信号与系统-3章傅里叶变换

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.,傅里叶级数定义及适用条件,2.,常见周期信号的频谱,非周期性信号的频谱,3.,傅里叶变换的定义及适用条件及性质,4.,周期信号的傅里叶变换,5.,抽样定理,6.,功率频谱与能量频谱,7.,系统频域分析法,8.,希尔伯特变换,第,3,章 傅里叶变换,重点：,傅里叶,1768,年生于法国,1807,年提出“任何周期信号都可用正弦函数级数表示”,1822,年在“热的分析理论”一书中再次提出。,1829,年狄里赫利给出傅里叶变换收敛条件。傅里叶变换得到大规模的应用，则是到了上世纪,60,年代之后。,3.1,傅里叶变换的产生,傅里叶的两个最主要的贡献：,（,1,）“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”,;,（,2,）“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”,.,三角函数,就是一个标准的两两正交的函数空间。它满足下列完备正交函数的三个条件：,3.2,周期信号的傅里叶分析,1.,归一化：,2.,归一正交化：,3.,归一化完备性：,可以用其线性组合表示任意信号,周期的终点,设三角函数的完备函数集为：,其中,三角函数集也可表示为：,3.2.1,傅里叶级数的三角形式,基频,周期,周期的起点,时，有,（,2,）,“,单位,”,常数性，即当,满足,：,（,1,）,正交性：函数集中的任意函数两两相正交，有,可以将“任意”周期函数 在这个正交函数集中展开为,系,数,称为傅里叶级数,同上式,傅里叶级数的三角展开式,另一种形式,直流分量,n,=0,n,=0,基波分量,n,次谐波分量,可展开为傅里叶级数的条件：,（,2,）在区间内有有限个间断点；,（,1,）绝对可积，即：,（,3,）在区间内有有限个极值点。,Direchlet,条件,傅里叶级数存在的充要条件,式中，,为,n,次谐波振幅。,为,n,次谐波初始相位,。,！,并非任意周期信号都能进行傅里叶级数展开,！,1.,从三角函数形式的傅里叶级数推导,3.2.2,傅里叶级数的复指数形式,利用欧拉公式,:,式中,幅度,相位,复指数,幅度,的具体求法如下：,2.,直接从复变正交函数集推导,中展开，有,在复变正交函数空间,将原函数,式中,例,求 的指数傅里叶级数和三角傅里叶级数。,已知冲激序列,-,T,0,O,T,0,2,T,0,t,的三角傅里叶级数为：,又,解,求下图中三角波,的三角傅里叶级数。,则,为,的周期延拓，即,将,去除直流分量，则仅剩交流分量,在,内的函数记为,（,1,）将周期函数,例,解,A,-T,0,O T,0,2,T,0,t,故,（,2,）利用直接法求解,故,常称为,f,(,t,),的截断傅里叶级数表示式。,用,MATLAB,的符号积分函数,int(),可表示上式。格式为：,（,1,）,intf=int(f,v),；,给出符号表达式,f,对指定变量,v,的（不带积分常数）不定积分；,（,2,）,intf=int(f,v,a,b),；,给出符号表达式,f,对指定变量,v,的定积分。,3.2.3,傅里叶级数的,MATLAB,仿真实现,3.3,周期信号的对称性,1,纵轴对称性,（,1,）如果原函数是偶函数，则其傅里叶级数中只有直流和余弦分量（即偶函数之和仍然是偶函数）。,（,2,）如果原函数是奇函数，则其傅里叶级数中只有正弦分量（即奇函数之和仍然是奇函数）。,满足 的周期为,T,的函数；即平移半个周期后的信号与原信号关于横轴对称。,定义：,奇谐函数,偶谐函数,满足 的周期为,T,的函数；即,平移半个周期后信号与原信号重合。,2,横轴对称性,（,2,）偶谐函数的傅里叶级数中只有偶次谐波分量。,（,1,）奇谐函数的傅里叶级数中只有奇次谐波分量。,如果原信号既不是奇谐函数也不是偶谐函数，那么其傅里叶级数展开式中就会既包含有奇次谐波分量也包含有偶次谐波分量。,！,利用奇谐函数、偶谐函数性质的时候，最好将其直流分量去掉，以免发生误判。