对数函数(7课时)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2.1,对数与对数运算,第一课时 对 数,问题提出,1.,截止到,1999,年底，我国人口约,13,亿,.,如果今后能将人口年平均增长率控制在,1%,，那么经过,20,年后，我国人口数最多为多少（精确到亿）？到哪一年我国的人口数将达到,18,亿？,13,(1,1,),x,18,，求,x,=?,3.,上面的实际问题归结为一个什么数学问题？,2.,假设,2006,年我国国民生产总值为,a,亿元，如果每年的平均增长率为,8%,，那么经过多少年我国的国民生产总值是,2006,年的,2,倍？,(1,8,),x,2,，求,x,=?,已知底数和幂的值，求指数,.,对数,知识探究（一）：,对数的概念,思考,1:,若,2,4,M,，则,M,？,若,2,2,N,，则,N,？,思考,2:,若,2,x,16,，则,x,？,若,2,x,则,x,？,若,4,x,8,，则,x,？,若,2,x,3,，则,x,？,思考,3:,满足,2,x,3,的,x,的值，我们用,log,2,3,表示，即,x,log,2,3,，并叫做,“,以,2,为底,3,的对数,”,.,那么满足,2,x,16,，,2,x,，,4,x,8,的,x,的值可分别怎样表示？,思考,4:,一般地，如果,a,x,N,（,a0,，且,a1,），那么数,x,叫做什么？怎样表示？,x,log,a,N,思考,6:,满足,，,（其中,e=2.7182818459045,）的,x,的值可分别怎样表示？这样的对数有什么特殊名称？,思考,5:,前面问题中，,中的,x,的值可分别怎样表示？,思考,1:,当,a,0,，且,a1,时，若,a,x,N,，则,x,log,a,N,，反之成立吗？,思考,2:,在指数式,a,x,N,和对数式,x,log,a,N,中，,a,，,x,，,N,各自的地位有什么不同？,知识探究（二）：,对数与指数的关系,a,N,x,指数式,a,x,N,指数的底数,幂,幂指数,对数式,x,log,a,N,对数的底数,真数,对数,思考,3:,当,a,0,，且,a1,时，,log,a,（,-2,），,log,a,0,存在吗？为什么？由此能得到什么结论？,思考,4:,根据对数定义，,log,a,l,和,log,a,a,（,a0,，,a1,）的值分别是多少？,思考,5:,若,a,x,N,，则,x,log,a,N,，二者组合可得什么等式？,理论迁移,例,1.,将下列指数式化为对数式，对数式,化为指数式：,(,1)5,4,625,;(2)2,6,;,(3),(),m,5.73,;(4),;,(5)lg0.01=,;(6)ln10,2.303.,例,2.,求下列各式中的值：,(,1)log,64,x,;,(,2)log,x,8,6,;,(3)lg100=x;,(4),lne,2,.,作业：,P,练习,:,1,.,P,习题,2.,A,组：,1,.,第二课时 对数的运算,2.2.1,对数与对数运算,问题提出,1.,对数源于指数，对数与指数是怎样互化的？,2.,指数与对数都是一种运算，而且它们互为逆运算，指数运算有一系列性质，那么对数运算有那些性质呢？,对数的运算,知识探究（一）：,积与商的对数,思考,2:,将,log,2,32,log,2,4,十,log,2,8,推广到一般情形有什么结论？,思考,1:,求下列三个对数的值：,log,2,32,，,log,2,4,，,log,2,8,你能发现这三个对数之间有哪些内在联系？,思考,3:,如果,a,0,，且,a1,，,M,0,，,N,0,，你能证明等式,log,a,（,M,N,）,log,a,M,十,log,a,N,成立吗？,思考,4:,将,log,2,32,log,2,4=log,2,8,推广到一般情形有什么结论？怎样证明？,思考,5:,若,a,0,，且,a1,，,M,1,，,M,2,，,，,M,n,均大于,0,，则,log,a,(M,1,M,2,M,3,M,n,）？,知识探究（二）,:,幂的对数,思考,1:,log,2,3,与,log,2,81,有什么关系？