线性代数-共五章-全优秀PPT

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,线性代数,同济六版,2007,。,09,。,05,一元一次方程,ax,=,b,一元二次方程,二元、三元线性方程组,行列式,矩阵及其运算,矩阵的初等变换与线性方程组,向量组的线性相关性,矩阵的特征值和特征向量,一元一次方程,ax,=,b,当,a,0,时，,二元（三元）线性方程组,例 解二元线性方程组,得,于是,类似地，可得,于是,第一章 行列式,1 二阶与三阶行列式,线性方程组,消去,x,2,的两边后,两式相加得,消元法,记,称它为,二阶行列式,，,于是，线性方组（,1,）的解可以写为,定义为,类似地，可得,类似的，我们还可以定义三阶行列式为,n,阶排列共有,n,!,个,.,排列的逆序数,2 全排列及其逆序数,把,1,2,n,排成一列，称为一个,n,阶全排列.,奇排列,逆序数为奇数的排列,.,在一个排列中假如一对数的前后位置与大小次序相反就说有,例 1 排列,1,2,n,称为自然排列，,所以是偶排列.,一个,逆序.,偶排列,一个排列中全部逆序的总数.,逆序数为偶数的排列,.,它的逆序数为,0,，,三,阶排列,共有,3,21=3!,个,.,例 2 排列,3 2 5 1,4,的逆序数为,t,(,),例 3 排列,n,(,n,1,),3 2 1,的逆序数为,t,(,n,(,n,1,),3 2 1,),=0+1+2+,(,n,1,),=,排列,3 2 5 1 4,为奇排列,.,5,三阶行列式定义为,3,n,阶行列式的定义,三阶行列式是,3,!,=,6,项,的代数和.,123,231,312,132,213,321,t(123)=0,t(231)=2,t(312)=2,t(132)=1,t(213)=1,t(321)=3,三阶行列式可以写成,定义,由,n,2,个数组成的数表，,称为,n,阶行列式,项的代数和，,即,规定为全部形如,记成,例,1 下三角行列式,例,2,下三角行列式,例,3,三阶行列式,例,5,n,阶行列式,例,4,四阶行列式,经对换,a,与,b,得排列,所以，经一次相邻对换，排列变更奇偶性.,4 对换,对换,定理 1 一个排列中的随意两个元素对换，排列变更奇偶性.,证 先证相邻对换的情形,.,那么,设排列,经对换,a,与,b,排列，得排列,相邻对换,再证一般对换的情形,.,设排列,事实上，排列（1）经过,2,m+1,次相邻对换变为排列（2）.,定理 2,n,阶行列式也可以定义为,依据相邻对换的情形及 2m+1 是奇数，,性相反,.,所以这两个排列的奇偶,53142,解,t,(,53,1,4,2,)=,0+1+,2,+,1,+3,=,7,t,(,53,4,1,2,)=,0+1+,1,+,3,+3,=,8,53412,求这两个排列的逆序数.,经对换,1,与,4,得排列,例,1,排列,1.,选择,i,与,k,使,（,1,）,2 5 i 1 k,成偶排列,;,（,2,）,2 5 i 1 k,成奇排列,.,若是，指出应冠以的符号,3.,计算,n,阶行列式,练习,行列式中的项,.,1.,（,1,）,i,=,4,k,=,3,时，即排列,2 5 4 1 3,为偶排列；,（,2,）,i,=,3,k,=,4,时，即排列,2 5 3 1 4,为奇排列,.,性质,1,性质 2,5 行列式的性质,推论,两行（列）相同的行列式值为零.,数,k,推论,行列式中某一行（列）的公因子可以提到行列式符号,性质,4,性质 3,式等于零.,等于用数,k,乘此行列式,.,行列式与它的转置行列式相等.,互换行列式的两行（列），行列式变号.,行列式的某一行（列）中的全部元素都乘以同一个,行列式中假如有两行（列）元素成比例，则此行列,外面.,若行列式 的某一列（行）的元素都是两个元素和，,例如,则此行列式等于两个行列式之和.,性质 5,把行列式的某行（列）的各元素同一倍数后加到另,一行（列）的对应元素上去，,行列式的值不变.,性质 