1数学模型(建模)引言

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模,Mathematical Modeling,Tel,：,87935513(,办公室,),13932150291,Email,：,主讲：王永亮,学时、对象和考核,计划学时：,选修,32,，必修,48,适应对象：,大二下半年（最好大三）,考核方法：,平时成绩和期末考试,预备知识,高等数学,线性代数,概率论与数理统计,运筹学,大学计算机基础,教材和参考资料,高等教育出版社,数学模型,姜启源 编,浙江大学出版社,数学模型,杨启帆 编,湖南教育出版社,大学生数学建模竞赛辅导教材,叶其孝 编,工科数学杂志社,数学建模教育与国际数学建模竞赛,叶其孝,编,江苏教育出版社,数学建模竞赛教程,李尚志主编,运筹学,任何一本本科教材,计算机革命时代,（,Computer Revolution Era,）,or,信息时代,（,Information Times,）,我们处在：,时代特点,计算机的迅速发展,高速、智能、小型、价廉；,数学的应用向一切领域渗透,各行各业日益依赖数学或说当今社会正在日益数学化；,数学的日益重要性远远没有取得共识。甚至出现了“数学无用论”的观点,为什么会出现“数学无用论”？,数学的语言比较抽象，不容易掌握；,数学教育上的不适当：形式化、抽象，只见定义、定理、推倒、证明、计算，很少讲与我们周围的世界以致日常生活的密切联系。,数学建模的重要性,数学建模不是新东西（比如欧式几何、微积分都是很好的数学模型！）,用数学去解决实际问题就一定要用数学的语言、方法去近似刻划该实际问题。这种刻划的数学表述就是一个,数学模型,。其过程就是,数学建模,的过程。,数学建模的重要性,问题出在：当一个数学模型表达出来后，就要用一定的技术手段（如推导、计算）求解该数学问题，并用实际情形来验证；若需要就要修改数学模型并重复上述过程，如果有一步完不成，意义就不大了。在以前，,大量的计算令人生畏,（在建模过程中往往遇到），现如今高性能的计算机的出现，使数学建模又掀起了一个高潮。,数学建模的重要性,从科学、工程、经济和管理等角度看：,数学建模就是,用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并“解决”实际问题的,一种强有力的数学工具。,数学建模最重要的特点是接受实践的检验，多次修改模型，渐趋完善（的过程）。,数学建模步骤,了解问题的实际背景，明确建模的目的，掌握必要的数据资料（,建模准备,）；,抓住主要矛盾，对问题作必要的 简化，提出几条恰当的假设（,提出假设,）；,利用适当的数学工具刻划各变量之间的关系，建立相应的数学结构（,建立模型,）,;,数学建模步骤,模型的求解和检验,。建立数学模型是为了解释自然现象和改造自然，因此建模本身不是最终目的，还应当考虑对模型求解（包括解方程、图解、逻辑推理、定理证明、稳定性讨论等等），将所得结果与实际情况作比较，以验证模型的正确性，如果检验结果与事实不符或部分不符，就应当将上述步骤重复，即修改假设，重新建模。,数学建模步骤框图,实际问题,抽象、简化、假设,确定变量参数,建立数学模型并数学、数值地求解,用实际问题的实测数据来检验该数学模型,支付使用，从而可产生经济、社会效益,符合实际,不符合实际,例,1,：万有引力定律的发现,万有引力定律的发现是伟大科学家牛顿的重要贡献之一,牛顿在研究力学的过程中发明了微积分,又成功地在,开普勒三定律,的基础上,运用微积分,推出了万有引力定律这一创造性的成就可以看作是历史上最著名的数学建模案例之一,万有引力定律的发现,背景：,十五世纪中叶，哥白尼提出了震惊世界的,日心说,，这是科学上的一大革命。,当然由于历史和科学水平的限制，他的学说免不了也,包含了一些缺陷,（地球围绕太阳作圆周运动）。,此后，丹麦天文学家第谷,布拉赫进行了二十年的观测并记录下十分丰富而又准确的资料。