数理统计之假设检验

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第四章 假设检验,基本要求,理解假设检验的概念及其基本思想。,理解拒绝域、临界值、显著水平等概念。,掌握假设检验的基本步骤。,了解假设检验可能产生的两类错误。,假设检验基本概念,例,，对某产品进行了工艺改造,或研制了新产品，,要比较原产品和新产品在某一项,指标上的差异，,这样我们面临选择是否接受假设,必须作一些试验，也就是抽样。,根据得到的样本观察值,来作出决定。,假设检验问题就是,根据样本的信息，检验,关于总体的某个假设是否正确,。,“,新产品的某一项指标优于老产品,”。,假设检验是一种统计推断方法,为了了解总体的某些性质，首先作出某种假设，然后进行试验，取得样本，根据样本值，构造统计方法，判断是否接受这个假设，即检验这种假设是否合理，合理则接受，否则拒绝。,小概率事件在一次试验中发生的概率记为，,一般取,在假设检验中,称为,显著水平、检验水平,。,解决办法与基本思想,1 明确所要处理的问题，答案只能是“是”或“否”,2 取得样本，同时要知道样本的分布,3 把“是”转化到分布上得到一个命题或假设,4 根据样本值，按照一定的规则，作出接受或拒绝假设的决定。,基本思想（规则或前提）,小概率事件在一次试验中几乎不会发生,。,带概率性质的反证法,通常的反证法设定一个假设以后,如果出现的事实与之矛盾,(,即如果这个假设是正确的,话,出现一个概率等于,0,的事件,),则绝对地否定假设,.,带概率性质的反证法的逻辑是,:,如果假设,H,0,是正确的,话,一次试验出现一个概率很小的事件,则以很大的把握否定假设,H,0,.,检验一个H,0,时,是根据检验统计量来判决是否接受H,0,的,而检验统计量是随机的,这就有可能判决错误.这种错误有以下两类:,H,0,事实上是正确的,但被我们拒绝了,称犯了,“,弃真,”,的,(,或称第一类,),错误,.,H,0,事实上是不正确的,但被我们接受了,称犯了,“,存伪,”,的,(,或称第二类,),错误,.,假设检验的两类错误,H,0,为真,实际情况,决定,拒绝,H,0,接受,H,0,H,0,不真,第一类错误,正确,正确,第二类错误,P,拒绝,H,0,|,H,0,为真=,P,接受,H,0,|,H,0,不真=,.,犯两类错误的概率:,显著性水平 为犯第一类错误的概率.,当样本容量n固定时，一类错误概率的减少导致另一类错误概率的增加.要同时降低两类错误,必须增加样本容量.,在统计学中,通常控制犯第一类错误的概率.一般事先选定一个数,(00，若,就认为有较大偏差；,则认为 不真，拒绝,则接受,若,显著性检验：,P拒绝|为真,拒绝域,由样本值求出,这说明,小概率事件竟在一次试验中发生了,，,故拒绝H,0,，,可以接受H,1,。,即,认为折断力大小有差别,提出原假设和备择假设,第一步：,已知,已知，,第二步：,选取统计量,检验假设,的过程分为六个步骤：,第三步：,拒绝域为,第四步：,查表确定临界值,第六步：判断,则否定H,0,，接受H,1,则H,0,相容，接受H,0,0,第五步：计算,/2,/2,X,(x),接受域,P(|Z|z,/2,)=,拒绝域,拒绝域,z,/2,-z,/2,双侧统计检验,Z检验,某车间用一台包装机包装葡萄糖.包得的袋装糖,当机器正常时,某日开工后为检验包装机是否正常,包装的糖9袋,称得净重为(公斤):,0.497 0.506 0.518 0.524 0.498,0.511 0.520 0.515 0.512,问机器是否正常?,例2,重是一个随机变量,X,且,其均值为,=0.5公斤,标准差,=0.015公斤.,随机地抽取它所,解,：,先提出假设,（=0.05）,选取统计量：,拒绝域：,计算得,于是拒绝 ，,认为包装机工作不正常。,选择假设H,1,表示Z可能大于,0,也可能小于,0,这称为,双边假设检验,。