线性代数PPT全集

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,课程简介,线性代数是代数学的一个分支，主要处理线性关系,问题.线性关系是指数学对象之间的关系是以一次形式,来表达的.最简单的线性问题就是解线性方程组.,行列式和矩阵为处理线性问题提供了有力的工具，,也推动了线性代数的发展.向量概念的引入，形成了向,量空间的概念，而线性问题都可以用向量空间的观点加,以讨论.因此向量空间及其线性变换，以及与此相联系,的矩阵理论，构成了线性代数的中心内容.,它的特点是研究的变量数量较多，关系复杂，方法上,既有严谨的逻辑推证、又有巧妙的归纳综合，也有繁,琐和技巧性很强的数字计算，在学习中，需要特别加,强这些方面的训练。,第一章 行列式,第二章 矩阵及其运算,第三章 矩阵的初等变换,及线性方程组,第四章 向量组的线性相关性,基础,基本内容,用向量的观点讨论基本问题并介绍向量空间的有关内容,第五章 相似矩阵及二次型,矩阵理论,一、二元线性方程组与二阶行列式,用消元法解二元(一次)线性方程组,:,第一章 行列式,(1),(2),(1),a,22,:,a,11,a,22,x,1,+,a,12,a,22,x,2,=,b,1,a,22,(2),a,12,:,a,12,a,21,x,1,+,a,12,a,22,x,2,=,b,2,a,12,两式相减消去,x,2,得,(,a,11,a,22,a,12,a,21,),x,1,=,b,1,a,22,b,2,a,12,;,1.1 二阶与三阶行列式,方程组的解为,由方程组的四个系数确定.,由四个数排成二行二列（横为行、竖为列）的数表,定义,即,主对角线,副对角线,对角线法则,二阶行列式的计算,若记,对于二元线性方程组,系数行列式,则二元线性方程组的解为,例1,解,二、三阶行列式,定义,记,（6）式称为数表（5）所确定的,三阶行列式,.,(1)沙路法,三阶行列式的计算,.,列标,行标,(2)对角线法则,注意,红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三,元素的乘积冠以负号,说明1,对角线法则只适用于二阶与三阶行列式,如果三元线性方程组,的系数行列式,利用三阶行列式求解三元线性方程组,2,.,三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为,负.,若记,或,记,即,得,得,则三元线性方程组的解为:,例,解,按对角线法则，有,例3,解,方程左端,例4,解线性方程组,解,由于方程组的系数行列式,同理可得,故方程组的解为:,二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方,程组引入的.,对角线法则,二阶与三阶行列式的计算,三、小结,思考题,思考题解答,解,设所求的二次多项式为,由题意得,得一个关于未知数 的线性方程组,又,得,故所求多项式为,1.2 全排列及其逆序数,引例:,用1,2,3三个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数？,这是一个大家熟知的问题,答案是:3!=6.,将此问题,推广,:把,n,个不同的元素按先后次序排成一列,共有多少种不同的排法.,定义:,把,n,个不同的元素排成一列,叫做这,n,个元素的,全排列,(或,排列,).,n,个不同的元素的所有排列的种数,通常用,P,n,表示,称为,排列数,.,P,n,=,n,(,n,1),(,n,2),2 1=,n,!,一、全排列,二、排列的逆序数,定义:,在一个排列,i,1,i,2,i,s,i,t,i,n,中,若数,i,s,i,t,则称这两个数组成一个,逆序,.,例如:,排列32514 中,我们规定各元素之间有一个标准次序.