数值积分与数值微分

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,北京科技大学数理学院,卫宏儒,科学与工程计算,数值积分与数值微分,微积分学的创始人,:,英国数学家,Newton,德国数学家,Leibniz,引言,在实际问题中，往往会遇到被积函数,f(x),的原函数,无法用初等函数来表示，或函数只能用表格表示，或有的虽然能用初等函数表示，但太复杂，所以这些情形都需要去建立定积分的近似计算公式。,在数值积分方面，最容易得到的是用,f(x),的代数插值,函数,p(x),来代替它，即：将积分 区间细分，,在每小区间内用简单函数代替复杂函数，这是数值积分的基本思想,。,对替代函数的要求：,1：精度要高。,2：计算量要小。,求积系数,求积节点,上述公式称为,数值求积公式,。其中,仅与,一、代数精度的定义及确定,:,定义：,若求积公式 ，,对一切不高于,m,次的多项式都准确成立，而对于,m+1,次多项式等号不成立，则称此公式的代数精度为,m,。,代数精度越高，公式越精确。,代数精度的求法：,从 依次验证求积公式是否成立，若第一个不成立的等式是 ，则该求积公式的代数精度就是 。,二、牛顿,柯特斯求积公式（等距结点）,将积分区间,a,b n,等分，其节点,x,k,为,x,k,=,a+kh,k=0,1,2,n,式中,h=(b,a)/n,。在,n+1,个节点上建立插值于,f(x),的,n,次代数多项式（拉格朗日插值公式）,P,n,(x,),，,并,引进变换,则有,于是,插值型积分公式,为,:,(1.1),这里,:,几个,常用的,Newton-Cotes,公式,柯特斯系数,n,1 1/2 1/2,2 1/6 4/6 1/6,3 1/8 3/8 3/8 1/8,4 7/90 16/45 2/15 16/45 7/90,5 ,下面分别考虑几种特殊请况。,（一）梯形公式,若积分区间,x,0,x,1,两端点处的函数值,f,0,f,1,为已知，可应用线性插,值公式,P,1,(x),在区间,x,0,x,1,上的积分来近似,这就是,(1.1),式中,n=1,的,情况。当,n=1,时，,C,0,(1),=1/2,，,于是有,(1.2),(1.2),式称为,梯形公式,。积分的这种近似计算方法称为梯形法则。,它的几何意义是用四边梯形,x,0,ABx,1,的面积,(x,1,x,0,)(f,0,+f,1,)/2,代,替曲边梯形的面积 。,x,y,0,A,B,y=P,1,(x),y=f(x),f,0,f,1,x,0,x,1,图1.1,当,n=1,时，为梯形公式,:,（二）辛普生,(Simpson),公式,如果已知步长的三个等距节点,x,0,x,1,p,k-1,p,2,p,1,0,a,i,(i=1,2,),都是与,h,无关的常数，也就是说，,F,1,(h),逼近,F*,的阶是,h,p1,，现在提出的问题是能否通过构造出一个新的序列，它逼近,F*,的阶要比,h,p,1,更高，如为,h,p,2,。,将,(1),中的,h,用,qh,来代替，,q,0,，,则有,F*-F,1,(qh)=a,1,(,qh),p,1,+a,2,(qh),p,2,+a,k,(qh),p,k,+,现在用,h,p1,乘,(1),的两边后和上式相减,整理得,(1-q,p,1,)F*-(F,1,(qh)-q,p,1,F,1,(h),=,a,2,(q,p,2,-q,p,1,)h,p,2,+a,k,(q,p,k,-q,p,1,)h,p,k,+,因为,(1-q,p,1,),不等于零，用,(1-q,p,1,),除等式两边有,F*-,F,1,(qh)-q,p,1,F,1,(h),1-q,p,1,=a,2,(2),h,p,2,+a,k,(2),h,p,k,+,（,2,）,a,2,(2),=,.,a,k,(2),=,.,都是与,h,无关的常数，令,F,2,(h)=(3),那么,F,2,(h),逼近,F*,的误差由,(2),知道为,h,p,2,.,依次做下去,计算公式为,F,m+1,(H)=,，,m=1,2,.(4),a,2,(q,p,2,-q,p,1,),1-q,p,1,a,k,(q,p,k,-q,p,1,),1-q,p,1,F,1,(qh)-q,p,1,F,1,(h),1-q,p,1,F,m,(qh)-q,p,m,F,m,(h,),1-q,p,m,其中：,用归纳法容易证明，由,(4),得到的,F,m,(h),逼近,F*,的误差为,上面的这种方法，称为,Richardson,外推法。