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Stop,Ch4,随机变量的数字特征,数学期望,(Expectation),一,加权平均数,例,设某班,40,名学生的概率统计成绩及得分人数如下表所示：,分数,40 60 70 80 90 100,人数,1 6 9 15 7 2,则学生的平均成绩是总分,总人数,(,分,),。即,上式也可以写成：,这种计算方法即为,40,60,70,80,90,和,100,这六个数的,加权平均数。,其中,称为数,的权重。,的加权算术平均数,为：,一般地有,X,40 60 70 80 90 100,P,1/40 6/40 9/40 15/40 7/40 2/40,现引进,r,.,v,.,X,表示学生得分，则,X,有分布律,于是上述平均数可以写成,即取值乘取值的概率相加即得平均值。,这就是,r,.,v,.,的,数学期望,的概念,二,.,离散型随机变量的数学期望,定义：,离散型随机变量,X,，,其分布律为：,若级数,绝对收敛，,即,若级数,发散，则说,X,的数学期望不存在。,的和,为随机变量,X,的,数学期望,，记为,则称级数,例,r,.,v,.,X,的分布律为：,X,10 30 50 70 90,p,3/6 2/6 1/36 3/36 2/36,求,解,例 某省发行的体育彩票中，有顺序的,7,个数,字组成一个号码，称为一注，,7,个数字都是选,自,0,，,1,，,9,，可以重复，如果彩票一元一,张，且全体不同的号码中只有一个大奖，大奖,可得奖金,300,万元，扣除,20,的所得税，问购,买一注时期望盈利是多少？,例 在澳门，有很多人在赌,21,点时顺便押对子，,其规则如下：庄家从,6,副牌（,52,张,),扑克中随机,抽取两张，如果你下注,a,元，当得到的牌为一,对时，庄家赔给你,10,倍，否则输掉你的赌注，,如果你下注,100,元，你和庄家在每局中各期望,赢多少元？,例,单点分布（退化分布）,即常数的数学期望为常数。,例,X,（,01,）,分布,X,0 1,p,1-,p,p,即,r,.,v,.,X,的分布律为：,P,X,=,c,=1,即,r,.,v,.,X,的分布律为：,例,X,B,（,n,，,p,）,二项分布,即,r,.,v,.,X,的分布律为：,例,X,（,或）,Poisson,分布,即,r,.,v,.,X,的分布律为：,例,r,.,v,.,X,的取值为：,对应的概率为：,但,所以,E,(,X,),不存在！,例,求超几何分布,PX=k=p(1-p),k-1,k=1,2,.,的数学期望。,定义,设连续型,r,.,v,.,X,的概率密度函数为,f,(,x,),若积分,绝对收敛，则称积分,的值为连续型,r,.,v,.,X,的数学期望，记为,E,(,X,),。,即,若积分,发散时，,则称,X,的数学期望不存在。,三,.,连续型随机变量的数学期望,例,r,.,v,.,X,的概率密度函数为：,求,E,(,X,).,解,例,X,U(,a,，,b,),均匀分布,求,E,(,X,).,解,其,概率密度函数为：,例,指数分布,求,E,(,X,).,解,X,服从参数为,的指数分布，,其,概率密度函数为：,求,E,(,X,).,解,其,概率密度函数为：,例,正态分布,X,N(,),例,r,.,v,.,X,的概率密度函数为：(,Cauthy,分布),由于,所以,E,(,X,),不存在！,四,.,对于,r,.,v,.,X,的函数的数学期望,Y,为,r,.,v,.,X,的函数，,Y,=g(,X,),，,g,为连续函数,（,i,）,X,是离散型随机变量，其分布律为,若,绝对收敛，则有,事实上,（,ii,）,X,是连续型随机变量，其概率密度函数为,f,(,x,),若,绝对收敛，则有,综上有：,若已知,X,的分布以及函数,g(,x,),可以不必求出,Y,=g(,x,),的分布,直接利用上面的公式求出,Y,的数学期望.,解,例,r,.,v,.,X,的分布律为：,X,2 0 5,p,0.4 0.1 0.5,求,E,(2,X,2,+,X,2),和,E,X,E,(,X,),2,.,例,r,.,v,.,X,的概率密度函数为：,求,E,(3,X,2,7,X,+8).,解,二维,r,.,v,.