有限元法基础讲义

段落提纲,具体内容,FEM,南京航空航天大学,能源与动力学院机械振动冲击仿真研究室(PC:210016),Tel:(025)4892202-2504 Fax:,(,025)4895966,有限元法基础讲义,有限元法基础讲义,.前言,.绪论,.弹性力学基本概念与方法,.平面问题的有限元法,.轴对称问题的有限元法,.有限元方程的解法,.有限元法的程序设计,.等参数单元,前言,.课程简介,.学习课程的基本要求,.选用教材，参考书,课程简介,有限元法基础这门课主要讲授有限原法的基础概念与原理，基本方法与程序（有限元）的基本使用方法，同时补充部分弹性力学的基本概念。课题讲授中心平面问题为主，重点讲授三角形单元，等参数单元求解平面问题的基本理论与方法，同时介绍有限元方程组的解法，以ANSYS程序为例讲解有限元程序的使用方法，并通过上机操作熟悉该软件。,通过介绍有限元法的基本概念，理论，方法与程序，使学生能够掌握其求解力学问题的特点，解题过程，熟悉一种有限元程序，初步具备使用有限元方法解决工程设计分析问题的能力。,本课程讲授的目的,本课程的要求,1,.,做好笔记，及时复习与总结,2,.,阅读参考书籍独立上机操作,3,.,独立上机操作,选用教材及参考书,机械工程中的有限元基础 高德平主编,西北工业大学出版社,参考书：,有限元法 李景涌编 北京邮电大学出版社,有限单元发基本原理和数值方法 王冒城编,清华出版社,弹性力学简明教程 徐芝纶 高等教育出版社,.有限元法的一般概念,.有限元法与其他课程之间的关系,绪论,有限元法是求解数理方程的一种数值计算方法，是解决工程实际问题的一种有力的数值计算工具，最初这种方法被用来研究复杂的飞机结构中的应力，是将弹性理论，计算数学和计算机软件有机的结合在一起的一种数值分析技术。由于这一方法的灵活，快速和有效性，是齐迅速发展成为求解各领域的数理方程 的一种通用的近似计算方法，目前已在许多学科领域 和工程问题中得到广泛的应用。,常用数值分析方法：差分法，有限元法，有限体积法，边界元法,有限元法的一般概念,有限元法的基本思想,将一个连续的求解域（连续体）离散化即分割成彼此用节点（离散点）互相联系的有限个单元，在单元体内假设近似解的模式，用有限个结点上的未知参数表征单元的特性，然后用适当的方法，将各个单元的关系式组合成包含这些未知参数的代数方程，得出个结点的未知参数，再利用插值函数求出近似解。是一种有限的单元离散某连续体然后进行求解得一种数值计算的近似方法。,由于单元可以被分割各种形状和大小不同的尺寸，所以它能很好的适应复杂的几何形状，复杂的材料特性和复杂的边界条件，再加上它有成熟的大型软件系统支持，使它已成为一种非常受欢迎的，应用极广的数值计算方法。,有限元法的基本求解步骤,位移型有限元法求解静力问题的一般步骤：,）划分单元；,）计算单元刚度矩阵；,）进行载荷移置；,）引入约束，解方程组求得位移；,）计算应力和应变。,注：若以节点力为未知参数，先求出节点处的节点力，后求位移与应力的方法，称为力型有限元法。,有限元法的基本概念,结构离散化：,1）划分网格；,2）载荷移置；,3）简化约束。,单元刚度矩阵与刚度系数：,1）单元刚度矩阵物理意义为单元抵抗变形的能力；,2）刚度系数的物理意义是产生单位位移时需要的力的大小。,有限元法与其他课程的关系,力学的分类,各学科的任务与特点,材料力学：研究杆状构件在拉压，剪切，弯曲，扭转作用,下的应力和位移。,结构力学：在材料力学基础上研究杆状构件所组成的结构,例如，行架，刚架等，这些都是所谓的杆件系统。,弹性力学：非杆状结构，例如板和水坝，地基等实体结构以,及对杆状构件作进一步，较精确的分析。它与材,料力学的研究方法不同，主要是在材力中引入了,构件形变状态或应力分布的假设，使数学推导大,大简化，其解是理论解（近似的），而弹性力学,则更精确一些。,计算力学：是应用结构力学，弹性力学，计算数学，计算机学,的一个结合，提供近似的数值计算方法，解决问题，,而有限元法是其中的一种方法。