,已知奇谐函数：,例,解,3.4,常见周期信号的频谱,3.4.1,频谱的概念,频谱图,表示信号含有的各个频率分量的幅度值。其横坐标为频率,（单位为赫兹），,纵坐标对应各频率分量的幅度值 。,振幅频谱,（幅频特性图）,表示信号含有的各个频率分量的相位。其横坐标为频率；纵坐标对应各频率分量的相位,（单位常用度或弧度）。,相位频谱,（相频特性图）,例,，求频谱,解,（,1,）单边频谱：,（,2,）双边频谱：,包络线,频谱图随参数的变化规律：,1,）周期,T,不变，脉冲宽度,变化,第一个过零点：,谱线间隔,情况,1,：,第一个过零点为,n,=4,。,在 有值（谱线）,第一个过零点,n,=8,情况,2,：,脉冲宽度缩小一倍,第一个过零点增加一倍,谱线间隔不变,幅值减小一倍,第一个过零点为,n,=16,。,情况,3,：,脉冲宽度再缩小一倍,示意图,第一个过零点再增加一倍,谱线间隔不变,幅值再减小一倍,由大变小，,F,n,第一过零点频率增大，即 所以 称为信号的带宽，,确定了带宽。,由大变小，频谱的幅度变小。,由于,T,不变，谱线间隔不变，即 不变。,结 论,第一个过零点,情况,1,：,时，谱线间隔,2,）脉冲宽度,不变,周期,T,变化,示意图,第一个过零点,谱线间隔,幅值,:,第一个过零点,情况,2,：,时，谱线间隔,周期,T,扩展一倍,示意图,谱线间隔减小一倍,第一个过零点不变,幅值减小一倍,第一个过零点,情况,3,：,时，谱线间隔,周期,T,再扩展一倍,示意图,谱线间隔再减小一倍,幅值再减小一倍,第一个过零点不变,不,变，,F,n,的第一个过零点频率不变，,即,带宽不变。,T,由小变大，谐波频率成分丰富，且频谱幅度变小。,T,时,，谱线间隔,0,，这时：,周期信号,非周期信号；离散频谱,连续频谱,结 论,典型周期信号的频谱分析，可利用傅里叶级数或傅里叶变换。典型周期信号如下：,1.,周期矩形脉冲信号,2,.,周期对称方波信号,3,.,周期锯齿脉冲信号,4,.,周期三角脉冲信号,5,.,周期半波余弦信号,6,.,周期全波余弦信号,3.4.2,常见周期信号的频谱,1.,周期矩形脉冲信号,(1),周期矩形脉冲信号的傅里叶级数求解,设周期矩形脉冲：脉宽为,，脉冲幅度为,E,，周期为,T,1,（,2,）周期矩形脉冲信号的幅度、相位谱,相位谱,幅度谱,复数频,实数频谱,幅度谱与相位谱合并,周期对称方波信号是周期矩形信号的一种特殊情况，对称方波信号有两个特点：,(1),是正负交替的信号，其直流分量,a,0,等于零；,(2),它的脉宽恰等于周期的一半，即,t,=,T,1,/2,。,2.,周期对称方波信号的傅里叶级数,幅度谱,相位谱,3.,周期锯齿脉冲信号的傅里叶级数求解,周期锯齿脉冲信号，是奇函数故 ，,可求出傅里叶级数系数,b,n,。,如何求,b,n,留作思考！,其傅里叶级数表达式为：,此信号的频谱只包含正弦分量，谐波的幅度以,1/,n,的规律收敛。,4.,周期三角脉冲信号的傅里叶级数求解,周期三角脉冲信号，是偶函数，故 ，,可求出傅里叶级数系数,a,0,、,a,n,。,如何求,b,n,留作思考！,此信号的频谱只包含直流、基波及奇次谐波分量，谐波的幅度以,1/,n,2,的规律收敛。,其傅里叶级数表达式为：,5.,周期半波余弦信号的傅里叶级数求解,周期半波余弦信号，是偶函数，故 ，,可求出傅里叶级数系数,a,0,、,a,n,。,如何求,b,n,留作思考！,此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以,1/,n,2,的规律收敛。,其傅里叶级数表达式为：,6.,周期全波余弦信号的傅里叶级数求解,周期全波余弦信号，是偶函数。,令余弦信号为,则，全波余弦信号为：,此信号的频谱只包含直流、基波及偶次谐波分量，谐波的幅度以,1/,n,2,的规律收敛。,其傅里叶级数表达式为：,如果用有限,傅里叶级数代替无穷傅里叶级数表示信号，必然引进一个误差。如果完全逼近，则,n,=.,实际中，,n,=,N,N,是有限整数。