(,X,，,Y,),，,Z,=g(,X,，,Y,),，,g,为连续函数,（,i,）,(,X,，,Y,),是离散型随机变量，其分布律为,若,绝对收敛，则有,（,ii,）,(,X,，,Y,),是连续型随机变量，其概密为,若,绝对收敛，则有,例,r,.,v,.(,X,，,Y,),的概率密度函数为：,求,E,(,XY,),，,E(,X,2,+,Y,2,),。,解,x,y,0,五,数学期望的性质,1.,E,(,aX,+,b,)=,aE,(,X,)+,b,a,b,为常数,;,2.,E,(,X,+,Y,)=,3.,若,X,与,Y,独立,，则,E,(,XY,)=,E,(,X,)+,E,(,Y,);,E,(,X,),E,(,Y,).,E,(,X,1,+,X,2,+,+,X,n,)=,E,(,X,1,)+,E,(,X,1,)+,+,E,(,X,n,);,E,(,X,1,X,2,X,n,)=,E,(,X,1,),E,(,X,1,),E,(,X,n,);,若,X,1,X,2,X,n,相互独立,，则,方差,(Variance or Dispersion),方差,是衡量随机变量取值与其均值的,偏离程度,的一个数字特征。,1.,定义,若,E,(,X,),存在，则称,E,X,E,(,X,),2,为,r,.,v,.,X,的,方差,，记为,D,(,X,),或,Var(,X,).,离散型情况,连续型情况,2.,推论,D,(,X,)=,E,(,X,2,),E,(,X,),2,.,例,单点分布（退化分布）,即常数的方差为零。,例,X,（,01,）,分布,X,0 1,p,1-,p,p,即,r,.,v,.,X,的分布律为：,P,X,=,c,=1,即,r,.,v,.,X,的分布律为：,例,X,B,（,n,，,p,）,二项分布,即,r,.,v,.,X,的分布律为：,例,X,（,或）,Poisson,分布,即,r,.,v,.,X,的分布律为：,例,X,U(,a,，,b,),均匀分布,其,概率密度函数为：,例,指数分布,X,服从参数为,的指数分布，,其,概率密度函数为：,其,概率密度函数为：,例,正态分布,X,N(),3.,方差的性质,(1),D,(,aX,+,b,)=,a,2,D,(,X,),a,b,为常数；,(2),若,X,，,Y,独立,，则,D,(,X,+,Y,)=,D,(,X,)+,D,(,Y,);,(3),D,(,X,)=0,存在,常数,C,，,使,P,X,=,C,=1,且,C,=,E,(,X,);,(4),对任意,C,R,E,(,X,C,),2,D,(,X,),且,min,E,(,X,C,),2,=,E,X,E,(,X,),2,=,D,(,X,).,若,X,1,X,2,X,n,相互独立,，则,D,(,X,1,+,X,2,+,+,X,n,)=,D,(,X,1,)+,D,(,X,1,)+,+,D,(,X,n,);,若,X,，,Y,独立,，则,D,(,X,Y,)=,D,(,X,)+,D,(,Y,);,以,X,记,n,重,贝努里试验中,A,发生的次数，则,X,B(,n,，,p,),若记,若在第,i,次试验中,A,发生；,若在第,i,次试验中,A,不发生。,X,0 1,P,1-,p,p,1,0,E,(,X,i,)=,p,D,(,X,i,)=,p,(1-,p,),又,X,=,X,1,+,X,2,+,X,n,E,(,X,)=,E,(,X,1,)+,E,(,X,2,)+,E,(,X,n,),=,np,D,(,X,)=,D,(,X,1,)+,D,(,X,2,)+,D,(,X,n,),=,np,(1-,p,),.,称为,X,的,均方差,或,标准差,，其量纲与,X,的一致。