量子力学课件第五章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,量子力学,Quantum Mechanics,第五章 微扰理论,微扰法不是量子力学所特有的方法,，在处理天体运行的天体物理学中，计算行星运行轨道时，就是使用微扰方法。计算中需要考虑其他行星影响的二级效应。,例如，地球受万有引力作用绕太阳转动,第五章 微扰理论,计算所使用的方法是：,首先把太阳和地球作为二体系统，求出其轨道，然后研究这个轨道受其它行星的影响而发生的变化。,5.1,非简并的定态微扰,（一）微扰体系方程,可精确求解的体系叫做,未微扰体系,，待求解的体系叫做,微扰体系,。,假设体系,Hamilton,量不显含时间，而且可分为两部分：,H,0,所描写的体系是可以精确求解的,，其本征值,E,n,(0),，,本征矢,n,(0),满足如下本征方程：,H,是很小的可以看作加于,H,0,上的微小扰动。,5.1,非简并的定态微扰,现在的问题是如何求解整个体系的,Schrodinger,方程：,为了明显表示出微扰的微小程度，将其写为：,其中,是很小的实数，表征微扰程度的参量。,5.1,非简并的定态微扰,因为,E,n,、,n,都与微扰有关，可以把它们看成是,的函数而将其展开成,的幂级数：,其中,E,n,(0),E,n,(1),2,E,n,(1),.,分别是能量的,0,级近似，能量的一级修正和二级修正等；,而,n,(0),n,(1),2,n,(2),.,分别是状态矢量,0,级近似，一级修正和二级修正等。,5.1,非简并的定态微扰,代入,Schrodinger,方程得：,乘开得,5.1,非简并的定态微扰,根据等式两边,同幂次的系数应该相等，可得到如下一系列方程式,:,5.1,非简并的定态微扰,整理后得：,上面的第一式就是,H,0,的本征方程,，,第二、三式分别是,n,(1),和,n,(2),所满足的方程,，由此可解得能量和态矢的第一、二级修正。,左乘,n,(0)*,整个空间积分,考虑到本征基矢的正交归一性：,5.1,非简并的定态微扰,(1),能量一级修正,E,n,(1),（二）态矢和能量的一级修正,5.1,非简并的定态微扰,根据力学量本征矢的完备性假定,a,k,(1),=,代回到,（,2,）态矢的一级修正,n,(1),5.1,非简并的定态微扰,左乘,m,(0)*,整个空间积分,5.1,非简并的定态微扰,考虑到本征基矢的正交归一性：,有,k=m n,5.1,非简并的定态微扰,态矢的一级修正,n,(1),5.1,非简并的定态微扰,态矢和能量的一级修正,5.1,非简并的定态微扰,（三）能量的二阶修正,5.1,非简并的定态微扰,左乘,n,(0)*,整个空间积分,考虑到本征基矢的正交归一性：,=0,=0,5.1,非简并的定态微扰,5.1,非简并的定态微扰,在计及二阶修正后，扰动体系能量本征值由下式给出：,扰动体系能量本征函数由下式给出：,5.1,非简并的定态微扰,（四）微扰理论适用条件,欲使二式有意义，则要求二级数收敛。由于不知道级数的一般项，无法判断级数的收敛性，我们只能要求级数已知项中，后项远小于前项。由此我们得到微扰理论适用条件是：,5.1,非简并的定态微扰,上述微扰适用条件表明：,（,2,）,|E,n,(0),E,m,(0),|,要大，即能级间距要宽。,（,1,）,|,H,mn,|=|,要小，即微扰 矩阵元要小；,5.1,非简并的定态微扰,（五）,实例,例,1.,一电荷为,q,的线性谐振子，受恒定弱电场,E,作用。电场沿,x,正向，用微扰法求体系的定态能量和波函数。