6,设,行列式,D,T,称为行列式,D,的转置行列式.,记,那么,=,设行列式,D=det,(,a,ij,),互换第,i,j,(,i,j,),两行,得行列式,性质 2 的证明,其中，当,k i,j,时,b,kp,=a,kp,;,当,k=i,j,时，,b,ip,=a,jp,b,jp,=a,ip,其中,1,i j n,是自然排列,所以,于是,=,D,例,3,r,2,-r,1,例,5,=,=,0,例,6,例,7,解,r,2,-r,1,r,3,-3r,1,r,4,-r,1,例,8,计算行列式,r,2,2,r,3,+r,2,r,4,-2r,2,r,4,(-,3,),r,3,r,4,r,4,+3r,3,例,9,计算行列式,解 从第 4 行起先，后行减前行得，,例,10,计算行列式,解 各行都加到第一行，,各行都减第一行的,x,倍,第一行提取公因子,(,a+3x,),6 行列式按行（列）绽开,在,n,阶行列式,det,(,a,ij,),中，把元素,a,ij,所在的第,i,行和第,j,列,A,ij,=,(,1,),i+j,M,ij,记成,M,ij,称为元素,a,ij,的,余子式,.,称它为元素,a,ij,的,代数余子式,.,划去,剩下的,(,n,1,),2,个元素按原来的排法构成的,n,1,阶行列式,记,例,1,三阶行列式,中元素,a,23,的余子式为,元素,a,23,的代数余子式为,例,2,四阶行列式,中元素,x,的代数余子式为,=,5,行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元,或,行列式等于它的随意一行（列）的各元素与其对应,或,的代数余子式乘积之和，即,素的代数余子式乘积之和等于零,.,即,定理,3,推论,引理 在行列式 D 中，假如它的第 i 行中除 aij 外其余元素,都为,0,即,D=a,ij,A,ij,那么,证明 先证,a,ij,位于第,1,行，第,1,列的情形，即,由行列式的定义，得,再证一般情形，设,用互换相邻两行和相邻两列，把,a,ij,调到左上角，得行列式,利用前面的结果，得,于是,所以引理成立,.,定理 3 行列式等于它的随意一行（列）的各元素与其对应,证 因为,或,的代数余子式乘积之和，即,椐引理，就得到,类似地可得,例,3,计算四阶行列式,解 按第 1 列绽开，有,例,4,计算四阶行列式,解 按第 1 行绽开，有,对等式右端的两个 3 阶行列式都按第 3 行绽开，得,解,c,3,-c,1,c,4,-2c,1,例,5,计算四阶行列式,第,1,行提取,2,，第,2,行提取,1,按第 2 行绽开得,按第 1 行绽开,r,2,+r,1,=,24,c,2,-c,1,，,c,3,-c,1,例,6,证明范德蒙（,Vandermonde,）行列式,证 用数学归纳法,.,所以当,n=2,时（*）式成立,.,假设对于,n 1,阶范德蒙,r,i,x,1,r,i-1,i,=,n,n,1,2,有,因为,对,n,阶范德蒙行列式做运算,行列式等式成立,.,按第 1 列绽开后，各列提取公因子(xi-x1)得,椐归纳法假设，可得,归纳法完成,.,推论 行列式某一行（列）的元素与另一行（列）的对应元,或,元素的代数余子式乘积之和等于零,.,即,例,7,计算 行列式,解,先以,3,阶行列式为例，例如为了证得,因为,所以,又,设行列式,D=det,(,a,ij,),，,因为行列式,D,1,中第,i,行与第,j,行元素对应相同，,把行列式 D1 按第 j 行绽开，有,类似地，也可以证明另一个式子,.,所以,推论的证明,取行列式,7,Cramer,法则,设线性方程组,定理,4,（,Cramer,法则,）,若线性方程组（,1,）的系数行列式不,即,等于零，,其中,则方程组有唯一解,证 先证（,2,）是（,1,）的解，即要证明,为此看,n+1,阶行列式,第1行绽开，留意到，其第一行中 aij 的代数余子式为,首先，因为第,1,行与第,i+1,行相同,所以它的值为零,.,再把它按,故有,因而,即,是线性方程组（,1,）解,.,3,个恒等式,A,12,A,22,A,n2,分别乘以上的,3,个等式得,相加,得,设,x,1,=c,1,x,2,=c,2,x,3,=c,3,是线性方程组（,1,）的解,于是有,类似的可得,于是,也就是,由于,例,1,用,Cramer,法则解线性方程组,解 因为,所以,定理 5 假如齐次线性方程组,的系数行列式,D0,，那么它只有零解,.,下述齐次方程组有非零解,？