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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,*,第五讲 线性代数中的数值计算问题,【,引 例,】,求下列三阶线性代数方程组的近似解,MATLAB,程序为：,A=2-5 4;1 5-2;-1 2 4；,b=5;6;5；,x=Ab,在,MATLAB,命令窗口，先输入下列命令构造系数矩阵,A,和右端向量,b：,A=2-5 4;1 5-2;-1 2 4,A=2 -5 4,1 5 -2,-1 2 4,b=5;6;5,b=5,6,5,然后只需输入命令,x=Ab,即可求得解,x：,x=Ab,x=2.7674,1.1860,1.3488,一、特殊矩阵的实现,1.,零矩阵,:,所有元素值为零的矩阵称为零矩阵。零矩阵可以用,zeros,函数实现。,zeros,是,MATLAB,内部函数，使用格式如下：,zeros(m)：,产生,m,m,阶零矩阵；,zeros(m,n)：,产生,m,n,阶零矩阵，当,m=n,时等同于,zeros(m)；,zeros(size(A)：,产生与矩阵,A,同样大小的零矩阵。,一、特殊矩阵的实现,常见的特殊矩阵有零矩阵、幺矩阵、单位矩阵、三角形矩阵等，这类特殊矩阵在线性代数中具有通用性；还有一类特殊矩阵在专门学科中有用，如有名的希尔伯特,(,Hilbert),矩阵、范德蒙,(,Vandermonde,),矩阵等。,2.,幺矩阵,:,所有元素值为,1,的矩阵称为幺矩阵。幺矩阵可以用,ones,函数实现。它的调用格式与,zeros,函数一样。,【,例1,】,试用,ones,分别建立,3,2,阶幺矩阵、和与前例矩阵,A,同样大小的幺矩阵。,用,ones(3,2),建立一个,3,2,阶幺阵：,ones(3,2),%,一个,3,2,阶幺阵,ans,=1 1,1 1,1 1,一、特殊矩阵的实现,3.,单位矩阵,:,主对角线的元素值为,1,、其余元素值为,0,的矩阵称为单位矩阵。它可以用,MATLAB,内部函数,eye,建立，使用格式与,zeros,相同。,4.,数量矩阵,:,主对角线的元素值为一常数,d、,其余元素值为,0,的矩阵称为数量矩阵。显然，当,d=1,时，即为单位矩阵，故数量矩阵可以用,eye(m),*,d,或,eye(m,n),*,d,建立。,一、特殊矩阵的实现,5.,对角阵,:,对角线的元素值为常数、其余元素值为,0,的矩阵称为对角阵。我们可以通过,MATLAB,内部函数,diag,，,利用一个向量构成对角阵；或从矩阵中提取某对角线构成一个向量。使用,格式为,diag,(V),和,diag,(V,k),两种。,6.,用一个向量,V,构成一个对角阵,设,V,为具有,m,个元素的向量，,diag,(V),将产生一个,m,m,阶对角阵，其主对角线的元素值即为向量的元素值；,diag,(V,k),将产生一个,n,n(n=m+|k|，k,为一整数,),阶对角阵，其第,k,条对角线的元素值即为向量的元素值。注意：当,k0，,则该对角线位于主对角线的上方第,k,条；当,k0，,该对角线位于主对角线的下方第,|,k|,条；当,k=0，,则等同于,diag,(V)。,用,diag,建立的对角阵必是方阵。,一、特殊矩阵的实现,【,例2,】,已知向量,v，,试建立以向量,v,作为主对角线的对角阵,A；,建立分别以向量,v,作为主对角线两侧的对角线的对角阵,B,和,C。,MATLAB,程序如下：,v=1;2;3;%,建立一个已知的向量,A,A=,diag,(v),A=1 0 0,0 2 0,0 0 3,B=diag(v,1),B=0 1 0 0,0 0 2 0,0 0 0 3,0 0 0 0,C=diag(v,-1),C=0 0 0 0,1 0 0 0,0 2 0 0,0 0 3,%,按各种对角线情况构成相应的对角阵,A、B,和,C,一、特殊矩阵的实现,7.,从矩阵中提取某对角线,我们也可以用,diag,从矩阵中提取某对角线构成一个向量。