,解：,（,1,）电谐振子,Hamilton,量,将,Hamilton,量分成,H,0,+H,两部分,5.1,非简并的定态微扰,H,0,+H,（,2,）写出,H,0,的本征值和本征函数,E,(0),n,(0),5.1,非简并的定态微扰,（,3,）计算,E,n,(1),奇函数,5.1,非简并的定态微扰,（,4,）计算能量二级修正,欲计算能量二级修正，首先应计算,H,mn,矩阵元。,利用线性谐振子本征函数的递推公式：,5.1,非简并的定态微扰,将上式代入,5.1,非简并的定态微扰,E,n,(0)-E,n-1,(0)=,E,n,(0)-E,n+1,(0)=-,5.1,非简并的定态微扰,波函数的一级修正,5.2,简并情况下的微扰,5.2,简并情况下的微扰,根据这个条件，我们选取,0,级近似波函数,n,(0),的,最好方法是将其表示成,k,个,i,的线性组合,，因为反正,0,级近似波函数要在,i,i,=1,2,.,k),中挑选。,系数由下式给出,5.2,简并情况下的微扰,左乘,l,*,整个空间积分,0,5.2,简并情况下的微扰,上式是以展开系数,c,i,(0),为未知数的齐次线性方程组,它,有不含为零解的条件是系数行列式为零,解,此久期方程可得能量的一级修正,E,n,(1),的,k,个根,记为,E,nj,(1),(j=1,2,k),5.2,简并情况下的微扰,因为,E,n,=E,n,(0)+E,nj,(1),，,所以若这,k,个根都不相等,则一级微扰就可以将,k,度简并完全消除,.,若,E,n,(1),有几个重根,则表明简并只是部分消除,须进一步考虑二级修正才可使能级完全分裂开来。,5.2,简并情况下的微扰,确定能量,En=E,n,(0),+E,nj,(1),所对应的,0,级近似波函数,.,可以把,E,nj,(1,),之值代入线性方程组从而解得一组,c,i,系数。,将该组系数代回展开式就能够得到相应的,0,级近似波函数,5.3,氢原子一级,Stark,效应,(1),氢原子一级,Stark,效应,:,氢原子在外电场作用下产生谱线分裂现象称为,Stark,效应。,我们知道电子在氢原子中受到球对称库仑场作用，,造成第,n,个能级有,n,2,度简并,。但是当加入外电场后，由于势场对称性受到破坏，能级发生分裂，简并部分被消除。,Stark,效应可以用简并情况下的微扰理论予以解释。,5.3,氢原子一级,Stark,效应,（,2,）外电场下氢原子,Hamilton,量（电场沿,Z,方向,),常外电场强度比原子内部电场强度小得多，我们可以把,外电场的影响作为微扰处理。,5.3,氢原子一级,Stark,效应,（,3,）,H,0,的本征值和本征函数,下面我们只讨论,n=2,的情况，这时简并度,n,2,=4,。,5.3,氢原子一级,Stark,效应,属于该能级的,4,个简并态是：,5.3,氢原子一级,Stark,效应,（,4,）一级能量修正,久期方程,先计算出微扰,Hamilton,量,H,在以上各态的矩阵元,5.3,氢原子一级,Stark,效应,我们碰到角积分,需要利用如下公式：,欲使上式不为,0,，,求量子数必须满足如下条件：,5.3,氢原子一级,Stark,效应,仅当,=1,m=0,时，,H,的矩阵元才不为,0,。,因此矩阵元中只有,H,12,H,21,不,等于,0,。,因为,5.3,氢原子一级,Stark,效应,将,H,的矩阵元代入久期方程：,解得,4,个根：,5.3,氢原子一级,Stark,效应,由此可见，在外场作用下，原来,4,度简并的能级,E,2,(0),在一级修正下，被分裂成,3,条能级，,简并部分消除,。