,思考,2:,将,log,2,81=4log,2,3,推广到一般情形有什么结论？,思考,3:,如果,a,0,，且,a1,，,M,0,，你有什么方法证明等式,log,a,M,n,nlog,a,M,成立,思考,4:,log,2,x,2,=2log,2,x,对任意实数,x,恒成立吗？,思考,6,:,上述关于对数运算的三个基本性质如何用文字语言描述？,思考,5:,如果,a,0,，且,a1,，,M,0,，则,等于什么？,两数积的对数，等于各数的对数的和；,两数商的对数，等于被除数的对数减去,除数的对数；,幂的对数等于幂指数乘以底数的对数,理论迁移,例,1,用,log,a,x,，,log,a,y,，,log,a,z,表示下列 各式：,;(,2),.,例,2,求下列各式的值：,(1)log,2,（,4,7,2,5,）；,(2),lg,；,(3)log,3,18-log,3,2,；,(4).,例,3,计算：,小结作业,:,性质,的等号左端是乘积的对数，右端是对数的和，从左往右看是,个降级运算,.,性质,的等号左端是商的对数，右端是对数的差，从左往右是一个降级运算，从右往左是一个升级运算,.,性质,从左往右仍然是降级运算,利用对数的性质,可以使两正数的积、商的对数转化为两正数的各自的对数的和、差运算，大大的方便了对数式的化简和求值,.,作业：,P,68,练习：,1,2,，,3.,P,74,习题,2.2A,组：,3,4,5.,2.2.1,对数与对数运算,第三课时 换底公式及对数运算的应用,问题提出,.,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,1,）,;,（,2,）,;,（,3,）,.,1.,对数运算有哪三条基本性质？,2.,对数运算有哪三个常用结论？,3.,同底数的两个对数可以进行加、减运算，可以进行乘、除运算吗？,4.,由 得 ，但这只,是一种表示，如何求得,x,的值？,换底公式及对数,运算的应用,知识探究（一）：,对数的换底公式,思考,2:,你能用,lg2,和,lg3,表示,log,2,3,吗？,思考,1:,假设 ，则,，从而有,.,进一步可得到什么结论？,思考,4:,我们把,（,a,0,，且,a1,；,c,0,，且,c1,；,b,0,）叫做,对数换底公式,，该公式有什么特征？,思考,3:,一般地，如果,a,0,，且,a,1,；,c,0,，且,c1,；,b,0,，那么 与哪个对数相等？如何证明这个结论？,思考,6:,换底公式在对数运算中有什么意 义和作用？,思考,5:,通过查表可得任何一个正数的常用,对数，利用换底公式如何求 的值？,知识探究（二）：,换底公式的变式,思考,1:,与 有什么关系？,思考,2:,与 有什么关系？,思考,3:,可变形为什么？,理论迁移,例,1,计算：,(,1),;,(2),（,log,2,125,log,4,25,log,8,5),（,log,5,2,log,25,4,log,125,8,）,作业：,P68,练习：,4.,P74,习题,2.2A,组：,6,，,11,，,12.,2.2.1,对数与对数运算,第四课时 对数运算习题课,知识回顾,.,1.,指数与对数的换算,:,2.,对数运算的三个常用结论,:,3.,对数运算的三条基本性质,:,4.,对数换底公式,:,理论迁移,例,1,求下列各式的值,:,2,-2,1,例,2,已知 ，求 的值,.,例,3,设 ，已知,求 的值,.,例,4,20,世纪,30,年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越,.,这就是我们常说的里氏震级,M,，其计算公式为,M,lgA,lgA,0,.,其中,A,是被测地震的最大振幅，,A,0,是,“,标准地震,”,的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）,.,（,1,）假设在一次地震中，一个距离震中,100,千米的测震仪记录的地震最大振幅是,20,，此时标准地震的振幅是,0.001