,单边检验,右边检验,左边检验,右边检验,查表确定临界值,（4）取,（2）选取统计量：,（3）拒绝域为,（5）计算,则拒绝 ，接受,反之，接受,左边检验,查表确定临界值,（4）取,（2）选取统计量：,（3）拒绝域为,（5）计算,则拒绝 ，接受,反之，接受,例3,（2）选取统计量：,某大学男生身高,今测得9名男生身高,平均为,问是否可以认为该校男生平均身高,超过170,cm,呢？,（3）拒绝域为,解,查表确定临界值,（4）取,（5）计算,可以认为该校男生平均身高超过170cm.,则拒绝 ，,如题目问：是否有明显提高,是否有明显下降,（2）选取统计量：,(3)拒绝域为,例4,设某厂灯泡平均寿命为2000小时,标准差为250小时,从技术改造后的灯泡中随机抽取,n,=25只，测得平均,寿命为2250小时,问此产品寿命是否较前有显著提高.,查表确定临界值,（4）取,（5）计算,则拒绝 ，,即认为这些产品较以往有显著提高.,提出原假设和备择假设,第一步：,第二步：,选取统计量,第四步：,查表确定临界值,第三步：,拒绝域为,未知时，,的检验,未知 ，可用样本方差,代替,选择假设H,1,表示Z可能大于,0,也可能小于,0,这称为双边假设检验。,第六步：判断,则否定H,0,，接受H,1,则H,0,相容，接受H,0,0,第五步：计算,显著差别？爆破压力,X,服从正态分布,=0.05,解:,提出假设 H,0,：,=549；H,1,：,549,对一批新的某种液体存储罐进行耐裂试验,重复测量5次,测得爆破压力数据为（单位斤/寸,2,）:,545 545 530 550 545,过去该种液体存储罐的平均爆破压力为549斤寸(可,看作真值),因为未知方差,2,，故采用t检验法。,取统计量,例5,试问这批新罐的平均爆破压力与过去有无,由样本算得,这里,接受H,0。,新罐的平均爆破压力与过去无显著差别。,拒绝域,查表,32.56,29.66,31.64,30.00,31.87,31.03,例6,解,(1),(2),(3)拒绝域,取统计量,某工厂生产一种螺钉,标准要求是长度是32.5毫米,实际生产的产品其长度,X,服从正态分布,未知，现从该厂生产的一批产品中抽取6件，得,尺寸数据如下：,问这批产品是否合格？,（5）,将样本值代入算出统计量 T,0,的实测值,没有落入,拒绝域,故接受 为真，即可认为产品是合格的。,(4),查表,右边检验,查表确定临界值,（4）取,（2）选取统计量：,（3）拒绝域为,（5）计算,则拒绝 ，接受,反之，接受,左边检验,查表确定临界值,（4）取,（2）选取统计量：,（3）拒绝域为,（5）计算,则拒绝 ，接受,反之，接受,4.28;4.40;4.42;4.35;4.37.如果标准差不变,解:,拒绝H,0,例1,某日测得5炉铁水含碳量如下:,该日铁水的平均含碳量是否显著偏低?,=0.05,已知某炼铁厂的铁水含碳量 在正常情况下,（2）取统计量,某次考试的考生成绩,从中随机地抽取36位考生的成绩,平均成绩为63.5分，,未知，,例2,标准差,s,=15分,问在显著水平0.05下是否可以认为,全体考生的平均成绩为70分？求,的置信水平为,0.95的置信区间。,拒绝域为,解,先提出假设,计算,故落在拒绝域之内，拒绝,H,0,，接受,H,1,即不能认为全体考生的平均成绩为70分。,的置信水平为0.95的置信区间为,设总体,已知时，,的检验,提出原假设和备选假设,第一步：,第二步：,在假设成立前提下取统计量,第三步：,拒绝域为,第四步,第五步,计算,最后,设总体,为,X,的,样本。对,2,作显著性检验,（,，其中,检验）,引例,已知某种延期药静止燃烧时间,今从一批延期药中任取10副测得静止燃烧时间（单位,秒）数据为,问：是否可信这批延期药的静止燃烧时间T的方差为,未知时，,的检验,解,提出假设,取统计量,为 的无偏估计，,的观察值应集中在1附近,说明,和,在,H,0,成立的条件下都是,小概率事件。,因此，,在样本值,下计算,若,或,则,拒绝H,0,。,若,则,接受,H,0,。,根据样本值算得,双边假设检验,的拒绝域为,或,则,接受H,0,。