设,A,为,m,n,阶矩阵，,diag,(A),将从矩阵,A,中提取其主对角线产生一个具有,min(m,n),个元素的向量。,diag,(A,k),的功能是：,当,k0，,则将从矩阵,A,中提取位于主对角线的上方第,k,条对角线构成一个具有,n,-,k,个元素的向量；当,k0，,则将从矩阵,A,中提取位于主对角线的下方第,|,k|,条对角线构成一个具有,m+k,个元素的向量；当,k=0，,则等同于,diag,(A)。,一、特殊矩阵的实现,【,例3,】,已知矩阵,A，,试从矩阵,A,分别提取主对角线及它两侧的对角线构成向量,B、C,和,D。,MATLAB,程序如下：,A=1 2 3;4 5 6;%,建立一个已知的,2,3,阶矩阵,A,%,按各种对角线情况构成向量,B、C,和,D,B=,diag,(A),B=1,5,C=diag(A,1),C=2,6,D=diag(A,-1),D=4,一、特殊矩阵的实现,8.,上三角阵：使用格式为,triu,(A)、,triu,(A,k),设,A,为,m,n,阶矩阵，,triu,(A),将从矩阵,A,中提取主对角线之上的上三角部分构成一个,m,n,阶上三角阵；,triu,(A,k),将从矩阵,A,中提取主对角线第,|,k|,条对角线之上的上三角部分构成一个,m,n,阶上三角阵。注意：这里的,k,与,diag,(A,k),的用法类似，当,k0，,则该对角线位于主对角线的上方第,k,条；当,k0，,该对角线位于主对角线的下方第,|,k|,条；当,k=0，,则等同于,triu,(A),一、特殊矩阵的实现,【,例4,】,试分别用,triu,(A)、triu(A,1),和、,triu(A,-,1),从矩阵,A,提取相应的上三角部分构成上三角阵,B、C,和,D。,MATLAB,程序如下：,A=1 2 3;4 5 6;7 8 9;9 8 7;%,一个已知的,4,3,阶矩阵,A,%,构成各种情况的上三角阵,B、C,和,D,B=,triu,(A),B=1 2 3,0 5 6,0 0 9,0 0 0,C=triu(A,1),D=triu(A,-1),一、特殊矩阵的实现,9.,下三角阵：使用格式为,tril,(A)、,tril,(A,k),tril,的功能是从矩阵,A,中提取下三角部分构成下三角阵。用法与,triu,相同。,10.,空矩阵,在,MATLAB,里，把行数、列数为零的矩阵定义为空矩阵。空矩阵在数学意义上讲是空的，但在,MATLAB,里确是很有用的。例如,A=0.1 0.2 0.3;0.4 0.5 0.6;,B=find(A1.0),B=,这里,是空矩阵的符号，,B=find(A1.0),表示列出矩阵,A,中值大于,1.0,的元素的序号。当不能满足括号中的条件时，返回空矩阵。另外，也可以将空矩阵赋给一个变量，如：,B=,B=,一、特殊矩阵的实现,二、矩阵的特征值 与特征向量,对于,N,N,阶方阵,A，,所谓,A,的特征值问题是：求数,和,N,维非零向量,x（,通常为复数），使之满足下式：,A,.,x,=,x,则称,为矩阵,A,的一个特征值（特征根），而非零向量,x,为矩阵,A,的特征值,所对应的特征向量。,对一般的,N,N,阶方阵,A，,其特征值通常为复数，若,A,为实对称矩阵，则,A,的特征值为实数。,二、矩阵的特征值与特征向量,MATLAB,提供的内部函数,eig,可以用来计算特征值与特征向量。,eig,函数的使用格式有五种，其中常见的有,E=,eig,(A)、V,D=,eig,(A),和,V,D=,eig,(A,nobalance,),三种，另外两种格式用来计算矩阵的广义特征值与特征向量：,E=,eig,(A,B),和,V,D=,eig,(A,B)。