无穷小与无穷大和极限的关系

二,无穷小与无穷大和极限的关系,三 无穷小的运算性质,第四节 无穷小与无穷大,一 无穷小与无穷大的概念,一、无穷小与无穷大的概念,极限为零的变量称为,无穷小,.,1.无穷小,例如,注意,1,.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;,2.零是可以作为无穷小的唯一的数.,2.无穷大,定义,2,如果对于任意给定的正数,M,(,不论它多么,小,),总存在正数,d,(,或正数,X,),使得对于适合不等,式,d,-,x,X,),的一切,x,所对应的函,数值,),(,x,f,都满足不等式,M,x,f,),(,则称函数,),(,x,f,当,0,x,x,(,或,x,),时为无穷小,记作,).,),(,(,),(,=,=,x,f,x,f,或,绝对值无限增大的变量称为,无穷大,.,特殊情形：正无穷大，负无穷大,注意,1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;,3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷大.,),3,2,1,0,(,2,2,1,k,L,=,+,=,k,k,x,p,p,取,(1),2,2,),(,k,p,p,+,=,k,x,y,.,),(,k,M,x,y,充分大时,当,k,),3,2,1,0,(,2,1,k,L,=,=,k,k,x,p,取,(2),不是无穷大,无界，,证,1.无穷小与函数极限的关系:,证,必要性,充分性,二、无穷小与无穷大和极限的关系,是,时无穷小.,2. 无穷小与无穷大的关系,即： 无穷大的倒数为无穷小，非零无穷小的倒数是无穷大.,证 (2),注,关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷,小的讨论.,.,0,),(,0,),(,),1,(,=,x,f,x,f,且,设,意义 1.将一般的极限问题转化为特殊的极限问,题(无穷小）；,2.给出了函数 在 附近的近似表达,式,三、 无穷小的运算性质,定理3同一过程中，有限个无穷小的代数和仍是无穷小.,证：,注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小,.,例如,，,定理4 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小.,证,恒有,又设 是当 时的无穷小，,使得当,取,则当,时恒有,时,推论1 在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小.,推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.,推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.,例如，当,时,，,都是无穷小.,