,即可信延期药的静止燃烧时间T的方差为,显然,由上例可得,提出原假设和备择假设,第一步：,第二步：,取统计量,的过程分为六个步骤：,第三步：,拒绝域为,第六步：判断，若,则拒绝H,0,，接受H,1,第五步：计算,反之则接受H,0。,第四步：,查表确定临界值,接受域,X,f(x),/2,/2,1,2,拒绝域,拒绝域,（=0.05）,某次统考后随机抽查26份试卷,测得平均成绩,成绩标准差是否为,已知该次考试成绩,例2,(2)选取统计量,(3)拒绝域为,解,(1)假设,分，样本方差,试分析该次考试,分左右。,(4)查表确定临界值,(5)计算,故接受H,0。,即可认为该次考试成绩标准差为,分左右。,三 两个正态总体参数的假设检验,分别是这两个样本的均值,且,X,与,Y,独立,X,1,X,2,是取自,X,的样本,Y,的样本,分别是这两个样本的样本方差,则有,Y,1,Y,2,是取自,和,分别是,且,X,与,Y,独立,X,1,X,2,是取自,X,的样本,取自,Y,的样本,分别是样本方差,均值,1.,Y,1,Y,2,是,样本,提出假设,检验两正态总体均值相等,独立,H,0,成立时取统计量，,取统计量，,拒绝域的形式,对给定,查表确定,则否定H,0,，接受H,1,则接受H,0,即认为两个正态母体均值无显著差异,即认为两个正态母体均值有显著差异，显著性水平为,由样本值 代入算出统计量,且,X,与,Y,独立,1.,提出假设,检验两正态总体均值之差,取统计量,给定 查表,2.,提出假设,取统计量,拒绝域的形式,给定,算出统计量,则否定H,0,，接受H,1,则接受H,0,即认为两个正态母体均值无显著差异,取统计量，,其余步骤相同,例3 某苗圃用两种育苗方案对杨树进行育苗试验,已知在两组育苗试验中苗高的标准差分别为,cm,cm.,cm,设杨树苗高服从正态分布,试在显著性水平,下,判断两种试验方案对平均苗高有无显著影响？,现各抽取80株作为样本,算得苗高的样本均值分别为,cm.,解 设方案一的苗高为,方案二的苗高为,则,检验假设,选取检验统计量,该拒绝域为,现在,统计量,的值,因为,所以拒绝原假设,即这两种试验方案对苗高有显著影响.,拒绝域,拒绝域,未知，,的单边检验,五、检验两正态总体方差相等 F检验,取统计量,分别是样本方差,(4),查表,则否定H,0,，接受,H,1,(2)选取统计量,(3)拒绝域,（5）计算,拒绝域,拒绝域,例1,两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查，测得其平均年存款余额分别为,元和,元.样本标准差相应为,元和,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著,差异。（取显著性水平,）,元。假设年存款余额服从正态分布，,解,设两家银行的储户的平均年存款余额分别为,X,Y,则,为了使用,检验，,依题意要检验,与,是否相等，但方差未知，,首先需要检验,与,是否相等。,拒绝域,查表,选取统计量,（1）检验假设,F,的值为,因为,所以接受,选取统计量,（2）检验假设,(3)拒绝域,(4),查表,统计量,t,的值为,因为,，所以拒绝,这说明两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异,正如在数学上我们不能用一个例子去证明一个结论一样，用一个样本（例子）不能证明一个命题（假设）是成立的，但可以用一个例子（样本）推翻一个命题。,非正态总体参数的假设检验,1）总体不服从正态分布,2）不知道总体服从什么分布,当,n,很大时，由中心极限定理保证，不管总体服从什么分布，样本均值都服从正态分布，采用大容量样本，按正态分布处理,大样本一般取,n,50,n100,设总体,X,服从参数为,p,的(0-1)分布,即,设,为,X,的样本,检验假设,1(0-1)分布参数的假设检验,由于,因此由中心极限定理可知,当,成立且样本容量,n,充分大时，统计量,服从标准正态分布,N,(0,1).,拒绝域为,近似地,例1,某