,二、矩阵的特征值与特征向量,(1),E=,eig,(A)：,由,eig,(A),返回方阵,A,的,N,个特征值，构成向量,E；,(2)V,D=,eig,(A)：,由,eig,(A),返回方阵,A,的,N,个特征值，构成,N,N,阶对角阵,D，,其对角线上的,N,个元素即为相应的特征值，同时将返回相应的特征向量赋予,N,N,阶方阵,V,的对应列，且,A、V、D,满足,A,V=V,D,；,(3)V,D=,eig,(A,nobalance,)：,本格式的功能与格式,(2),一样，只是格式,(2),是先对,A,作相似变换,(,balance)，,然后再求其特征值与相应的特征向量；而本格式则事先不作相似变换；,二、矩阵的特征值与特征向量,(4),E=,eig,(A,B)：,由,eig,(A,B),返回,N,N,阶方阵,A,和,B,的,N,个广义特征值，构成向量,E。,(5)V,D=,eig,(A,B)：,由,eig,(A,B),返回方阵,A,和,B,的,N,个广义特征值，构成,N,N,阶对角阵,D,，,其对角线上的,N,个元素即为相应的广义特征值，同时将返回相应的特征向量构成,N,N,阶满秩矩阵，且,满足,A,V=B,V,D,。,二、矩阵的特征值与特征向量,【,例5,】,试用格式,(1),求下列对称矩阵,A,的特征值；用格式,(2)求,A,的特征值和相应的特征向量，且验证之。,A=,1.0000 1.0000 0.5000,1.0000 1.0000 0.2500,0.5000 0.2500 2.0000;,执行,eig,(A),将直接获得对称矩阵,A,的三个实特征值：,二、矩阵的特征值与特征向量,eig,(A),ans,=-0.0166,1.4801,2.5365,而下列命令则将其三个实特征值作为向量赋予变量,E：,E=,eig,(A),E=-0.0166,1.4801,2.5365,二、矩阵的特征值与特征向量,三、行列式的值,MATLAB,提供的内部函数,det,用来计算矩阵的行列式的值。设矩阵,A,为一方阵,(,必须是方阵,),，求矩阵,A,的行列式值的格式为：,det,(A)。,注意：本函数同样能计算通过构造出的稀疏矩阵的行列式的值。关于如何构造稀疏矩阵，将在本章最后一节介绍。,三、行列式的值,【,例6,】,利用随机函数产生一个三阶方阵,A，,然后计算方阵之行列式的值。,A=rand(3),A=,0.9501 0.4860 0.4565,0.2311 0.8913 0.0185,0.6068 0.7621 0.8214,det,(A),ans,=,0.4289,四、矩阵求逆及其 线性代数方程组求解,1.,矩阵求逆,若方阵,A,B,满足等式,A,*,B,=,B*A,=,I,(,I,为单位矩阵,),则称,A,为,B,的逆矩阵，或称,B,为,A,的逆矩阵。这时,A，B,都称为可逆矩阵,(,或非奇异矩阵、或满秩矩阵,),，否则称为不可逆矩阵,(,或奇异矩阵、或降秩矩阵,),。,四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解,【,例7,】,试用,inv,函数求方阵,A,的逆阵,A,-1,赋值给,B，,且验证,A,与,A,-1,是互逆的。,A=1-1 1;5-4 3;2 1 1;,B=inv(A),B=,-1.4000 0.4000 0.2000,0.2000 -0.2000 0.4000,2.6000 -0.6000 0.2000,A*B,ans,=,1.0000 0.0000 0.0000,0.0000 1.0000 0.0000,0.0000 0.0000 1.0000,B*A,ans,=,1.0000 0.0000 0.0000,0.0000 1.0000 0.0000,0.0000 0.0000 1.0000,四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解,2.,矩阵求逆解法,利用求系数矩阵,A,的逆阵,A,-1,，,我们可以得到矩阵求逆解法。对于线性代数方程组,Ax,=,b,，,等号两侧各左乘,A,-1,，,有：,A,-1,Ax,=,A,-1,b,由于,A,-1,A,=,I,，,故得：,x,=,A,-1,b,四、矩阵求逆及其线性代数方程组求解,【,例8,】,试用矩阵求逆解法求解,例,6.20,中,矩阵,A,为系数矩阵的线性代数方程组,Ax,
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