,上述各种方法最终目标是确立研究对象的应力，形变和位移，,用以校核其是否有所需要的强度和刚度。,各学科的任务与特点,弹性力学中的基本概念与方法,.弹性力学,.弹性力学中的基本假定,.弹性力学中的基本概念,弹性力学,即弹性体力学，有称弹性理论，是固体力学的一个分支，主要研究弹性体由于受外力作用或温度改变以及边界条件变化等原因发生的应力，形变和位移。,（1）假定物体是连续的,假定整个物体的体积都被组成这个物体的介质所填满，不留下任何空隙，这样物体内的应力，形变，位移等才可能是连续的，因而用坐标的连续函数来表示它们的变化规律。只要组成物体的微观尺寸及相林微粒之间的距离都比物体的尺寸小很多，那麽假定引起的误差就不大。,（2）假定物体是完全弹性的,完全弹性提出是物体能完全恢复原形而没有剩余形变。这样物体在任一瞬时的形变就完全决定于它在这一瞬时所受的外力，而与它的过去受力状况无关，完全弹性体服从虎克定律；，也就是形变与引起该形变的应力呈正比（线形弹性），弹性常数不随应力或形变而变。,弹性力学中的基本假定,（3）假定物体是均匀的,也就是，整个物体由同一材料组成，各部分具有相同的弹性。,（4）假定物体是各向同性的,即物体的弹性在各个方向都相同，这样，物体的弹性常数才不随访向而变。由于钢材作成的构件，虽然包含有各向异性的晶体，但晶体很微小，且随机排列，所以起弹性大致是相同的。,符合以上四个假定的物体，就称为理想弹性体。,弹性力学中的基本假定,弹性力学中的基本假定,（5）假定位移和形变是微小的,即假定物体受力后，整个物体所有各点的位移都远远小于物体原来的尺寸，而且应变和转角都远小于1。,弹性力学中的基本概念,（1）外力,分为体积力和表面力，简称为体力和面力。,体力：是分布在物体体积内的力。如重力和惯性力,(N/m,3,)(N/m,2,),面力：是分布在物体表面上的力。如流体压力和接触力,F 在x，y，z轴上的投影X，Y，Z称为该物体在P点的体力分量，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。,F在x，y，z轴上的投影 ，称为在P点的面力分量，以沿坐标轴正向为正，沿坐标轴负向为负。,（2）应力：研究物体在某一点P的内力。,研究物体在其某一点P的内力,弹性力学中的基本概念,这个极限矢量,S,就是物体在截面,mn,上的，在,P,点的应力，应力的,S,方向就是 Q 的极限方向。对于应力，处了推导公式外，通常不用它在坐标轴方向的分量,，因为这些分量与物体的形变或材料强度都没有直接的关系。与物体的形变或材料强度直接相关的，是应力在其作用截面的法线方向的分量，也就是正应力,及剪应力,。因次,（N/m*2 ）,显然可见，在物体内的一点,P,，不同街面上的应力是不同的，为了分析这一点的应力状态，即各街面上的应力的大小和方向。,弹性力学中的基本概念,弹性力学中的基本概念,PA=,x PB=,y,PC=,z,弹性力学中的基本概念,例如：,x,是作用在垂直于x轴的面上,xy,表示“x”垂直于x轴，表示“y”沿着y轴的方向,正面截面上的外法线坐标轴的正向，沿正向为正,负面截面上的外法线坐标轴的负向，沿负向为正,剪应力与材料力学的不同,六个剪应力之间有一定的互等关系。例如，以ab为矩轴，可得：,同理：,zx,=,xz,xy,=,yx,可以证明：在物体的任意一点，如果已知,x,、,y,、,z,、,yz,、,zx,、,xy,就可求得经过该点的任意截面上的正应力和剪应力。因此，六个分量可以完全确定该点的应力状态。,（3）形变：就是形状的改变，可以归结为长度和角度的改变。,为了分析物体在某一点的形态状态，在这一点沿着坐标轴 x,y ,z的正方向取三个微小的线段PA，PB，PC。物体变形后，三个线段的长度及它们之间的角度都将改变。,弹性力学中的基本概念,各线段的每个单位长度的伸缩，即单位伸缩或相对伸缩称为正应变，各线段之间直角的改变，用弧度表示，称为剪应变，分别用,x,xz,表示。,正应变以伸长时为正，缩短是为正。