以,n,个不同的自然数为例,规定,由小到大为标准次序.,3 2 5 1 4,逆序,逆序,逆序,定义:,一个排列中所有,逆序,的总数称为此,排列的,逆序数,.,前面的数比后面的数大,3 2 5 1 4,逆序数为3,1,故此排列的逆序数为:3+1+0+1+0,=,0+1+0+3+1,=,5.,例如:,排列32514 中,计算排列逆序数的方法,逆序数为奇数的排列称为,奇排列,;,逆序数为偶数的排列称为,偶排列,.,方法1:,分别计算出排在1,2,n,前面比它大的数码的个数并求和,即先分别算出 1,2,n,这,n,个元素的逆序数,则所有元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数.,方法2:,依次计算出排列中每个元素,前面比它大,的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,方法3:,依次计算出排列中每个元素,后面比它小,的数码的个数并求和,即算出排列中每个元素的逆序数,则所有元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数.,例1:,求排列32514的逆序数.,解:,在排列32514中,3排在首位,则3的逆序为,0,;,2的前面比2大的数只有一个3,故2的逆序为,1,;,3 2 5 1 4,没有比5大的数,故其逆序为,0,;,个,故其逆序为,3,;,4的前面比4大的数有1个,故逆序为,1,.,5的前面,1的前面比1大的数有3,即,于是排列32514的逆序数为,t,=0+1+0+3+1=5.,解:,此排列为,偶排列.,例2:,计算下列排列的逆序数,并讨论其奇偶性.,(1)217986354.,2 1 7 9 8 6 3 5 4,0,1,0,0,1,3,4,4,5,于是排列217986354的逆序数为:,t,=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18.,(2),n,(,n,1)(,n,2),21,解:,n,(,n,1)(,n,2),2 1,0,1,2,(,n,1),(,n,2),t,=0+1+2+,+(,n,2)+(,n,1),于是排列,n,(,n,1)(,n,2),21的逆序数为:,此排列当,n,=4,k,4,k,+1 时为偶排列;当,n,=4,k,+2,4,k,+3 时为奇排列.,(3)(2,k,)1(2,k,1)2(2,k,2)3(2,k,3),(,k,1)(,k,+1),k,.,(2,k,)1(2,k,1)2(2,k,2)3(2,k,3),(,k,1)(,k,+1),k,解:,0,1,2,1,2,3,3,(,k,1),(,k,1),k,t,=0+1+1+2+2+,+(,k,1)+(,k,1)+,k,于是排列(2,k,)1(2,k,1)2(2,k,2),(,k,1)(,k,+1),k,的逆序数为:,此排列当,k,为偶数时为偶排列,当,k,为奇数时为奇排列.,1.,n,个不同的元素的所有排列种数为,n,!个;,2.排列具有奇偶性;,3.计算排列逆序数常用的方法.,三、小结,1.3,n,阶行列式的定义,一、概念的引入,三阶行列式,说明(1),三阶行列式共有6项,即3!项.,说明(2),每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积.,说明(3),每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的列标排列的逆序数(行标为标准排列).,例如,a,13,a,21,a,32,将行下标标准排列,列下标排列312的逆序数为,t,(312)=1+1=2,偶排列.,a,13,a,21,a,32,的前面取,+,号.,例如,a,11,a,23,a,32,将行下标标准排列,列下标排列132的逆序数为,t,(132)=0+1=1,奇排列.,a,11,a,23,a,32,的前面取,号.,其中是对列下标的所有排列求和(3!项),t,是列下标排列,p,1,p,2,p,3,的逆序数.,二、,n,阶行列式的定义,定义:,设由,n,2,个数排成一个,n,行,n,列的数表,作出表中位于不同行不同列的,n,个数的乘积,并冠以符号(1),t,得到形如,其中,p,1,p,2,p,n,为自然数1,2,n,的一个排列,t,为排列,p,1,p,2,p,n,的逆序数.,的项,所有这,n,!项的代数和,称为(由上述数表构成的),n,阶行列式,.,记作,简记作 det(,a,ij,).数,a,ij,称为行列式 det(,a,ij,)(第,i,行第,j,列)的元素.,即,说明,1.,行列式是一种特定的算式,它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的;,说明,2.,n,阶行列式是,n,!