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函数及其表示方法,数学,C1,版课件,CONTENTS,函数基本概念,01,函数表示方法,02,函数与映射,03,目录,函数解析式求法,04,知识结构,概念,三要素,图象,性质,指数函数,应用,大小比较,方程解的个数,不等式的解,实际应用,对数函数,函数,3,下面我们用集合与对应的观点来研究函数，先阅读教材,P15,16,，再回答问题,设,A,、,B,是,，如果按照某种确定的对应关系,f,，使对于集合,A,中的,，在集合,B,中都有,确定的数,f,(,x,),和它对应，那么就称,f,：,A,B,为集合,A,到集合,B,的一个函数记作,，其中,x,叫做,，,叫做函数的定义域，与,x,的值相对应的,y,值叫做,，函数值的集合,叫做函数的值域,非空数集,任意一个数,x,唯一,y,f,(,x,),自变量,A,函数值,y,|,y,f,(,x,),，,x,A,3,下列各图中，不可能表示函数,y,f,(,x,),的图象的是,(,),答案,B,解析,B,图中，作垂直于,x,轴的直线，与图形可以有两个交点，故存在,x,，有两个,y,值与之对应，故,B,图,y,不是,x,的函数,4,函数的定义域是使函数有意义的自变量,x,的取值集合，值域是函数值的集合,(1),一次函数,y,kx,b,(,k,0),的定义域为,；,值域为,.,R,R,6,阅读教材,P17,填表,.,区间,不等式,数轴表示,a,，,b,a,x,b,(,a,，,b,),.,a,，,b,),a,x,b,a,x,b,区间,不等式,数轴表示,.,a,x,b,(,，,b,),.,.,x,a,.,x,数轴上的所有点,(,a,，,b,x,b,(,a,，,),(,，,),(,一,),对函数,y,f,(,x,),涵义的理解，应明确以下几点：,“,A,，,B,是非空数集,”,，若求得自变量取值范围为,，则此函数不存在,定义域、对应法则和值域,是函数的三要素，实际上，值域是由定义域和对应法则决定的，所以看两个函数是否相等，只要看这两个函数的定义域与对应法则是否相同,(,二,),复合函数定义域的求法,已知,f(x),定义域为,A,，求,f(x),定义域，应使,(x)A,；已知,f(x),定义域为,A,，求,f(x),定义域，即求当,xA,时，,(x),的值域,分析,(1),据函数的定义：,“,对于集合,A,中的任意一个元素，在集合,B,中有唯一确定的元素与之对应,”,进行判断,(2),给定函数的解析式，也就给定了由定义域到值域的对应法则，只要将自变量允许值代入，就可以求得对应的函数值,分析,确定两个函数是否相等，要紧紧抓住函数的定义域和对应法则根据函数的定义可知，定义域中的每一个,x,都有唯一的,y,与它对应，所以值域实际上是由定义域和对应法则确定，因此，两个函数,只要定义域和对应法则分别相同，它们就是相等函数,解析,中,f,(,x,),x,1,，,x,R,，而,y,x,x,0,中,x,0,，它们的定义域不相同，所以不是相等函数,中两个函数的定义域都是,R,，并且,f,(,x,),|2,x,1|,，所以它们是相等函数,中,f,(,n,),2,n,1(,n,Z,),与,g,(,n,),2,n,1(,n,Z,),的定义域都是,Z,，值域也相同,(,都是奇数集,),，但对应法则不同，所以不是相等函数,中,f,(,x,),3,x,2,与,g,(,t,),3,t,2,的定义域都是,R,，尽管它们表示自变量的字母不同，但是，对应法则都是,“,乘,3,加,2,”,，是相同的对应法则，所以是相等函数,故填,.,例,1,(1),如图所示，在边长为,4,的正方形,ABCD,边上有一动点,M,，沿折线,BCD,由点,B,向点,D,移动，设点,M,移动的路程为,x,，,ABM,的周长为,y,，求函数,y,f,(,x,),的表达式为,(2),某城市在某一年里各月份毛线的零售量,(,单位：百公斤,),如表所示,.,则零售量是否为月份的函数？为什么？,(3),下列图形能否确定,y,是,x,的函数？,月份,t,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,零售量,y,81,84,45,45,9,5,6,15,94,161,144,123,解析,(1),据三角形的周长公式得,(2),是函数，因为对于集合,1,2,，,，,12,中任一个值，由表可知,y,都有惟一确定的值与它对应，所以由它可确定为,y,是,t,的函数,(3),不能确定为,y,是,x,的函数因为当,x,0,时，由上图可知，,y,有两个值,1,与它对应,能确定,y,是,x,的函数因为当,x,在,x,|,x,1,或,x,1,中任取一个值时，由上图可确定惟一的,y,值与它对应,能确定,y,是,x,的函数因为当,x,在,3,，,2,，,1,，,0,1,2,3,4,中任取一个值时，由图可确定,y,有惟一的值与它对应,总结评述：,(1),对于有些函数，它的对应关系是客观存在的，但却不能用解析法来表示如本例,(2),中的函数，表中所给出的就是一个对应关系，但却无法用解析法来表示,(2),判断一个在直角坐标系下的图形能否确定,y,是,x,的函数的方法是：任作垂直于,x,轴的直线，当直线与图形至多只有一个交点时，则该图形能确定,y,是,x,的函数；否则就不能确定,y,是,x,的函数,.,分析,依据画函数图象的步骤求解先找出函数的定义域