,剪应变以直角变小时为正，变大时为负。,可以证明，物体任意一点，如果已知了六个应变分量,x,y,z,yz,zx,xy,就可以求得经过该点的任意线段的正应变，也可以求得经过该点的任意两个线段之间角度的改变。因此，这六个应变，称为该点的形变分量，可以完全确定该点的形态状态。,弹性力学中的基本概念,（4）位移：就是位置的移动，物体内任意一点的位移，用它在x，y，z三轴上的投影u，v，w来表示，它们沿坐标轴的正向为正，负向为负。这三个投影称为该点的位移分量，因次是长度。,一般而言，弹性体内任意一点的体力分量，面力分量，应力分量，形变分量和位移分量，都是随着该点的位置而变的，因而都是位置坐标的函数。,在弹性力学的问题里，通常已知物体的形状和大小，（即已知物体的边界），物体的弹性常数，物体所受的力，物体边界上的约束情况或面力，而应力分量，形变分量和位移分量则是需求解的。,弹性力学中的基本概念,弹性力学中的基本概念,为了由弹性力学中的已知量求出未知量，必须建立这些已知量与未知量之间的关系，以及个未知量之间的关系，从而倒出一套求解的方程。,在倒出方程时，可以从三个方面来分析：,1 静力学方面，建立应力，体力，面力之间的关系,2 几何学方面，建立位移，形变，边界位移之间的关系,3 物理学方面，建立形变，应力之间的关系,平面问题的基本理论,.平面应力问题与平面应变问题,.平衡微分方程,.平面问题中的点的应力状态,.几何方程与刚体位移,.物理方程,.边界条件与圣维南原理,.总结,平面应力问题与平面应变问题,任何一个弹性体都是空间的物体，一般的外力都是空间力系。但如果所考察的弹性体具有某种特殊的形状，并承受特殊的外力，就可以向空间问题简化成近似的平面问题，这样处理分析和计算工作量将大为减少，而所的成果却仍然可以满足工程上的精确度的要求。,（1）平面应力问题,设有很薄的等厚度板，受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力。如，平板坝的平板支墩,平面应力问题与平面应变问题,平面应力问题与平面应变问题,设板的厚度为t，以薄板的中面为xy面，因为板面上(z=,t/2)不受力，所以有,(,z,),z=t/2,=0,(,zx,),z=t/2,=0,(,zy,),z=t/2,=0 ,y,=0,zx,=0,zy,=0,六个独立,x,，,y,，,xy,=,yx,3个且只是x，y的函数，不随z而变化,（2）平面应变问题,与上相反，设有很长的柱形体，受有平行于横截面而且不沿长度变化的面力。,假设该物体为无限长，可以以任,意横截面为 x 轴，则所有的量都不沿,z 变化，而只是 x,y 的函数，只有 x,y 的位移而 z 向位移为 0，因为所有个,点的位移矢都平行于 xy 面，称为平面,位移问题，但习惯上称为平面应变问题。,平面应力问题与平面应变问题,由对称性,zx,=0,zy,=0,剪应力互等,xz,=0,yz,=0,但由于 z 方向伸缩被阻止，,z,一般不等于零。,平面应力问题与平面应变问题,平面应力问题与平面应变问题,从静力学角度出发介绍应力分量与体力分量之间的关系式即平衡微分方程,见图：,通过中心 C 并平行于 z 轴的直线为矩轴,以 x 轴为投影轴,以 y 轴为投影轴,说明：,（1）三个未知数,（2）平面应变问题中，,z,不影响方程的建立，同样适用,平面应力问题与平面应变问题,平面问题中的点的应力状态,继续考虑平面问题的静力学方面，假定已知任一点 P出的应力分量,x,，,y,，,xy,=,yx,，求出经过该点的平行于 z 轴而倾斜 z 于轴，y 轴的任何斜面上的应力。,平面问题中的点的应力状态,取平面，当,平面,上的应力就成为点斜面的,应力代表斜面的外法线方向，其方向余弦为：,cos(N,x)=l,cos(N,y)=m,(1)设斜面长度为ds，lds，mds ldsmds=,PAB,由,Fx=0,X,N,=l,x,+m,xy,Fy=0,Y,N,=m,y,+l,xy,(2)正应力,N,，剪应力为,