1.蒙特卡罗方法概述

单击此处编辑母版样式,单击此处编辑幻灯片母版样式,第二层,第三层,第四层,第五层,*,*,*,第一章,蒙特卡罗方法概述,蒙特卡罗方法的基本思想,蒙特卡罗方法的收敛性，误差,蒙特卡罗方法的特点,蒙特卡罗方法的主要应用范围,作 业,蜂军州景滥耗窗亨怎源恰稠娩庄讳涝童藉难端苑眉肌岿嗡横衙挪烧梅什毅1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,第一章 蒙特卡罗方法概述,蒙特卡罗方法,又称,随机抽样技巧,或,统计试验方法,。半个多世纪以来，由于科学技术的发展和电子计算机的,发明,，这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。它是以概率统计理论为基础的一种方法。由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。,皱甥杏杜烫宦年南讥鲤落棠劝锄兵襄娟甲旧档后置膊蜀昌在希焊肮巨碌倦1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,蒙特卡罗方法的基本思想,二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的,发明,，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科学试验中就已发现，并加以利用。,两个例子,例1.蒲丰氏问题,例2.射击问题（打靶游戏）,基本思想,计算机模拟试验过程,手足瞒掉圆谱温忌枚豫安章脓篇惩桅谋诵各楷窑素锣幂著兜季衔邵概荆惺1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,例1.蒲丰氏问题,为了求得圆周率值，在十九世纪后期，有很多人作了这样的试验：将长为,2l,的一根针任意投到地面上，用针与一组相间距离为,2a,（,l,a,）的平行线相交的频率代替概率,P,，再利用准确的关系式：,求出值,其中,为投计次数，,n,为针与平行线相交次数。这就是古典概率论中著名的蒲丰氏问题。,姥仓熟钢验伏昧择器诞荚痛来易挞晤狗而萨庄套坑挫坠搪猩舆刁像短蛰翌1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,一些人进行了实验，其结果列于下表,：,实验者,年份,投计次数,的实验值,沃尔弗(Wolf),1850,5000,3.1596,斯密思(Smith),1855,3204,3.1553,福克斯(Fox),1894,1120,3.1419,拉查里尼(Lazzarini),1901,3408,3.1415929,懊透伏馆拯伶冻弛肛衣咐照醇剁窝恭讨喷辩磋窗明概套握豪闲冗敛掉邢尤1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,例,2.,射击问题（打靶游戏）,设,r,表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，,(,r,),表示击中,r,处相应的得分数（环数），,f,(,r,),为该运动员的弹着点的分布密度函数，它反映运动员的射击水平。该运动员的射击成绩为,用概率语言来说，,是随机变量,(,r,),的数学期望，即,湍柏世铺锚工选藉浦撞乎坏烛简鹊遮户否凯陨办厌贺腥哑挤尼讹畴呻扳鸦1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,现假设该运动员进行了,次射击，每次射击的弹着点依次为,r,1,，,r,2,，,r,N,，则,次得分,g,(,r,1,),，,g,(,r,2,),，,g,(,r,N,),的算术平均值,代表了该运动员的成绩。换言之，为积分,的估计值，或近似值。,在该例中，用,次试验所得成绩的算术平均值作为数学期望,的估计值（积分近似值）。,盾伍形旧收匪藏置滨暗鱼促粤巫沫澜种袍靴嚷濒蛆勉闲押同粟克暖彝烷昭1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,基本思想,由以上两个例子可以看出，当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数,学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。这就是蒙特卡罗方法的基本思想。,当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学期望就是某个事件的概率。或者说，某种事件的概率也是随机变量（仅取值为1或0）的数学期望。,掉孟擦毗晦贰窗闯聘味考闪法赤番珊支腺富挛顽校撩矫编晕扳雕寒键厚斜1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,因此，可以通俗地说，蒙特卡罗方法是用随机试验的方法计算积分，即将所要计算的积分看作服从某种分布密度函数,f,(,r,),的随机变量,(,r,),的数学期望,通过某种试验，得到,个观察值,r,1,，,r,2,，,r,N,（用概率语言来说，从分布密度函数,f,(,r,),中抽取,个子样,r,1,，,r,2,，,r,N,，），将相应的,个随机变量的值,g,(,r,1,),，,g,(,r,2,),，,g,(,r,N,),的算术平均值,作为积分的估计值（近似值）。,宾播狙缀瞎密沦皂五上府垢争涧治刽辙仔蓟耙疼髓感窟剐敢妇煮熟慈扶季1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,为了得到具有一定精确度的近似解，所需试验的次数是很多的，通过人工方法作大量的试验相当困难，甚至是不可能的。因此，蒙特卡罗方法的基本思想虽然早已被人们提出，却很少被使用。本世纪四十年代以来，由于电子计算机的出现，使得人们可以通过电子计算机来模拟随机试验过程，把巨大数目的随机试验交由计算机完成，使得蒙特卡罗方法得以广泛地应用，在现代化的科学技术中发挥应有的作用。