,万有引力定律的发现,第谷,布拉赫的学生开普勒（,Kepler,）,对这些资料进行了九年时间的分析计算后发现，老师的观察结果与哥白尼学说在运行周期上,有,8,度的误差,，这使他对哥白尼的圆形轨道假设产生了怀疑，他以观察结果为依据，提出了天文学上至今仍然十分著名的三条假设,Kepler,三定律。,万有引力定律的发现,（,1,）行星轨道是一个椭圆，太阳位于此椭圆的一个焦点上；,（,2,）行星在单位时间内扫过的面积,A,不变；,（,3,）行星运行周期的平方正比于椭圆长轴的三次方，比例系数不随行星而改变。,万有引力定律的发现,假设：,（,1,）,行星轨道方程：椭圆极坐标方程,其中,a,长半轴，,b,短半轴，,e,离心率；,万有引力定律的发现,（,2,）,（,3,）,k,为比例系数，,T,为周期,（,4,）牛顿第二定律：,万有引力定律的发现,万有引力定律的发现,万有引力定律的发现,万有引力定律的发现,结论,：作用于任一行星上的力，方向在太阳与行星的连线上，指向太阳（怎么看出来的？），其大小与两者之间的距离平方成反比，比例系数通过实验给出。,例,2,：传染病模型,背景,：传染病是威胁人类健康和生命的一类疾病，如何有效地预防和控制传染病对人类的侵害，是一项相当重要的课题，其中有效预测某个时刻得病人数也是相当重要的指标。,传染病模型,符号假设：,t,时刻病人数为,i,(,t,),模型一：,设单位时间内一个病人能传染的人数（传染率）为,k,0,求解并分析,传染病模型,模型二：,设人群分为两类：,已感染者（,Infective,）,i,(,t,),易感染者（,Susceptible,),s,(,t,),所考察地区的总人数为,n,，,i,(,t,)+,s,(,t,),n,，,易见传染率应该和,s,(,t,),成单增关系，为方便，设为正比例关系，比例系数仍用,k,0,表示（称为传染系数或日接触率），则方程变为,传染病模型,传染病模型,模型三：,假设（,1,）人群分为三类,已感染者,i,(,t,),易感染者,s,(,t,),免疫移出者（含死亡）,r,(,t,),则,i,(,t,)+,s,(,t,)+,r,(,t,),n,，,（,2,）,传染率和,s,(,t,),成正比，比例系数用,k,表示,（,3,）单位时间内病愈免疫的人数与当时的病人数成正比，比例系数用,l,表示,传染病模型,传染病模型,模型分类,依据变量的特征：确定型和随机,依据变量的取值：连续型和离散型,依据数学式子：线性和非线性,依据物理状态：静态和动态,模型分类,依据对问题的认识程度：白箱、灰箱和黑箱模型,依据数学方法：初等，方程，优化，控制论等等,依据实际范畴：人口，交通，经济，生态等等,搜集建模案例,搜集一个与自己专业有关的建模问题，读懂并把它复述出来（写到,16,开的纸上，在,3,5,页之间，手写）,将姓名、学号和班级写在第,1,页的第,1,行,正文内容至少包含：问题的提出（或描述、引言）；建模（包括假设、符号、模型建立和求解过程等）；检验（或分析、验证、讨论）。,某些物理过程的数学建模,例,1,：（,物体冷却过程,）,将某物体放置于空气中，在时刻,t=0,时，测量得它的温度为,u,0,=150,0,C,，,10,分钟后测量得温度为,u,1,=100,0,C,，求物体的温度,u,和时间,t,的关系,假定空气的温度始终保持在,u,a,=24,0,C,，,热力学的一些基本规律：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的；一个物体的温度变化速度与温度差成比例。,某些物理过程的数学建模,设物体在时刻,t,的温度为,u=,u(t,),，则温度的变化速度可表示为,du/dt,，由刚才的物理知识得如下等式（,k,为比例常数）：,某些物理过程的数学建模,求解并分析,将已知数据代入求得本题的,u(t,),某些物理过程的数学建模,例,2,：（,R-L,电路,）,如图的,R-L,电路，它包含电感,L,，电阻,R,和电源,E,（均设为常数）,.,设,t=0,时，电路中没有电流,.,建立：当开关,K,合上后，电流,I,应该满足的微分方程,.,某些物理过程的数学建模,基尔霍夫,(,Kirchhoff,),第二定律：,在闭合回路中，所有支路上的电压的代数和等于零。