,，计算这次地震的震级（精确到,0.1,）；,4.3,20,世纪,30,年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越,.,这就是我们常说的里氏震级,M,，其计算公式为,M,lgA,lgA,0,.,其中,A,是被测地震的最大振幅，,A,0,是,“,标准地震,”,的振幅（使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差）,.,（,2,）,5,级地震给人的震感已比较明显，计算,7.6,级地震的最大振幅是,5,级地震的最大振幅的多少倍（精确到,1,）,.,398,例,5,生物机体内碳,14,的,“,半衰期,”,为,5730,年，湖南长沙马王堆汉墓女尸出土时碳,14,的残余量约占原始含量的,76.7,，试推算马王堆古墓的年代,.,2193,思考题,:,设函数,已知 且对一切,恒成立，求 的最小值,.,2.2.2,对数函数及其性质,第一课时 对数函数的概念与图象,问题提出,1.,用清水漂洗含,1,个单位质量污垢的衣服，若每次能洗去污垢的四分之三，试写出漂洗次数,y,与残留污垢,x,的关系式,.,2.,（,x0,）是函数吗？若,是，这是什么类型的函数？,对数函数的概念与图象,知识探究（一）：,对数函数的概念,思考,1:,在上面的问题中，若要使残留的污垢为原来的 ，则要漂洗几次？,思考,2:,在关系式 中，取,对应的,y,的值存在吗？怎样计算？,思考,3:,函数 称为,对数函数,，,一般地，什么叫对数函数？,思考,4:,为什么在对数函数中要求,a,0,，且,al,？,思考,5:,对数函数的定义域、值域分别是什么？,思考,6:,函数 与 相同吗？为什么？,思考,1:,研究对数函数的基本特性应先研究其图象,.,你有什么方法作对数函数的图象？,知识探究（二）：,对数函数的图象,思考,2:,设点,P(m,，,n),为对数函数 图象上任意一点，则 ，从而有,.,由此可知点,Q,（,n,，,m,）在哪个函数的图象上？,思考,3:,点,P(m,，,n),与点,Q(n,，,m),有怎样的位置关系？由此说明对数函数 的图象与指数函数 的图象有怎样的位置关系？,P,Q,x,y,o,思考,4:,一般地，对数函数的图象可分为几类？其大致形状如何？,y,x,0,1,1,x,y,0,1,1,思考,5:,函数 与 的图象分别如何？,a,1,0,a,0,a1);,（,4,）,log,7,5,，,log,6,7.,理论迁移,例,2,求下列函数的定义域、值域：,(1)y,；,(2)y,log,2,(x,2,2x,5).,例,3,溶液酸碱度的测量,:,溶液酸碱度是通过,pH,刻画的,.pH,的计算公式为,pH,lgH,+,，其中,H,+,表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔升,.,（,1,）根据对数函数性质及上述,pH,的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系；,（,2,）已知纯净水中氢离子的浓度为,H,+,10,7,摩尔升，计算纯净水的,pH.,作业：,P,73,练习：,3,P,74,习题,2.2B,组：,1,，,2,，,3.,第三课时,指、对数函数与反函数,2.2.2,对数函数及其性质,问题提出,设,a,0,，且,a1,为常数，,.,若以,t,为自变量可得指数函数,y,a,x,，若以,s,为自变量可得对数函数,y,log,a,x,.,这两个函数之间的关系如何进一步进行数学解释？,指、对数函数与反函数,知识探究（一）：,反函数的概念,思考,1:,设某物体以,3m/s,的速度作匀速直线运动，分别以位移,s,和时间,t,为自变量，可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？,思考,2:,设 ，,分别,x,、,y,为自变量可以得到哪两个函数？这两个函数相同吗？,思考,3:,我们把具有上述特征的两个函数互称为,反函数,