计算机图形学4

单击此处插入标题,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,清华大学,计算机图形学,3.2,Bezier,曲线与曲面,清华大学,计算机图形学,由于几何外形设计的要求越来越高,传统的曲线曲面表示方法,已不能满足用户的需求。,1962,年，法国雷诺汽车公司的,P,.,E,.,Bezier,构造了一种以逼近为基础的参数曲线和曲面的设计方法，并用这种方法完成了一种称为,UNISURF,的曲线和曲面设计系统，,1972,年，该系统被投入了应用。,清华大学,计算机图形学,Bezier,方法将函数逼近同几何表示结合 起来，使得设计师在计算机上就象使用作图工具一样得心应手,。,典故,日本的穗板：天上掉下来,为边向量,清华大学,计算机图形学,剑桥的,Forest,常庚哲：中国的,Bezier，,曲面凸性,梁友栋：几何连续的浙大学派，梁叶郑马,刘鼎元：实用的几何连续条件,Hoschek,的故事,刘汪佳话,纪念,Bezier,的,CAGD,专辑,清华大学,计算机图形学,清华大学,计算机图形学,3,.,2,.,1,Bezier,曲线的定义和性质,1,定义,给定空间,n+1,个点的位置矢量,P,i,（,i=0,，,1,，,2,，,，n），,则,Bezier,曲线可定义为：,清华大学,计算机图形学,其中，,P,i,构成该,Bezier,曲线的特征多边形，,B,i,n,(t),是,n,次,Bernstein,基函数：,0,=1,0!=1,清华大学,计算机图形学,2,Betnstein,基函数的性质,（,1,）正性,（,2,）端点性质,清华大学,计算机图形学,（3,）权性,由二项式定理可知：,清华大学,计算机图形学,（4,）,对称性,因为,清华大学,计算机图形学,(5,）递推性。,即高一次的,Bernstein,基函数可由两个低一次的,Bernstein,调和函数线性组合而成。因为，,清华大学,计算机图形学,（6,）,导函数,（,7,）最大值。在 处达到最大值。,清华大学,计算机图形学,（8,）升阶公式,清华大学,计算机图形学,（9,）积分,清华大学,计算机图形学,3,Bezier,曲线的性质,（,1,）端点性质,a）,曲线端点位置矢量,由,Bernstein,基函数的端点性质可以推得，,当,t=0,时，,P(0)=P,0,；,当,t=1,时，,P(1)=,P,n,。,由此可见，,Bezier,曲线的起点、终点与相应的特征多边形的起点、终点重合。,清华大学,计算机图形学,b),切矢量,因为，所以当,t=0,时，,P(0)=n(P,1,-P,0,)，,当,t=1,时，,P(1)=n(P,n,-P,n-1,)，,这说明,Bezier,曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。,清华大学,计算机图形学,c.）,二阶导矢,当,t=0,时，,当,t=1,时，,上式表明：,2,阶导矢只与相邻的,3,个顶点有关，事实上，,r,阶导矢只与（,r+1）,个相邻点有关，与更远点无关。,将 、及 、代入曲率公式 ，可以得到,Bezier,曲线在端点的曲率分别为：,清华大学,计算机图形学,d.）,k,阶导函数的差分表示,n,次,Bezier,曲线的,k,阶导数可用差分公式为：,其中高阶向前差分矢量由低阶向前差分矢量递推地定义：,例如：,清华大学,计算机图形学,（2,）,对称性。由控制顶点 构造出的新,Bezier,曲线，与原,Bezier,曲线形状相同，走向相反。因为：,这个性质说明,Bezier,曲线在起点处有什么几何性质，在终点处也有相同的性质。,清华大学,计算机图形学,（3,）凸包性,由于 ，且 ，这一结果说明当,t,在0，1,区间变化时，对某一个,t,值，,P(t),是特征多边形各顶点的加权平均，权因子依次是 。在几何图形上，意味着,Bezier,曲线,P(t),在 中各点是控制点,P,i,的凸线性组合，即曲线落在,P,i,构成的凸包之中，如图,3,.,1,.,9,所示。