,解 依据定理 5，若此齐次线性方程组有非零解，则其系,所述方程组确有非零解,.,行列式必为,0,.,而,其次章 矩阵及其运算,1,矩阵,行矩阵（行向量,),，,列矩阵（列向量,),，,n,阶矩阵,(,n,阶方阵,).,定义,1,由,m,n,个数,a,ij,(,i,=,1,2,m,;,j,=,1,2,n,),实矩阵,称为,m,n,矩阵,.,排成的,m,行,n,列数表,记成,例,1,（价格矩阵）四种商品在三家商店中，单位量的售价,这里的行表示商店，列表示商品,ai j 表示每生产一万元第 j 类产品须要消耗的第,a23=0.20 就表示每生产一万元 第 3 类产品须要消耗掉0.20万元,例,2,（投入,产出矩阵）设某地区有,3,个经济部门，假定每个,（以某种货币单位计）可以用以下矩阵表示：,部门只生产一类产品，每个部门生产的产品与消耗的商品都用,货币来表示,i,类产品的价值,的第,2,类产品的价值,例（通路矩阵）甲省两个城市,s,1,s,2,与乙省三个城市,t,1,t,2,s,1,s,2,t,1,t,2,t,3,4,1,3,2,2,每条线上的数字表示连接该两,s,1,s,2,t,1,t,2,t,3,同型矩阵,.,矩阵,A,与,B,相等,记成,A,=,B,.,零矩阵,记成,0,.,城市的不同通路的总数以由此得到,的通路信息，可用矩阵表示为：,t3 的交通连接状况如下图所示，,2,矩阵的运算,一 矩阵的加法,定义,2,设,A,=(,a,ij,),B,=(,b,ij,),都是,m,n,矩阵,矩阵,A,与,B,的和,例,1,记成,A,+,B,规定为,矩阵的加法运算满足规律,2.(,A+B,)+,C=A,+(,B+C,)(,结合律,),3.,A+0=A,4.,设,A,=(,a,ij,),记,A,=(,a,ij,),规定,A,B=A,+(,B,),二 数与矩阵的乘法,定义,3,规定为,称,A,为,A,的负矩阵,1.,A+B=B+A,(,交换律,),易知,A,+(,A,)=,0,例,2,若,那么,3A,=,A3,数乘矩阵的运算满足规律：,A,B,为矩阵,.,三 矩阵与矩阵的乘法,定义,4,设,A,=(,a,ij,),是一个,m,s,矩阵,B,=(,b,ij,),是一个,s,n,A,与,B,的乘积记成,AB,，即,C=AB.,规定,A,与,B,的积为一个,m,n,矩阵,C,=(,c,ij,),，,其中,A B =AB,m,s s,n,m,n,矩阵,例,3,例,4,例,5,例,6,一般来说，,AB,BA,若矩阵 A、B 满足 AB=0,n,阶矩阵,称为,单位矩阵,.,假如 A 为 mn 矩阵，那么,即矩阵的乘法不满足交换律.,未必有,A,=,0,或,B,=,0,的结论,.,n,阶矩阵,称为对角矩阵,.,两个对角矩阵的和是对角矩阵，,两个对角矩阵的积也是对角矩阵,.,矩阵的乘法满足下述运算规律,解,1,解,2,矩阵的幂,A,是一个,n,阶矩阵,k,是一个正整数,规定,矩阵的幂满足规律,其中,k,l,为正整数,.,对于两个,n,阶矩阵,A,与,B,，一般说,例,8,解一,解二,例,10,已知线性方程组,假如记,那么上述线性方程组可记成,于是,四 矩阵的转置,定义,5,将矩阵,A,的各行变成同序数的列得到的矩阵称为,A,矩阵的转置满足下述运算规律,记为,A,T,.,的转置矩阵,解一 因为,所以,解二,矩阵,A,称为对称矩阵，,简洁知道,A=(aij)nn是对称矩阵的充要条件是,例 13假如 A 是一个 n 阶矩阵