,易知,E,(,X,)=0,，,D,(,X,)=1.,切比雪夫不等式,若,r,.,v,.,X,的期望和方差存在，则对任意,0,，有,这就是著名的,切比雪夫,(,Chebyshev,),不等式。,它有以下几种等价的形式：,记,=,D,(,X,),=,E,(,X,),则对,k,0,有,定理,(Cauchy-Schwarz,不等式,),若对任意的,r,.,v,.,X,、,Y,，若,E,(,X,2,)+,，,E,(,Y,2,)0,D,(,Y,)0,，,则,称为,X,与,Y,的,相关系数,.,若,XY,=0,，,则称,X,与,Y,不相关,，否则称,X,与,Y,相关。,X,与,Y,不相关,Cov(,X,Y,)=0,E,(,XY,),=,E,(,X,),E,(,Y,),。,Cov(,X,Y,),称为,X,与,Y,的标准化协方差，,易知,相关系数的性质,(1),|,XY,|,1；,(2),|,XY,|=,1,(3),X,与,Y,独立，则,X,与,Y,不相关，反之不然。,存在,常数,a,b,使,P,X,=,aY,+,b,=1,；,即,独立,不相关,例,设,(,X,Y,),在,D,=(,x,y,),：,x,2,+,y,2,1,上服从均匀分布，则,X,与,Y,不相关，但不是相互独立的。,解,X,与,Y,不相互独立,Notes,对于二元正态分布，其独立性和不相关性是等价的。,其它的分布没有这个性质,。,例 求二维正态分布的相关系数。,矩、协方差矩阵,矩,1.,k,阶原点矩,而,E,(|,X,|,k,),称为,X,的,k,阶绝对原点矩；,A,k,=,E,(,X,k,),k,=1,2,2.,k,阶中心矩,而,E,|,X,-,E,(,X,)|,k,称为,X,的,k,阶绝对中心矩；,易知,E,(,X,)=,A,1,D,(,X,)=,B,2,.,B,k,=,E,X,E,(,X,),k,k,=1,2,3.,k+l,阶,混合,原点矩,E,(,X,k,Y,l,),k,l,=0,1,2,；,4.,k+l,阶,混合,中心矩,E,X,E,(,X,),k,Y,E,(,Y,),l,k,l,=0,1,2,；,易知,Cov(,X,Y,)=,E,X,E,(,X,),Y,E,(,Y,),是,1+1阶混合中心矩。,可见矩对于随机变量而言是一般的数字特征，而数学期望、方差、协方差等都是一些特殊的矩。,例 设,X,，,Y,是两个随机变量，且,Y,aX,+b,(a,0,a,b,为常数,),，,D(X),存在且不为,0,，求,相关系数。,例,几个重要的关系：,对于随机变量,X,与,Y,，下列四个命题等价：,例,某车站于每个整数钟点的第,5,、,25,、,55,分钟均有车到达,假设乘客在一个整点内到达是等可能的,求一个乘客等车时间的数学期望,。,例,设在,N,张彩票中有,a,是中奖的，现在某,人买了,N,张，求他中奖彩票数的数学期望。,例 某公司出口某种产品，每出口一吨可获利,3,万元，若积压一吨则亏损,2,万元。已知国外每,年对此公司的该种产品的需求量,X(,单位：吨,),服,从在,1000,3000,上的均匀分布，问每年应储备,多少该产品，才能使公司所获利润最大？,例,例 在区间,0,a,上任取两点，求两点间距离的,数学期望。,例,协方差矩阵,1.,定义,设,X,1,，,X,n,为,n,个,r,.,v,.,记,c,ij,=,Cov(,X,i,X,j,),i,j,=1,2,n,.,则称由,c,ij,组成的矩阵为,r,.,v,.,X,1,，,X,n,的协方差矩阵,C,。,即,2.,协方差矩阵的性质,(1),C,=,C,T,其中,C,T,为,C,的转置,;,(2),C,是非负定矩阵，,即对任意,n,维实向量,=(,1,n,),T,.,有,T,C,0.,X,=(,X,1,，,X,2,),T,的概率密度为,
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