,清华大学,计算机图形学,（4,）几何不变性。这是指某些几何特性不随坐标变换而变化的特性。,Bezier,曲线位置与形状与其特征多边形顶点 的位置有关，它不依赖坐标系的选择。,清华大学,计算机图形学,（5,）变差缩减性。若,Bezier,曲线的特征多边形,是一个平面图形，则平面内任意直线与,C(t),的交点个数不多于该直线与其特征多边形的交点个数，这一性质叫变差缩减性质。此性质反映了,Bezier,曲线比其特征多边形的波动还小，也就是说,Bezier,曲线比特征多边形的折线更光顺。,清华大学,计算机图形学,（6,）仿射不变性,对于任意的仿射变换,A：,即在仿射变换下，的形式不变。,清华大学,计算机图形学,3,.,2,.,2,Bezier,曲线的,递推,(,de,Casteljau,),算法,计算,Bezier,曲线上的点，可用,Bezier,曲线方程，但使用,de,Casteljau,提出的递推算法则要简单的多。,如下图所示，设 、是一条抛物线上顺序三个不同的点。过 和 点的两切线交于 点,在 点的切线交 和 于 和 ，则如下比例成立：,这是所谓抛物线的三切线定理。,(,示意图见下页,),清华大学,计算机图形学,清华大学,计算机图形学,当,P,0,，P,2,固定，引入参数,t，,令上述比值为,t:(1-t)，,即有：,t,从0,变到,1,，第一、二式就分别表示控制二边形的第一、二条边，它们是两条一次,Bezier,曲线。将一、二式代入第三式得：,当,t,从0,变到,1,时，它表示了由三顶点,P,0,、,P,1,、,P,2,三点定义的一条二次,Bezier,曲线。并且表明：这二次,Bezier,曲线,P,2,0,可以定义为分别由前两个顶点（,P,0,，,P,1,）,和后两个顶点（,P,1,，,P,2,）,决定的一次,Bezier,曲线的线性组合。依次类推，由四个控制点定,清华大学,计算机图形学,义的三次,Bezier,曲线,P,3,0,可被定义为分别由,(,P,0,，,P,1,，,P,2,),和(,P,1,，,P,2,，,P,3,),确定的二条二次,Bezier,曲线的线性组合，由,(,n+1),个控制点,P,i,(i=0,1,.,n),定义的,n,次,Bezier,曲线,P,n,0,可被定义为分别由前、后,n,个控制点定义的两条,(,n-1),次,Bezier,曲线,P,0,n-1,与,P,1,n-1,的线性组合：,由此得到,Bezier,曲线的递推计算公式：,这便是著名的,de,Casteljau,算法。用这一递推公式，在给定参数下，求,Bezier,曲线上一点,P(t),非常有效。上式中：是定义,Bezier,清华大学,计算机图形学,曲线的控制点，即为曲线 上具有参数,t,的点。,de,Casteljau,算法稳定可靠，直观简便，可以编出十分简捷的程序，是计算,Bezier,曲线的基本算法和标准算法。,当,n=3,时，,de,casteljau,算法递推出的,P,k,i,呈直角三角形，对应结果如图,3,.,1,.,11,所示。从左向右递推，最右边点,P,3,0,即为曲线上的点。,清华大学,计算机图形学,清华大学,计算机图形学,这一算法可用简单的几何作图来实现。给定参数,，就把定义域分成长度为 的两段。依次对原始控制多边形每一边执行同样的定比分割，所得分点就是由第一级递推生成的中间顶点,对这些中间顶点构成的控制多边形再执行同样的定比分割，得第二级中间顶点 。重复进行下去，直到,n,级递推得到一个中间顶点 即为所求曲线上的点 ，如图,3,.1.12,所示,。,清华大学,计算机图形学,清华大学,计算机图形学,3.2,.,3,Bezier,曲线的,拼接,几何设计中，一条,Bezier,曲线往往难以描述复杂的曲线形状。这是由于增加由于特征多边形的顶点数，会引起,Bezier,曲线次数的提高，而高次多项式又会带来计算上的困难，实际使用中，一般不超过,10,次。