,如果,N,愈接近,n,，则 其均方误差愈小,若用,2,N,1,项逼近，则,3.4.3,吉布斯效应,误差函数和均方误差,误差函数,均方误差,对称方波,是偶函数且奇谐函数。所以其只有奇次谐波的余弦项。,例,-,E,/2,T,1,/4,-,T,1,/4,t,E,/2,o,对称方波有限项的傅里叶级数,（,N=1,、,2,、,3,时的逼近波形）,（,3,）,N,=3:,（,1,）,N,=1:,（,2,）,N,=2:,-0.5,-0.4,-0.3,-0.2,-0.1,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,有限项的,N,越大，误差越小例如,:,N,=9,-0.5,-0.4,-0.3,-0.2,-0.1,0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,-1,-0.8,-0.6,-0.4,-0.2,0,0.2,0.4,0.6,0.8,1,N,越大，越接近方波,快变信号，高频分量，主要影响跳变沿；,慢变信号，低频分量，主要影响顶部；,任一分量的幅度或相位发生相对变化时，波形将会失真；,有吉伯斯现象发生。,结论,以周期矩形脉冲,为例：,只需修改上面程序节,),中函数,CTFShchsym.m,的内容，需注意：因周期信号频谱是离散的，故在绘制频谱时采用,stem,而非,plot,命令。,谐波阶数取,还需用到,MATLAB,的反褶函数,fliplr,来实现频谱的反褶。,上机练习！,3.4.4,周期信号的,MATLAB,仿真实现,对周期矩形脉冲信号，有,3.5,非周期性信号的频谱,3.5.1,从傅里叶级数到傅里叶变换,谱线间隔,谱线间隔,0,从物理概念考虑：信号的能量存在，其频谱分布的规律就存在。,由于,1,从周期信号到非周期信号,从傅里叶级数到傅里叶变换,信号的频谱分布是不会随着信号的周期的无限增大而消失的。,T,时，信号的频谱分布仍然存在。,结论,无限多个无穷小量之和仍可等于一个有限量。,从数学角度来看：,所以，傅里叶级数展开为：,为频谱密度函数。,定义,周期信号：,频谱是离散的，且各频率分量的复振幅 为有限值。,非周期信号：,频谱是连续的，且各频率分量的复振幅 为无限小量。,所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。,！,2,傅里叶逆变换,怎样用,计算,3.,正、逆傅里叶变换,反变换,正变换,!,傅里叶变换对的形式并不唯一,傅里叶变换存在的充分条件,:,用广义函数的概念，允许奇异函数也能满足上述条件，因而象阶跃、冲激一类函数也存在傅里叶变换。,4,傅,里叶变换的另外几种形式,本节主要介绍以下几种典型的非周期信号的频谱。,1.,单边指数信号,6,.,符号函数,2,.,双边指数信号,7,.,冲激函数傅里叶变换对,3,.,奇双边指数信号,8,.,冲激偶的傅里叶变换,4,.,矩形脉冲信号,9.,阶跃信号的傅里叶变换,5,.,钟形脉冲信号,10,.,复正弦信号,3.5.2,常见信号的傅里叶变换,1.,单边指数信号的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,利用傅里叶变换定义公式,时域波形,单边指数信号的频谱如下：,频域频谱,2.,双边指数信号的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,（正实函数）,利用傅里叶变换定义公式,求解过程,时域波形,双边指数信号的频谱如下：,频域频谱,相位,3.,奇双边指数信号的傅里叶变换,频域频谱,时域波形,频谱如下：,4.,矩形脉冲信号的傅里叶变换,实函数,时域有限的矩形脉冲信号，在频域上是无限分布。常认为信号占有频率范围（,频带,B,）为,5.,钟形脉冲信号的傅里叶变换,（高斯脉冲）,其傅里叶变换为：,（正实函数）,因为钟形脉冲信号是一正实函数，所以其,相位频谱为零,。,时域波形,频域频谱,6.,符号函数的傅里叶变换,其傅里叶变换为：,（纯虚数函数）,符号函数不满足绝对可积条件，但它却存在傅里叶变换。,采用符号函数与双边指数衰减函数相乘，求出奇双边指数的频谱，再取极限，从而