,分析：经过电阻,R,的电压降为,RI,，经过电感,L,的电压降是,LdI/dt,，由上述定律得，,某些物理过程的数学建模,例,3,：（,R-L-C,电路,）,如图的,R-L-C,电路，它包含电感,L,，电阻,R,和电容,C(,均为常数,).,电源,e(t,),是时间,t,的已知函数,.,建立：当开关,K,合上后，电流,I,应该满足的微分方程,.,某些物理过程的数学建模,分析：经过电阻,R,的电压降为,RI,，经过电感,L,的电压降是,LdI/dt,，经过电容,C,的电压降是,Q/C,，由基尔霍夫第二定律得，,某些物理过程的数学建模,例,4,：,(,电容器的充电和放电,),如图所示的,R-C,电路，请找出充、放电过程中，电容,C,两端的电压,u,随时间,t,的变化规律。,某些物理过程的数学建模,开始时电容,C,上没有电荷，电容两端的电压为零,.,我们把开关,K,合上“,1”,后，电池,E,就对电容,C,充电，电容,C,两端的电压,u,逐渐升高,.,经过相当时间后，电容充电完毕，我们再把开关合上“,2”,，这时电容就开始了放电过程,.,某些物理过程的数学建模,充电过程时，有,电容上的电量,Q=C,u,逐渐增多，且,某些物理过程的数学建模,例,5,：,摆的运动方程,(1),数学摆,(2),微小振动摆,(3),粘性介质摆,(4),强迫微小振动摆,某些物理过程的数学建模,例,6,：,(,探照灯反射镜面的形状,),在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地反射出去，以保证探照灯有良好的方向性，请问反射镜面的几何形状？,建立平面直角坐标系,xoy,，取光源所在处为坐标原点，而,x,轴平行于光的反射方向,.,设该镜面,(,曲面,),由,xoy,坐标面上的曲线,y,=,f,(,x,),绕,x,轴旋转而成,.,如图,某些物理过程的数学建模,光的反射定律：入射角,=,反射角,某些物理过程的数学建模,光的反射定律：入射角,=,反射角,旋转抛物面,经济学中的数学,几个常见的经济函数,1.,单利,：设初始本金为,p,元，银行年利率为,r,，则第,n,年末本利和为,S,n,=p(1+nr),2.,复利,：设初始本金为,p,元，银行年利率为,r,，则第,n,年末本利和为,S,n,=p(1+r),n,经济学中的数学,3.,贴现,：票据的持有人，为在票据到期以前获得资金，从票面金额中扣除未到期期间的利息后，得到剩余金额的现金称为,贴现,。第,n,年后价值为,R,元钱的现值为,其中：,R,表示第,n,年后到期的票面,(,据,),金额 ，,r,表示贴现率，,p,表示现在进行票据转让时银行付给的贴现金额。,经济学中的数学,4.,需求函数,：商品的需求量,Q,可以看成是商品价格,p,的函数,需求函数，记作,Q=,f,(p),p0,需求函数一般是单调减少的，其图像称为需求曲线，其反函数称为价格函数。,需求函数一般有线性函数，二次函数，指数函数，幂函数。,经济学中的数学,5.,供给函数,：商品的供给量,S,可以看成是商品价格,p,的函数,供给函数，记作,S=,f,(p),p0,供给函数一般是单调增加的，其图像称为供给曲线。,如果需求量等于供给量，则这种商品就达到了,市场均衡,。,经济学中的数学,6.,成本函数,：费用总额与产量,(,销量,),之间的关系，记作,C=,C,(,x,)=C,1,+C,2,(,x,),C,1,称为固定成本，,C,2,(,x,),称为可变成本。,C,(,x,),称为,边际成本,，它描述了从生产第,x,个到生产第,x,+1,个单位的产品时，总成本的近似增值。,经济学中的数学,7.,收益函数,：生产者出售产品的全部收入与产品的销量之间的关系，记作,R=,R,(,x