第7讲-第4节 向量空间-第五节 内积与标准正交基

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,一、向量空间的定义,定义,9,设,V,为一个,n,维向量的集合,如果适合：,1)V,是非空集合,2),关于加法运算封闭,3),关于与数的乘法运算封闭,称,V,为向量空间或线性空间。,例,1 n,维向量的全体,是一个向量空间。,第,4,节 向量空间,10/15/2024,1,证明：,由于 是非空集合；对于任,所以 是,n,维向量空间。,例,2,向量集合,不是一个向量空间。,10/15/2024,2,例,3,齐次线性方程组的解集合,是线性空间，称为解空间。,例,4,集合,是线性空间，称为 到 映射 的像空间。,10/15/2024,3,二、向量组的生成空间,定义,设,是向量组,其线性组合的全体：,称为向量组,A,的生成空间（或线性张）。,性质,1,生成空间是向量空间,性质,2,A,的生成空间所有向量均可由,A,线性表示。,性质,3,A,的极大无关组是其生成空间,L(A),的极大无关组,性质,5,如果 ，则 。,性质,4,如果,A,可以线性表示,B,，则,10/15/2024,4,三、线性子空间,定义,设有向量空间 ，如果,称 是 的线性子空间。,10/15/2024,5,四、向量组空间的基,定义,设 为向量空间，如果 存在,n,个线性无关向量,使得 中任何向量 均可以由向量组线性表示：,称 是 的一组基，系数 称为 在这组基下的坐标，称 为,n,维向量空间。,注,1,如果 称为,0,维向量空间。,注,2,如果没有有限个向量构成基，则称为无穷维向量空间。,注,3,基实际上是向量空间的极大无关组。,10/15/2024,6,四、求向量、向量组在不同向量空间基下坐标,情形,1,给定一个列向量 ，也就是 给出向量在一个标准基：,下的坐标 ，即：,10/15/2024,7,四、求向量、向量组在不同向量空间基下坐标,情形,2,已知一个列向量 在一组基 下坐标为 ，求它在另一组基 下的坐标 。,10/15/2024,8,10/15/2024,9,10/15/2024,10,10/15/2024,11,10/15/2024,12,10/15/2024,13,10/15/2024,14,10/15/2024,15,10/15/2024,16,一、内积空间,第五节 内积与标准正交基,定义,12,设,V,是,n,维向量空间，对于,V,中向量：,引入了内积的向量空间，称为内积空间；有限维的内积空间又称欧几里得空间,1,内积空间定义,10/15/2024,17,2,内积的运算性质,10/15/2024,18,定义,2,长度,范数,向量的长度具有下述性质：,二、向量的范数（长度）,令,10/15/2024,19,解,三、单位向量及向量间夹角,10/15/2024,20,正交的概念,正交向量组的概念,正交,定义,若,一非零,向量组中的向量两两正交，则称该向,量组为正交向量组。,四、正交与标准正交基,10/15/2024,21,证明,正交向量组的性质,10/15/2024,22,例,1,已知三维向量空间中两个向量,正交，试求 使 构成三维空间的一个正交,基,.,向量空间的正交基,10/15/2024,23,即,解之得,由上可知 构成三维空间的一个正交基,.,解,10/15/2024,24,标准正交基,例如,10/15/2024,25,10/15/2024,26,同理可知,10/15/2024,27,