,Romberg,求积公式,注：,外推法不只用在积分的计算，也可用于计算其他量，只要能把该量看成,f(h),当,h,0,时的极限为,f(0),而,f(0),不易直接计算，要通过,h,i,序列对应的函数值序列,f(h,i,),来外推。,如果,f(h),有类似的展式，即,f(h,)=,则一切的算法和讨论可类似进行，更一般地设为,f(h,)=,其中,0r,1,r,2,r,m,，,r,i,不必是整数,，,I,是不依赖于,h,的常数，,0,=,limf(h,),，,可以类似地推出外推计算公式,。,例：单位圆内接正,n,边形的面积为,S=sin,设,h=2/n,当,n,有,h 0,可以类似地推出外推计算公式,。,解,:,将,S,与,h,的关系写成,S(h)=,。,当,h 0,时,S(h),的极限是，即单位圆的面积。将,S(h),作,Taylor,展开：,即,S(h),有如上展式的形式，注意,是无理数,，所以可按,Romberg,算法计算积分的过程来计算,到任意精度。,取,n=6,12,24,即,h=1/3,1/6,1/12,这时,S(h),值很容易计算。经过计算,S(h),及两次外推法，可计算出,S(0)=,的近似值。,取更多的,h,值外推过程还可继续下去。我国古代数学家刘徽在公元,263,年就是用这种,“,割圆术,”,加上特殊的外推技巧，计算得,3.1416,。,例,1,：,取,e,=0.00001,用龙贝格方法计算积分,I,=,dx,4,1+x,2,0,1,例,2:,分别用不同方法计算如下积分,并做比较,令,I=,各种做法比较如下：,（,1,）,、,Newton-Cotes,公式,当,n=1,时：即用梯形公式，,I=0.9270354,当,n=2,时：,即用,Simpson,公式,，,I=0.9461359,当,n=3,时：,I=0.9461090,当,n=4,时：,I=0.9460830,当,n=5,时：,I=0.9460831,（,2,）用复化梯形公式：,令,h=1/8=0.125,（,3,）用复化抛物线,令,h=1/8=0.125,（,4,）,Romberg,公式（,P218,）,K T,1,T2 T3 T4,0 0.9207355,1 0.9397933 0.9461459,2 0.9445135 0.9460869 0.9400830,3 0.9456906 0.9460833 0.9460831,0.9460831,比较,此例题的精确值为,0.9460831.,由例题的各种算法可知：,对,Newton-cotes,公式，当,n=1,时只有1位有效数字，当,n=2,时有3位有效数字，当,n=5,时有7位有效数字。,对复化梯形公式有2位有效数字，对复化抛物线公式有6位有效数字。,用复合梯形公式，对积分区间0，1二分了11次用2049个,函数值，才可得到,7,位准确数字。,用,Romberg,公式对区间二分3次，用了9个,函数值，得到同样的结果。,外推法在数值微分中的应用,总结,1,：,梯形求积公式和抛物线求积公式是低精度的方法，但对于光滑性较差的函数有时比用高精度方法能得到更好的效果。复化梯形公式和抛物线求积公式，精度较高，计算较简，使用非常广泛。,2,：,Romberg,求积方法，算法简单，当节点加密提高积分近似程度时，前面的计算结果可以为后面的计算使用，因此，对减少计算量很有好处。并有比较简单的误差估计方法。,3:,外推法不仅用于计算积分的近似值，而且可以作为一般方法用于类似问题的解决，比如用来进行微分的数值计算等。,作业,9,：,牛顿,(1642 1727),伟大的英国数学家,物理学家,天文,学家和自然科学家,.,他在,数学上的卓越,贡献是创立了微积分,.,1665,年他提出正,流数,(,微分,),术,次年又,提出反流数,(,积分,),术,并于1671,年,完成,流数术与无穷级数,一书,(1736,年出版,).,他,还著,有,自然哲学的数学原理,和,广义算术,等,.,莱布尼兹,(1646 1716),德国数学家,哲学家,.,他和,牛顿同为,微积分的创始人,他,在,学艺,杂志,上,发表的几篇有关微积分学的论文中,有的早于牛顿,所用,微积分符号也远远优于牛顿,.,他还,设计了作乘法的计算机,系统地阐述二进制计,数法,并把它与,中国的八卦联系起来,.,