所以有时采用分段设计，然后将各段曲线相互连接起来，并在接合处保持一定的连续条件。下面讨论两段,Bezier,曲线达到不同阶几何连续的条件。,清华大学,计算机图形学,给定两条,Bezier,曲线,P,(,t,),和,Q,(,t,)，,相应控制点为,P,i,(,i=0,1,.,n,),和,Q,j,(,j=0,1,.,m,)，,且令 ，如图,3,.,1,.,13,所示，我们现在把两条曲线连接起来。,图,3,.,1,.13,Bezier,曲线的拼接,清华大学,计算机图形学,（1,）要使它们达到,G,0,连续的充要条件是：,P,n,=,Q,0；,（2）,要使它们达到,G,1,连续的充要条件是：,P,n-1,，,P,n,=,Q,，,Q,1,三点共线，即：,（,3,）要使它们达到,G,2,连续的充要条件是：在,G,1,连续的条件下，并满足方程 。,我们将 、和 ，、代入，并整理，可以得到：,选择 和 的值，可以利用该式确定曲线段 的特征多边形顶点 ，而顶点 、已被 连续条件所确定。要达到 连续的话，只剩下顶点 可以自由选取。,清华大学,计算机图形学,如果从上式的两边都减去 ，则等式右边可以表示为 和 的 线性组合：,这表明 、和 五点共面，事实上，在接合点两条曲线段的曲率相等，主法线方向一致，我们还可以断定：位于直线 的同一侧。,清华大学,计算机图形学,3,.2.,4,Bezier,曲线的升阶与降阶,1,Bezier,曲线的升阶,所谓升阶是指保持,Bezier,曲线的形状与定向不变，增加定义它的控制顶点数，也即是提高该,Bezier,曲线的次数。增加了控制顶点数，不仅能增加了对曲线进行形状控制的灵活性，还在构造曲面方面有着重要的应用。对于一些由曲线生成曲面的算法，要求那些曲线必须是同次的。应用升阶的方法，我们可以把低于最高次数的的曲线提升到最高次数，而获得同一的次数。,曲线升阶后，原控制顶点会发生变化。下面，我们来计算曲线提升一阶后的新的控制顶点。,设给定原始控制顶点 ，定义了一条,n,次,Bezier,曲线：,清华大学,计算机图形学,增加一个顶点后，仍定义同一条曲线的新控制顶点为 ，则有：,对上式左边乘以 ，得到：,比较等式两边 项的系数，得到：,化简即得：,其中 。,清华大学,计算机图形学,此式说明：,新的控制顶点 是以参数值 按分段线性插值从原始特征多边形得出的。,升阶后的新的特征多边形在原始特征多边形的凸包内,特征多边形更靠近曲线。,三次,Bezier,曲线的升阶实例如图,3,.1.14,所示。,清华大学,计算机图形学,清华大学,计算机图形学,2,Bezier,曲线的降阶,降阶是升阶的逆过程。给定一条由原始控制顶点 定义的,n,次,Bezier,曲线，要求找到一条由新控制顶点 定义的,n-1,次,Bezier,曲线来逼近原始曲线。,假定 是由 升阶得到，则由升阶公式有：,从这个方程可以导出两个递推公式：,和,清华大学,计算机图形学,两种降阶格式,Forrest,格式,Farin,格式,清华大学,计算机图形学,降阶逼近的文献,M.A.Watkins and A.J.,Worsey,Degree reduction of B,zier,curves,Computer Aided Design,20,(7),1988,398-405,胡事民、孙家广、金通光、汪国昭，,Approximate degree reduction of Bezier curves,Tsinghua Science and Technology,No.2,1998,997-1000.,雍俊海、胡事民、孙家广、谭新宇，,Degree reduction of B-,spline,curves,Computer Aided Geometric Design,2001,Vol.13,NO.2,2001,117-127,.,清华大学,计算机图形学,3,.,2,.,5,Bezier,曲面,基于,Bezier,曲线的讨论，我们可以方便地可以给出