椭圆及其几何性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2 椭圆及其标准方程,用一个平面去截一个圆锥面，当平面经过圆锥面的顶点时，可得到两条相交直线；,当平面与圆锥面的轴垂直时，截线（平面与圆锥面的交线）是一个圆,当改变截面与圆锥面的轴的相对位置时，观察截线的变化情况，并思考：,用平面截圆锥面还能得到哪些曲线？这些曲线具有哪些几何特征？,椭圆,双曲线,抛物线,探究：椭圆有什么几何特征？,活动1：动手试一试,数学史：,M,Q,F,2,P,O,1,O,2,V,F,1,古希腊数学家Dandelin在圆锥截面的两侧分别放置一球，使它们都与截面相切（切点分别为,F,1,，,F,2,），又分别与圆锥面的侧面相切（两球与侧面的公共点分别构成圆,O,1,和圆,O,2,）过,M,点作圆锥面的一条母线分别交圆,O,1,，圆,O,2,与,P,，,Q,两点，因为过球外一点作球的切线长相等，所以,MF,1,=,MP,，,MF,2,=,MQ,，,MF,1,+,MF,2,MP,+,MQ,PQ,定值,1、椭圆的定义,：,M,平面内到,两,个定点F,1,、F,2,的距离之,和,等于,常数,（大于|F,1,F,2,|）的点的轨迹叫做,椭圆,。,这两个定点叫做椭圆的,焦点,，两焦点间的距离叫做椭圆的,焦距,。,椭圆形成演示,椭圆定义.gsp,思考：是否平面内到两定点之间的距离和为定长的点的轨迹就是椭圆？,结论,：,（若,PF,1,PF,2,为定长）,）当动点到定点F,1、,F,2,距离PF,1,、PF,2,满足,PF,1,PF,2,F,1,F,2,时，P点的轨迹是,椭圆,。,）当动点到定点F,1、,F,2,距离PF,1,、PF,2,满足,PF,1,PF,2,F,1,F,2,时，P点的轨迹是,一条线段F,1,F,2,。,）当动点到定点F,1、,F,2,距离PF,1,、PF,2,满足,PF,1,PF,2,0)，M与F,1,、F,2,的距离的和为2a,对于含有两个,根式的方程，,可以采用,移项,两边平方或者,分子有理化进,行化简。,叫做,椭圆的标准方程，焦点在,x,轴上。,焦点在,y,轴上，可得出椭圆,它也是椭圆的标准方程。,1,2,y,o,F,F,M,x,1,2,y,o,F,F,M,x,y,x,o,F,2,F,1,M,定 义,图 形,方 程,焦 点,F(c，0),F(0，c),a,b,c之间,的关系,c,2,=a,2,-b,2,|MF,1,|+|MF,2,|=2a (2a2c0),椭圆的标准方程,求法：,一,定,焦点位置；二,设,椭圆方程；三,求,a,、,b,的值.,例1椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）,（4，0），椭圆上一点,P,到两焦点距离之和等于10，,求椭圆的标准方程。,1,2,y,o,F,F,M,x,.,解：椭圆的焦点在,x,轴上,设它的标准方程为:,2,a,=10,2,c,=8,a,=5,c,=4,b,2,=,a,2,c,2,=5,2,4,2,=9,所求椭圆的标准方程为,求椭圆的标准方程,（1）首先要,判断,类型，,（2）用,待定系数法,求,椭圆的定义,a,2,=b,2,+c,2,？,思考一个问题,:,把“焦点在y轴上”这句话去掉，怎么办？,定义法,：如果所给几何条件正好符合某一特定的曲线（圆，椭圆等）的定义，则可直接利用定义写出动点的轨迹方程.,待定系数法,：所求曲线方程的类型已知，则可以设出所求曲线的方程，然后根据条件求出系数.用待定系数法求椭圆方程时，要“先定型，再定量”.,求曲线方程的方法：,代入法：,或中间变量法，利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标x,y之间的坐标。