，然后列表，描点、连线,(,注意区分直线、光滑曲线,),解析,列表略，图形如下,总结评述：,1.,函数的图象可以是一些线段，一段曲线，甚至是一些点表示函数的式子也可以不止一个，这类用几个式子表示的函数叫做分段函数分段函数是一个函数，而不是几个函数，必须分段画出函数图象，尤其需注意特殊点,二次函数,f,(,x,),ax,2,bx,c,的图象如图，则,a,_,，,b,_,，,c,_.,答案,1,2,0,求解析式这类问题抽象性较强，解题关键在于抓住函数对应法则,f,的本质由函数,f,(,x,),的含义可知，在函数的定义域和对应法则,f,不变的条件下，自变量换字母，甚至变换为其它字母的代数式，对函数本身并无影响，利用这一特征便可解决此类相关问题，常用的方法有,(1),代入法：如已知,f,(,x,),x,2,1,，求,f,(,x,x,2,),；,(2),待定系数法：已知,f,(,x,),的函数类型，要求,f,(,x,),的解析式时，可根据函数类型设其解析式，从而确定其系数即可：,例,4,已知,f,(,x,),是一次函数，且,f,f,(,x,),4,x,3,，求,f,(,x,),解析,可设,f,(,x,),ax,b,，,(,a,0),则,f,f,(,x,),f,(,ax,b,),a,(,ax,b,),b,a,2,x,ab,b,4,x,3,，,故所求的函数为,f,(,x,),2,x,1,或,f,(,x,),2,x,3.,已知二次函数,f,(,x,),的图象过点,A,(0,，,5),，,B,(5,0),，其对称轴为,x,2,，求其解析式,解析,因为抛物线的对称轴为,x,2,，,所以设抛物线的解析式为,y,a,(,x,2),2,k,(,a,0),把,(0,，,5),、,(5,0),分别代入上式得,所以解析式为,y,(,x,2),2,9.,点评,1.,用待定系数法求解析式的步骤为：,设出所求函数的解析式；,根据已知条件，列出方程组；,解方程组，求出待定系数；,得出结论,2,求二次函数解析式时，,(1),若已知对称轴或顶点坐标；常设配方式,f,(,x,),a,(,x,m,),2,n,(,a,0),；,(2),若已知,f,(,x,),过三点，常设一般式,f,(,x,),ax,2,bx,c,(,a,0),；,(3),若已知,f,(,x,),与,x,轴两交点横坐标为,x,1,、,x,2,，常设分解式，,f,(,x,),a,(,x,x,1,)(,x,x,2,)(,a,0),分析,我们前面指出，对应法则,“,f,”,实际上是对,“,x,”,计算的一种,“,程序,”,或,“,方法,”,因此要把,“,2,x,1,”,及,“,1,”,看成一个整体来求解,总结评述：,可以看出换元法的基本思路是将函数符号内的式子用一个字母代换，解出自变量,x,，将,x,的表达式又代入原方程，从而得出,f,(,x,),的表达式；拼凑法主要是将函数方程中的解析式，凑成函数符号下的式子关系，然后将此式子用自变量,x,代换解此类题要特别注意自变量的取值范围,1,当自变量,x,在不同的取值区间,(,范围,),内取值时，函数的对应法则也不同的函数为,分段函数是一个函数，不是几个函数，只是在定义域的不同范围上取值时对应法则不同，分段函数是普遍存在又比较重要的一种函数,2,(1),设,A,、,B,是两个集合，如果按照某种对应关系,f,，对于集合,A,中的,一个元素，在集合,B,中有,确定的元素和它对应，那么这样的对应,(,包括,A,、,B,以及对应关系,f,),叫做集合,A,到,B,的映射，记作,.,分段函数,唯一,任何,f,：,A,B,分段函数,(2),给定一个集合,A,到集合,B,的映射时，,a,A,，,b,B,如果,b,和,a,对应，那么我们把元素,b,叫做,，元素,a,叫做,b,的,象,原象,分析,图象法是表示函数的方法之一，画函数的图象时，以定义域、对应法则为依据，采用列表、描点法作图,总结评述：,函数的图象可以是一些线段，一段曲线，甚至是一些点表示函数的式子也可以不止一个，这类用几个式子表示的函数叫做分段函数分段函数是一个函数，而不是几个函数，必须分段画出函数图象，尤其需注意特殊点,答案,B,分析,这是已知分段函数的函数值求相应自变量的值的问题一般从两个角度思考：一是先求各段上函数值的取值范围，再结合所给函数值的大小，确定在哪段上求解；二是逐段令其值为已知函数值解出,x,的值，看是否满足其取值范围的要求做出取舍,答案,A,如图，在边长为,4,的正方形,ABCD,的边上有一点,P,，沿折线,BCDA,由点,B,(,起点,),向点,A,(,终点,),运动，设点,P,运动的路程为,x,，,APB,的面积为,y,.,(1),求,y,关于,x,的函数关系式,y,f,(,x,),；,(2),画出,y,f,(,x,),的图象；,(3),若,APB,的面积不小于,2,，,求,x,的取值范围,分段函数的应用,(2),y,f,(,x,),的图象如图所示,(3),即,f,(,x,)2,，当,0,x,4,时，,2,x,2,，,x,1,，,当,8,x,12,时，,2(12,x,),2,，,x,11,，,x,的取值范围是,1,x,11.,点评,(3),可以作直线,y,2,与函数,y,f,(,x,),的图象交于点,A,(1,2),，,B,(11,2),，要使,y,2,，应有,1,x,11.,祝学业有成,THANKS,
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