项的代数和;,说明,3.,n,阶行列式的每项都是位于不同行,不同列,n,个元素的乘积,的符号为(1),t,;,说明,4.,一阶行列式的符号,|,a,|=,a,不要与绝对值符号相混淆,一般不使用此符号.,例1:,计算对角行列式,解:,分析.,展开式中项的一般形式是,从而这个项为零,同理可得:,p,2,=3,p,3,=2,p,4,=1.,所以只能,p,1,=4;,若,p,1,4,则,即行列式中非零的项为:,(1),t,(4321),a,14,a,23,a,32,a,41,即,例2:,计算,上三角行列式,解:,分析,展开式中项的一般形式是,所以非零的项只可能是:,a,11,a,22,a,nn,.,从最后一行开始讨论非零项.显然,p,n,=,n,p,n,1,=,n,1,p,n,2,=,n,2,p,2,=2,p,1,=1,即,显然,=1,4,5,8,同理可得,下三角行列式,对角行列式,例5:,设,证明:,D,1,=,D,2,.,中,b,的指数正好是,a,的行标与列标的差,证:,由行列式定义有,由于,p,1,+,p,2,+,+,p,n,=1+2+,+,n,所以,故,行列式是一种根据特殊需要而定义的,特定算式,.,n,阶行列式共有n!项,每项都是位于不同行,不同列的,n,个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定.,三、小结,思考题,已知多项式,求,x,3,的系数.,思考题解答,含,x,3,的项有仅两项,即,对应于,=,x,3,+(2,x,3,),故,x,3,的系数为(1).,(1),t,(1234),a,11,a,22,a,33,a,44,+(1),t,(1243),a,11,a,22,a,34,a,43,一、对换的定义,1.4 对 换,定义:,在排列中,将任意两个元素对调,其余元素不动,这种作出新排列的手续叫做,对换,将相邻两个元素对调,叫做,相邻对换,.,a,1,a,2,a,l,a,b,b,1,b,m,a,1,a,2,a,l,b,a,b,1,b,m,a,1,a,2,a,l,a,b,1,b,m,b,c,1,c,n,a,1,a,2,a,l,b,b,1,b,m,a,c,1,c,n,例如,二、对换与排列奇偶性的关系,定理1:,一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.,对换,a,与,b,即除,a,b,外,其它元素的逆序数不改变.,证明:,先考虑相邻对换的情形.,a,1,a,2,a,l,a,b,b,1,b,m,a,1,a,2,a,l,b,a,b,1,b,m,例如,因此,相邻对换排列改变奇偶性.,当,a,b,时,对换后,a,的逆序数不变,b,的逆序数增加1;,a,1,a,2,a,l,a,b,1,b,m,b,c,1,c,n,a,1,a,2,a,l,b,b,1,b,m,a,c,1,c,n,对一般对换的情形,例如,对换,a,与,b,经过,m,次相邻对换,排列,a,1,a,2,a,l,a,b,1,b,m,b,c,1,c,n,对,换为,a,1,a,2,a,l,ab,b,1,b,m,c,1,c,n,再经过,m,+1次相邻对换,对,换为,a,1,a,2,a,l,b,b,1,b,m,a,c,1,c,n,共经过了2,m,+1次相邻对换.,所以,由相邻对换的结果知:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性.,次相邻对换,次相邻对换,次相邻对换,所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变,奇偶性,.,对一般对换的情形,例如,a,1,a,2,a,l,a,b,1,b,m,b,c,1,c,n,a,1,a,2,a,l,b,b,1,b,m,a,c,1,c,n,对换,a,与,b,推论:,奇排列调成标准排列的对换次数为奇数,偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.,证明:,由定理1知,对换的次数就是排列奇偶性的,变化次数,而标准排列是偶排列(逆序数为0),论成立.,因此,推,下面讨论,行列式的另一种定义,形式.,对于行列式的任一项,其中12,i,j,n,为自然排列,其逆序