,求曲线方程的方法：,变式题组一,变式题组二,1、方程,表示,_,。,2、方程,表示,_,。,3、方程,表示,_,。,4、方程,的解是,_,。,登高望远,巩固练习,14,D,D,C,一、二、二、三,一个概念；,二个方程；,三个意识：,求美意识，,求简意识，,猜想的意识。,小结,二个方法：,去根号的方法；求标准方程的方法,|MF,1,|+|MF,2,|=2a,椭圆的简单几何性质,一、复习回顾：,1.,椭圆:,到两定点,F,1,、F,2,的距离之和为常数（大于|,F,1,F,2,|）的动点的轨迹叫做椭圆。,2.,椭圆的标准方程：,3.,椭圆中,a,b,c,的关系:,a,2,=b,2,+c,2,当焦点在x轴上时,当焦点在y轴上时,二、椭圆 简单的几何性质,1.范围：,x,1,1得：,o,y,B,2,B,1,A,1,A,2,F,1,F,2,2.对称性,根据椭圆的图形，观察它有何对称性？,2.对称性,：,从图形上看，,椭圆关于x轴、y轴、原点对称。,如何从方程来分析这些对称性呢？,（1）把y换成-y方程不变，椭圆关于x轴对称；,（2）把x换成-x方程不变，椭圆关于y轴对称；,（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，,椭圆 关于原点成中心对称。,练习2.,3.椭圆的顶点,*顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭圆的顶点。,*长轴、短轴：线段A,1,A,2,、,B,1,B,2,分别叫做椭圆的长轴和短轴。,*,分别叫做椭圆的长半轴长,和短半轴长。,这四个顶点的坐标是什么？,o,F,1,F,2,B,2,B,1,A,1,A,2,练习3,练习4.画出下列椭圆的草图,（1）,（2）,B,1,1,2,3,-1,-2,-3,-4,4,y,A,1,A,2,B,2,1,2,3,4,5,-1,-5,-2,-3,-4,x,0,1,2,3,-1,-2,-3,-4,4,y,B,2,A,2,B,1,A,1,1,2,3,4,5,-1,-5,-2,-3,-4,x,0,4.,椭圆的离心率,离心率：椭圆的焦距与长轴长的比,叫做椭圆的离心率。,（1）离心率的取值范围：,（2）离心率对椭圆形状的影响：,0e1,1）离心率e 越大，椭圆就越扁（瘦）；,2）离心率e 越小，椭圆就越圆（胖）；,练习5,标准方程,范围,对称性,顶点坐标,焦点坐标,半轴长,离心率,关于,x,轴、,y,轴成轴对称；-,对称轴,关于原点成中心对称-,对称中心,a,2,=b,2,+c,2,标准方程,图形,范围,对称性,顶点坐标,焦点坐标,半轴长,离心率,关于,x,轴、,y,轴成轴对称；,关于原点成中心对称,a,2,=b,2,+c,2,同左,同,左,同,左,同,左,b,y,-,练习6.,已知椭圆方程为 则,它的长轴长是：,;,短轴长是：,;,焦距是：,;,离心率等于：,;,焦点坐标是：,;,顶点坐标是：,;,外切矩形的面积等于：,。,2,解：由题意得:,当焦点在 轴时，椭圆的标准方程是,当焦点在 轴时，椭圆的标准方程是,练习7,.若椭圆经过点 ，,求它的标准方程。,标准方程,图形,范围,对称性,顶点坐标,焦点坐标,半轴长,离心率,同左,同,左,同,左,同,左,b,y,-,关于,x,轴、,y,轴成轴对称；-,对称轴,关于原点成中心对称 -,对称中心,a,2,=b,2,+c,2,作业：,1.,必做题：课本P49 A组 4，5,（1）（3）,2.选做题：,已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，长轴是短轴的三倍，且椭圆经过点P（3，0），求椭圆的标准方程。,练习8：,原点,谢谢指导,