《垂线定理复习》PPT课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,直线和平面垂直的定义,如果一条直线 和一个平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 和平面 互相垂直，记作 ,它们唯一的公共点即交点叫做垂足,直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面,唯一性公理一,m,A,过一点有且只有一条直线和已知平面垂直,唯一性公理二,过一点有且只有一个平面和已知直线垂直,m,A,B,直线与平面垂直的判定定理,如果直线 和平面 内的两条相交直线,m,n,都垂直，那么直线 垂直平面,。,即：,m,n,P,线不在多，重在相交,线面垂直的性质定理,如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行,判定线面垂直的一个命题,如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面,A,C,B,O,定理,从平面外,一,点,向这个平面所引的,垂线段和斜线段中，,（1）射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长,（2）相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长,（3）垂线段比任何一条斜线段都短,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角(即斜射角)，叫做,这条直线和这个平面所成的角,。,一条直线垂直与平面，它们,所成的角是直角,；,一条直线和平面平行，或在平面内，它们,所成的角是0,的角,。,直线和平面所成角的范围是,0,，90,。,平面的斜线和平面所成的角,如图，O,A,是平面,的斜线，,OB,平面,于,B,，,AC,是,内不与A,B,重合的任意直线，O,AB=,，,BAC,=,，,O,AC,=,，,求证：,cos =cos cos,O,A,B,C,线面角,（,斜射角）,，,射非角,斜非角,斜非角,的余弦等于,线面角,的余弦与,射非角,余弦的积,三垂线定理的逆理,：,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么，它也和这条斜线的射影垂直。,三垂线定理,：,在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直。,线射垂直,线斜垂直,定,理,逆,定,理,线射垂直,线斜垂直,定 理,逆定理,P,A,O,a,三垂线定理及其逆定理包含几种垂直关系？,线射垂直,P,A,O,a,线面垂直,线斜垂直,P,A,O,a,直,线,和,平,面,垂直,平面内的直,线,和平面一条斜线的,射,影垂直,平面内的直,线,和平面的一条,斜,线垂直,线射垂直,线斜垂直,P,A,O,a,P,A,O,a,平面内的一条直,线,和平面的一条斜线在平面内的,射,影,垂直,平面内的一条直,线,和平面的一条,斜,线,垂直,？,例3 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，,那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。,已知：,BAC,在平面,内，点,P,，,PE,AB,，,PF,AC,，,PO,，,垂足分别是,E,、,F,、,O,，,PE=PF,求证：,BAO,=,CAO,分析：要证 ,BAO,=,CAO,只须证,OE,=,OF,OE,AB,OF,AC,P,C,B,A,O,F,E,?,?,?,证明：,PO,OE,、,OF,是PE、PF在,内的射影,PE,=,PF,OE,=,OF,由OE是PE的射影且,PE,AB,OE,AB,同理可得,OF,AC,结论成立,例4、道旁有一条河，彼岸有电塔AB，高15m，只有测角器和皮尺作测量工具，能否求出电塔顶与道路的距离？,解：,在道边取一点C，,再在道边取一点D，,使水平角CDB等于45，,测得C、D的距离等于20m,B,A,C,90,D,45,使BC与道边所成水平角等于,90，,B,A,C,90,D,45,BC是AC的射影 且CDBC CDAC,CDB=45，CDBC，CD=20m BC=20m，,在直角三角形ABC中,AC,2,=AB,2,+BC,2,，AC=15,2,+20,2,=25(m),答：电塔顶与道路的距离是25m。