n,p,顺时针为正,逆时针为负,逆时针时,为正号,顺时针时,为负号,自,x,转向,n,2.3,拉压杆的应力,(1),当,=0,0,时,，,(2)=45,0,时，,(3)=-45,0,时,，,(4),=90,0,时，,x,n,F,k,k,讨论：,2.3,拉压杆的应力,一、纵向变形,2.,纵向应变,1.,纵向变形,2-4,拉压杆的变形计算,3.,胡克定律,式中,E,称为,弹性模量,，,EA,称为,抗拉（压）,刚度,.,实验表明在此弹性范围内，正应力与线应变成正比。,上式改写为,由,2.4,拉压杆的变形,二、,横向变形,三、泊松比,称为,泊松比,2,、横向应变,1,、,横向变形,2.4,拉压杆的变形,例题,2-5,图示为一变截面圆杆,ABCD,。,已知,F,1,=20kN,，,F,2,=35kN,，,F,3,=35kN,。,l,1,=,l,3,=300mm,，,l,2,=400mm,。,d,1,=12mm,，,d,2,=16mm,，,d,3,=24mm,。,试求：,(1)-,、,-,、,-,截面的轴力并作轴力图,(2),杆的最大正应力,max,(3),B,截面的位移及,AD,杆的变形,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,2.4,拉压杆的变形,解：求支座反力,R,=-50kN,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,R,-,、,-,、,-,截面的轴力并作轴力图,F,1,F,N1,2.4,拉压杆的变形,F,2,F,1,F,N2,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,R,R,F,N3,2.4,拉压杆的变形,F,N2,=-15kN（-）,F,N1,=20kN（+）,F,N3,=-50kN（-）,15,+,-,20,50,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,R,2.4,拉压杆的变形,(2),杆的最大正应力,max,AB,段：,DC,段：,BC,段：,F,N2,=-15kN (-),F,N1,=20kN（+）,F,N3,=-50kN(-),F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,R,max,=176.8MPa,发生在,AB,段,.,2.4,拉压杆的变形,(,3),B,截面的位移及,AD,杆的变形,F,1,F,2,F,3,l,1,l,2,l,3,A,B,C,D,R,2.4,拉压杆的变形,例,2-6,如图，等直杆，自重集度为,q,，长度为,l,，容重为,弹性模量为,E,，求：伸长,l,。,l,解：,2.4,拉压杆的变形,例,2-7,变截面杆如图，求杆的伸长量。,解：,2.4,拉压杆的变形,2.4,拉压杆的变形,例题,2-8,图所示杆系由两根钢杆,1,和,2,组成,.,已知杆端铰接，两杆与铅垂线均成,=30,0,的角度，长度均为,l,=2m,，,直径均为,d,=25mm,，,钢的弹性模量为,E,=210GPa.,设在点处悬挂一重物,F,=100,kN,，,试求,A,点,的位移,A,.,A,B,C,1,2,四、节点的位移,2.4,拉压杆的变形,A,B,C,1,2,解：,(1),列平衡方程，求杆的轴力,F,y,F,N,1,F,N,2,A,1,2,x,2.4,拉压杆的变形,A,(2),两杆的变形为,变形的几何条件相容是，变形后，两杆仍应铰结在一起,.,A,B,C,1,2,A,B,C,1,2,（,伸长）,2.4,拉压杆的变形,以两杆伸长后的长度,BA,1,和,CA,2,为半径作圆弧相交于,A,，,即为,A,点,的新位置,.,AA,就是,A,点的位移,.,A,A,B,C,1,2,A,2,A,1,A,1,2,因变形很小，故可过,A,1,，,A,2,分别做两杆的垂线，相交于,A,A,可认为,A,2.4,拉压杆的变形,F,A,F,N,1,F,N,2,x,30,0,y,A,1,例,2-9,图示三角形架,AB,和,AC,杆的弹性模量,E,=200,GPa,，,A,1,=2172mm,2,，,A,2,=2548mm,2,.,求 当,F,=130,kN,时节点的位移,.,2m,A,B,C,F,30,0,1,2,解,(1),由平衡方程得两杆的轴力,1,杆受拉，,2,杆受压,A,2,(2),两杆的变形,2.4,拉压杆的变形,30,0,A,A,1,A,2,A,30,0,AA,3,为所求,A,点的位移,A,1,2m,A,B,C,F,30,0,1,2,A,2,A,3,2.4,拉压杆的变形,节点位移的另一计算方法,设节点位移的水平分量和垂直分量分别是,u,和,v,联结节点的各杆的伸长量分别是,li,则有,:,将,u,和,v,分别向某杆的伸长方向投影的代数和就等于该杆的伸长量,具体仍看前面的例题,.,一、基本概念,用手给手表的发条上过劲后，手表的发条就能带动指针的转动，从而显示时间。,弹弓,1,、引例,2,、,定义,在外力作用下，弹性体因变形而储存的能量，称为变形,能或应变能。,2-5,轴向拉伸或压缩的变形能,3,、变形能的计算,2.5,拉压杆的变形能,研究拉伸过程中的一个微小过程。,由于,F,1,为无穷小量，在区间,(,a,b,),内我们可近似地认为,F,1,为常量，则在这个区间内外力作的功为：,2.5,拉压杆的变形能,根据功能原理可知：拉力,F,所作的功应等于杆件所储存的变形能。缓慢加载，动能忽略，热能微小，也可忽略）杆件的变形能用 表示，则：,2.5,拉压杆的变形能,应变能密度,（,线弹性范围内,）,单位,：应变能密度的单位为：,J/m3,由于整个杆件内各点的受力是均匀的，故每单位体积内储存的变形能都相同，即应变能密度相等，应变能密度用 表示。,4,、应变能密度,2.5,拉压杆的变形能,解：,例,2-10,求图示杆系的应变能，并按弹性体的功能原理求结点,A,的位移,A,。已知,F,=10,kN