线性回归方程的求法

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,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.1,线性回归方程的求法,必修,3(,第二章 统计,),知识结构,收集数据,(,随机抽样,),整理、分析数据估计、推断,简单随机抽样,分层抽样,系统抽样,用样本估计总体,变量间的相关关系,用样本的频率分布估计总体分布,用样本数字特征估计总体数字特征,线性回归分析,统计的基本思想,实际,样本,模 拟,抽 样,分 析,两个变量的关系,不相关,相关关系,函数关系,线性相关,非线性相关,现实生活中两个变量间的关系有哪些呢?,思考,:相关关系与函数关系有怎样的不同?,函数关系中的两个变量间是一种确定性关系,相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种理想的关系模型,相关关系在现实生活中大量存在,是更一般的情况,自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做,相关关系,。,1,、定义:,1,):相关关系是一种不确定性关系;,注,对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫,回归分析,。,2,):,2,、,现实生活中存在着大量的相关关系。,如:人的身高与年龄;,产品的成本与生产数量;,商品的销售额与广告费;,家庭的支出与收入。等等,探索:水稻产量,y,与施肥量,x,之间大致有何规律?,10 20 30 40 50,500,450,400,350,300,发现:图中各点,大致分布在某条直线附近。,探索,2,:在这些点附近可画直线不止一条,哪条直线最能代表,x,与,y,之间的关系呢?,x,y,施化肥量,水稻产量,施化肥量,x,15 20 25 30 35 40 45,水稻产量,y,330 345 365 405 445 450 455,散点图,10 20 30 40 50,500,450,400,350,300,x,y,施化肥量,水稻产量,怎样求回归直线?,最小二乘法:,称为样本点的中心,。,(,3,)对两个变量进行的线性分析叫做,线性回归分析,。,2,、回归直线方程:,(,2,)相应的直线叫做,回归直线,。,(,1,)所求直线方程 叫做,回归直线方程,;,其中,(注意回归直线一定经过样本点的中心),例,1,假设关于某设备的使用年限,x,和所有支出的维修费用,y(,万元,),有如下的统计数据:,x,2,3,4,5,6,Y,2.2,3.8,5.5,6.5,7.0,若由此资料所知,y,对,x,呈线性相关关系,试求:,回归直线方程,估计使用年限为,10,年时,维修费用是多少?,解题步骤:,作散点图,2.,把数据列表,计算相应的值,求出回归系数,3.,写出回归方程,并按要求进行预测说明。,例,2,(,2007,年广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量,x,(吨)与相应的生产能耗,y(,吨标准煤,),的几组对应数据。,X,3,4,5,6,y,2.5,3,4,4.5,请画出上表数据的散点图,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出,y,关于,x,的,性回归方程,(3),已知该厂技改前,100,吨甲产品的生产能耗为,90,吨标准,煤,试根据(,2,)求出的线性回归方程,预测生产,100,吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?,(参考数值:,),小结:求回归直线方程的步骤,(,2,)所求直线方程 叫做,回归直线方程,;,其中,(,1,)作散点图,通过图看出样本点是否呈条状分,布,进而判断两个量是否具有线性相关关系。,(,3,)根据回归方程,并按要求进行预测说明。,相关系数,1.,计算公式,2,相关系数的性质,(1)|r|1,(2)|r|,越接近于,1,,相关程度越大;,|r|,越接近于,0,,相关程度越小,问题:达到怎样程度,,x,、,y,线性相关呢?它们的相关程度怎样呢?,负相关,正相关,相关系数,正相关;负相关通常,,r,-,1,-,0.75-,负相关很强,;,r,0.75,1,正相关很强,;,r,-0.75,-0.3-,负相关一般,;,r,0.3,0.75,正相关一般,;,r,-,0.25,0.25-,相关性较弱,;,第一章 统计案例,1.1,回归分析的基本思想及其初步应用,(第二课时),a.,比,数学,3,中“回归”增加的内容,数学,统计,画散点图,了解最小二乘法的思想,求回归直线方程,y,bx,a,用回归直线方程解决应用问题,选修,-,统计案例,引入线性回归模型,y,bx,a,e,了解模型中随机误差项,e,产生的原因,了解相关指数,R,2,和模型拟合的效果之间的关系,了解残差图的作用,利用线性回归模型解决一类非线性回归问题,正确理解分析方法与结果,什么是回归分析:,“,回归”一词是由英国生物学家,F.Galton,在研究人体身高的遗传问题时首先提出的。,根据遗传学的观点,子辈的身高受父辈影响,以,X,记父辈身高,,Y,记子辈身高。,虽然子辈身高一般受父辈影响,但同样身高的父亲,其子身高并不一致,因此,,X,和,Y,之间存在一种相关关系。,一般而言,父辈身高者,其子辈身高也高,依此推论,祖祖辈辈遗传下来,身,高必然向两极分化,而事实上并非如此,显然有一种力量将身高拉向中心,即子辈,的身高有向中心回归的特点。“回归”一词即源于此。,虽然这种向中心回归的现象只是特定领域里的结论,并不具有普遍性,但从它,所描述的关于,X,为自变量,,Y,为不确定的因变量这种变量间的关系看,和我们现在的,回归含义是相同的。,不过,现代回归分析虽然沿用了“回归”一词,但内容已有很大变化,它是一种应用,于许多领域的广泛的分析研究方法,在经济理论研究和实证研究中也发挥着重要作用。,回归分析的内容与步骤:,统计检验通过后,最后是,利用回归模型,根据自变量去估计、预测因变量,。