,因此斜线AC的长度就是电塔顶与道路的距离。,例5 直接利用三垂线定理证明下列各题：,已知：,PA,正方形,ABCD,所在平面，,O,为对角,线,BD,的中点。求证：,PO,BD,，,PC,BD,(3)已知：,在正方体,AC,1,中，,求证：,A,1,C,B,1,D,1,，,A,1,C,BC,1,(2)已知：,PA,平面,PBC,，,PB=PC,，,M,是,BC,的中点，求证：,BC,AM,A,D,C,B,A,1,D,1,B,1,C,1,(1),(2),B,P,M,C,A,(3),P,O,A,B,C,D,若a是平面的斜线，直线,b,垂直于a在平面内的射影，则 a,b,（）,若a是平面的斜线,b,直线,b,垂直于a在平面内的射影，,则 a,b,（）,若a是平面的斜线，直线,b,且,b,垂直于a在另一平面内的射,影则a,b,（）,若 a是平面的斜线，平面内,的直线,b,垂直于a在平面内的射,影，则 a,b,（）,练习：判断下列命题的真假：,面,ABCD,面,直线,A,1,C,斜线 a,直线,B,1,B,垂线,b,A,D,C,B,A,1,D,1,C,1,B,1,面,ABCD,面,面,B,1,BCC,1,面,直线,A,1,C,斜线 a,直线,AB,垂线,b,面,ABCD,面,直线,A,1,C,斜线 a,直线,B,1,B,垂线,b,思考题,：（,1）在四面体,ABCD,中，已知,AB,CD,，,AC,BD 。,求证：,AD,BC,DOBC，于是ADBC.,证明：作AO平面BCD于点O，,连接BO，CO，DO，则BO，,CO，DO分别为AB，AC，,AD在平面BCD上的射影。,O,A,D,C,B,ABCD，BOCD，,同理COBD，,于是O是BCD的垂心，,思考题,：（,1）在四面体ABCD中，对棱互相垂直,，,则A在底面BCD上的射影是底面BCD的,心。,A,D,C,B,O,（3,）在四面体,ABCD,中，AB=AC=AD,，,则A在底面BCD上的射影是底面BCD的,心。,（4,）在四面体,ABCD,中，顶点A到BC、CD、DB的距离相等,，,则A,在底面BCD上的射影是底面BCD,的,心。,垂,外,内,（,2）在四面体ABCD中，AB、互相垂直，则A在底面BCD上的射影是底面BCD的,心,垂,例 在正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，P为DD,1,的中点，O为底面ABCD的中心，求证B,1,OPA,P,O,导析：正方体中有众多的线面垂直，为我们使用“三垂线定理”提供了极为便利的条件。,谁是基础平面呢？,若以平面,BB,1,D,1,D为基础面,，可有如下的证明方法，如图六因为AOBD，而BB,1,面ABCD，从而有AOBB,1,，得AO平面BB,1,D,1,D，故PO就是AP在平面BB,1,D,1,D上的射影,P,O,例 在正方体ABCDA,1,B,1,C,1,D,1,中，P为DD,1,的中点，O为底面ABCD的中心，求证B,1,OPA,P,O,导析：正方体中有众多的线面垂直，为我们使用“三垂线定理”提供了极为便利的条件。,谁是基础平面呢？,若以平面,A,1,ADD,1,为基础面,，显然B,1,A,1,平面A,1,ADD,1,，只须作出O点在平面A,1,ADD,1,上的 射影即可得到斜线B,1,O在平面A,1,ADD,1,上的射影。,如图，O点在平面A,1,ADD,1,上的射影恰为AD的中点M，只要证明A,1,MAP即可。这在正方形A,1,ADD,1,中是显然的结论。,基础平面,解题小结,：不同的选择，使问题的解决过程有难有易，由此也体现 出灵活性并非能轻而易举地获得，所以要加强训练。,F,有趣的是，在线段A,1,B,1,上任取一点F，结论都能有FOAP。原因何在？,1如图，PAABC所在平面，ABAC13，BC10，PA5，求点P到直线BC的距离,设BC的中点为D，连结PD,ABAC13，BC10，,ADBC,且AD12,又PA平面ABC，PDBC,即 PD的长度就是P到直线BC的距离,而 PD13,2、RtABC在平面内，C90，AC16，,P为外一点，PAPBPC，如果P到BC的距离,为17，求点P到平面的距离,解：作PO平面，,PAPBPC，,OAOBOC,O为RtABC的外心,取BC中点D，连结PD、OD,则OD是ABC中位线,由三垂线定理知PDBC，即PD17，,在RtABC中，OP,