,E,2,E,1,5.3,氢原子一级,Stark,效应,（,5,）求,0,级近似波函数,分别将,E,2,(1),的,4,个值代入方程组：,得四元一次线性方程组,5.3,氢原子一级,Stark,效应,将,E,2,(1),=E,21,(1),=3ea,0,代入上面方程，得：,所以相应于能级,E,2,(0),+3ea,0,的,0,级近似波函数是：,5.3,氢原子一级,Stark,效应,将,E,2,(1),=E,22,(1),=-3ea,0,代入上面方程，得：,所以相应于能级,E,(0),2,-3ea,0,的,0,级近似波函数是：,5.3,氢原子一级,Stark,效应,我们可以采用,将,E,2,(1),=E,23,(1),=E,24,(1),=0,，,代入上面方程，得：,内 容 回 顾,1,、非简并的定态微扰,2,、简并情况下的微扰,久期方程,5.6,与时间有关的微扰理论,本节中我们研究量子态的,演化问题,也就是已知初始时刻的状态 求任意时刻的状态,依据运动方程,1,、,H,不含时间的情况,这种情况态的演化问题将归结为求解定态薛定谔方程。,带入到,薛定谔方程,5.6,与时间有关的微扰理论,此方程很容易积分,显然积分常数,总结,:,5.6,与时间有关的微扰理论,2.Hamilton,算符含有与时间有关的微扰,含时微扰理论可以通过,H,0,的定态波函数近似地求出微扰存在情况下的波函数，从而可以计算无微扰体系在加入含时微扰后，体系由一个量子态到另一个量子态的跃迁几率。,（,1,）薛定谔方程的另一种形式,5.6,与时间有关的微扰理论,若的,H,0,本征值方程已解得,则显然有,令,再令,代入薛定谔方程,5.6,与时间有关的微扰理论,以,m,*,左乘上式后对全空间积分,5.6,与时间有关的微扰理论,2,）近似求解（逐次逼近法）,代入方程式,5.6,与时间有关的微扰理论,设,t=0,时体系处于,H,0,某一本征态,k,，即,或者,代入方程式右边,5.6,与时间有关的微扰理论,一级近似公式,:,把一级近似的结果代入方程的右边，可得到二级近似的结果，逐级进行可以一直进行下去，不过实际上往往只计算到一级近似。,5.6,与时间有关的微扰理论,3,、跃迁几率,设,t=0,时体系处于,H,0,某一本征态,k,，,t,时刻发现体系处于,态,发现体系处于,m,态的概率等于,|,a,m,(t)|,2,所以在 时间内,体系在微扰作用下由初态,k,跃迁到末态,m,的概率在一级近似下为：,5.6,与时间有关的微扰理论,5.7,跃迁概率,设,H,在,0,t,t,1,这段时间之内不为零，但与时间无关，即：,常微扰情况的跃迁,（,2,）一级微扰近似,a,m,(1),5.7,跃迁概率,（,3,）跃迁概率和跃迁速率,数学公式：,则当,t,时 上式右第二个分式有如下极限值：,5.7,跃迁概率,于是：,跃迁速率：,5.7,跃迁概率,跃迁速率：,费米黄金定则,5.7,跃迁概率,（,4,）讨论,1.,上式表明，,对于常微扰，在作用时间相当长的情况下，跃迁速率将与时间无关，且仅在能量,m,k,，,即在初态能量的小范围内才有较显著的跃迁几率。,2.,式中的,(,m,-,k,),反映了跃迁过程的能量守恒。,3.,黄金定则,设体系在,m,附近,d,m,范围内的能态数目是,(,m,)d,m,，则跃迁到,m,附近一系列可能末态的跃迁速率为：,5.7,跃迁概率,5.9,选择定则,原子在光波作用下由,k,态跃迁到,m,态的几率：,当,|r,mk,|,2,=0,时，在偶极近似下，跃迁几率等于零，即跃迁不能发生。我们称这种不能实现的跃迁为,禁戒跃迁,。,显然，要实现,k,m,的跃迁，必须满足,|r,mk,|,2,0,的条件，或,|,x,mk,|,|,y,mk,|,|,z,mk,|,不同时为零。,选择定则,若偶极跃迁几率为零，则需要计算比偶极近似更高级的,近似。在任何级近似下，跃迁几率都为零的跃迁称为,严,格禁戒跃迁。,5.7,跃迁概率,5.7,跃迁概率,5.7,跃迁概率,