,回归分析通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。,其主要内容和步骤是,,首先根据理论和对问题的分析判断,,将变量分为自变量和因变量,;,其次,设法,找出合适的数学方程式(即回归模型),描述变量间的关系;,由于涉及到的变量具有不确定性,接着还要,对回归模型进行统计检验,;,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生,其身高和体重数据如表,1-1,所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,案例,1,:女大学生的身高与体重,解:,1,、选取身高为自变量,x,,体重为因变量,y,,作散点图:,2,、由散点图知道身高和体重有比较好的,线性相关关系,因此可以用线性回归方程,刻画它们之间的关系。,3,、从散点图还看到,样本点散布在某一条,直线的附近,而不是在一条直线上,所以,不能用一次函数,y=bx+a,描述它们关系。,我们可以用下面的,线性回归模型,来表示:,y=bx+a+e,,其中,a,和,b,为模型的未知参数,,e,称为随机误差,。,思考,P3,产生随机误差项,e,的原因是什么?,思考,P4,产生随机误差项,e,的原因是什么?,随机误差,e,的来源,(,可以推广到一般):,1,、其它因素的影响:影响身高,y,的因素不只是体重,x,,可能 还包括遗传基因、饮食习惯、生长环境等因素;,2,、用线性回归模型近似真实模型所引起的误差;,3,、身高,y,的观测误差。,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型:,回归模型:,可以提供,选择模型的准则,函数模型与回归模型之间的差别,函数模型:,回归模型:,线性回归模型,y=bx+a+e,增加了随机误差项,e,,因变量,y,的值由自变量,x,和随机误差项,e,共同确定,即,自变量,x,只能解析部分,y,的变化,。,在统计中,我们也把自变量,x,称为解析变量,因变量,y,称为预报变量。,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生,其身高和体重数据如表,1-1,所示。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,案例,1,:女大学生的身高与体重,解:,1,、选取身高为自变量,x,,体重为因变量,y,,作散点图:,2,、由散点图知道身高和体重有比较好的,线性相关关系,因此可以用线性回归方程,刻画它们之间的关系。,3,、从散点图还看到,样本点散布在某一条,直线的附近,而不是在一条直线上,所以,不能用一次函数,y=bx+a,描述它们关系。,我们可以用下面的,线性回归模型,来表示:,y=bx+a+e,,其中,a,和,b,为模型的未知参数,,e,称为随机误差,。,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生,其身高和体重数据如表,1-1,所示。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,根据最小二乘法估计 和 就是未知参数,a,和,b,的最好估计,,制表,x,i,2,x,i,y,i,y,i,x,i,7 8,合计,6,5,4,3,2,1,i,例,1,从某大学中随机选取,8,名女大学生,其身高和体重数据如表,1-1,所示。,59,43,61,64,54,50,57,48,体重,/kg,170,155,165,175,170,157,165,165,身高,/cm,8,7,6,5,4,3,2,1,编号,求根据一名女大学生的身高预报她的体重的回归方程,并预报一名身高为,172cm,的女大学生的体重。,根据最小二乘法估计 和 就是未知参数,a,和,b,的最好估计,,于是有,b=,所以回归方程是,所以,对于身高为,172cm,的女大学生,由回归方程可以预报其体重为,探究,P4,:,身高为,172cm,的女大学生的体重一定是,60.316kg,吗?如果不是,你能解析一下原因吗?,探究,P4,:,身高为,172cm,的女大学生的体重一定是,60.316kg,吗?,如果不是,你能解析一下原因吗?,答:身高为,172cm,的女大学生的体重不一定是,60.316kg,,,但一般可以认为她的体重在,60.316kg,左右。,对回归模型进行统计检验,表,1-4,列出了女大学生身高和体重的原始数据以及相应的残差数据。,在研究两个变量间的关系时,首先要根据散点图来粗略判断它们是否线性相关,,是否可以用回归模型来拟合数据。,残差分析与残差图的定义:,然后,我们可以通过残差 来判断模型拟合的效果,判断原始,数据中是否存在可疑数据,,这方面的分析工作称为残差分析,。,编号,1,2,3,4,5,6,7,8,身高,/cm,165,165,157,170,175,165,155,170,体重,/kg,48,57,50,54,64,61,43,59,残差,-6.373,2.627,2.419,-4.618,1.137,6.627,-2.883,0.382,我们可以利用图形来分析残差特性,作图时纵坐标为残差,横坐标可以选为样本,编号,或身高数据,或体重估计值等,这样作出的图形称为,残差图,。,残差图的制作及作用。,坐标纵轴为残差变量,横轴可以有不同的选择;,若模型选择的正确,残差图中的点应该分布在以横轴为心的带形区域,;,对于远离横轴的点,要特别注意,。,身高与体重残差图,异常点,错误数据,模型问题,几点说明:,第一个样本点和第,6,个样本点的残差比较大,需要确认在采集过程中是否有人为的错误。如果数据采集有错误,就予以纠正,然后再重新利用线性回归模型拟合数据;如果数据采集没有错误,则需要寻找其他的原因。,另外,残差点比较均匀地落在水平的带状区域中,说明选用的模型计较合适,这样的带状区域的
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