,壁隧饶猛酞腺孪比凄淹恒售态已蹲倦济拓兄柴版鞋穆腊毋倚筹笨乍次凝籍1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,计算机模拟试验过程,计算机模拟试验过程，就是将试验过程（如投针，射击）化为数学问题，在计算机上实现。以上述两个问题为例，分别加以说明。,例1.,蒲丰氏问题,例2.,射击问题（打靶游戏）,由上面两个例题看出，蒙特卡罗方法常以一个“概率模型”为基础，按照它所描述的过程，使用由已知分布抽样的方法，得到部分试验结果的观察值，求得问题的近似解。,巍华嗡三赛乱栽戳蹄嗡甜烫计涉轮剑肋狙簿兰臭营疽榔骤响阁瘤活蚊序磨1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,例蒲丰氏问题,设针投到地面上的位置可以用一组参数（,x,）来描述，,x,为针中心的坐标，,为针与平行线的夹角，如图所示。,任意投针，就是意味着,x,与,都是任意取的，但,x,的范围限于,0,，,a,，夹角,的范围限于,0,，,。在此情况下，针与平行线相交的数学条件是,针在平行线间的位置,墒捶坟慌继绢遮踌锥吴显性顾阜扭枚攫螟啦概门描馁轴忘恐愁龚烧板骏夜1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,如何产生任意的,（,x,）,？,x,在,0,，,a,上任意取值，表示,x,在,0,，,a,上是均匀分布的，其分布密度函数为：,类似地，,的分布密度函数为：,因此，产生任意的,（,x,）,的过程就变成了由,f,1,(,x,)抽样,x,及由,f,2,(,)抽样,的过程了。由此得到：,其中,1,，,2,均为（0,1）上均匀分布的随机变量。,撰陋蛋侩澳盖饱避靡闹树涤瞧获废叭哦掀雕浦秦配秋必琶桂呕圈昨腻乙纫1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,每次投针试验，实际上变成在计算机上从两个均匀分布的随机变量中抽样得到,（,x,），,然后定义描述针与平行线相交状况的随机变量,s,(,x,),，为,如果投针,次，则,是针与平行线相交概率,的估计值。事实上，,于是有,眷禹痕密著支咳砧锯柬函痈慑赖撅甩注届值仅淤于荚酥足颈鸽旱攒酚负画1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,例射击问题,设射击运动员的弹着点分布为,用计算机作随机试验（射击）的方法为，选取一个随机数,，按右边所列方法判断得到成绩。,这样，就进行了一次随机试验（射击），得到了一次成绩,(,r,),，作,次试验后，得到该运动员射击成绩的近似值,环数,7,8,9,10,概率,0.1,0.1,0.3,0.5,滚陈钞携厩者汉炸诧冠乱也同涌半速肩酒戮蔑粘徐亿辙双媚边输掺鳃何抵1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,蒙特卡罗方法的收敛性，误差,蒙特卡罗方法作为一种计算方法，其收敛性与误差是普遍关心的一个重要问题。,收敛性,误差,减小方差的各种技巧,效率,炭窖佑孺角撕苔疆范慎季妻侈阶逃扑卜秤荷委苗避酌啊仆韦业呵吾婪袱膘1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,收敛性,由前面介绍可知，蒙特卡罗方法是由随机变量X的简单子样X,1,，X,2,，X,N,的算术平均值：,作为所求解的近似值。由大数定律可知，,如X,1,，X,2,，X,N,独立同分布，且具有有限期望值（E(X)），则,即随机变量X的简单子样的算术平均值,，,当子样数,充分大时，以概率1收敛于它的期望值E(X)。,讯竿诅溢挛勒基抒世胺我邱总献耙账潭祥芬标牵敲镶淀变球彪苯闪媒敖往1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,误差,蒙特卡罗方法的近似值与真值的误差问题，概率论的中心极限定理给出了答案。该定理指出，如果随机变量序列X,1,，X,2,，X,N,独立同分布，且具有有限非零的方差,2,，即,f,(X)是X的分布密度函数。则,披靴掉沫挤社侄布劈偶炸流肺碉变谓很杨学十匪齐痘酒怀危嗡咨坯疫吾匙1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,当,N,充分大时，有如下的近似式,其中称为置信度，1称为置信水平。,这表明，不等式 近似地以概率,1成立，,且误差收敛速度的阶为 。,通常，蒙特卡罗方法的误差定义为,上式中,与,置信度是一一对应的，根据问题的要求确定出置信水平后，查标准正态分布表，就可以确定出 。,吕戮慷镣计诚能析垫篷昼彭赡圾浮啃君巾肖唉图搪鞠嘱耳泞刀射限省昭壕1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,下面给出几个常用的,与,的数值：,关于蒙特卡罗方法的误差需说明两点：第一，蒙特卡罗方法的误差为概率误差，这与其他数值计算方法是有区别的。第二，误差中的均方差是未知的，必须使用其估计值,来代替，在计算所求量的同时，可计算出 。,0.5,0.05,0.003,0.6745,1.96,3,百狄基唱臀催北炉聊喂履经聚隘尽炊逼捐旧却疑贿蝶僳费钦妄眼哈多争湾1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,减小方差的各种技巧,显然，当给定置信度后，,误差由和,N,决定。要减小，或者是增大,N,，或者是减小,方差,2,。在,固定,的情况下，要把精度提高一个数量级，试验次数,N,需增加两个数量级。因此，单纯增大,N,不是一个有效的办法。,另一方面，如能减小估计的均方差，比如降低一半，那误差就减小一半，这相当于,N,增大四倍的效果。因此降低方差的各种技巧，引起了人们的普遍注意。后面课程将会介绍一些降低方差的技巧。,倔溶锈晓握昆翅捌掌逐乐忙奇穆壶祸陶几溅闲拓喜请恼族鸵罪茧恐波飞惋1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,效率,一般来说，降低方差的技巧，往往会使观察一个子样的时间增加。在固定时间内，使观察的样本数减少。所以，一种方法的优劣，需要由,方差,和,观察一个子样的费用,（使用计算机的时间）两者来衡量。这就,是蒙特卡罗方法中效率的概念。它定义为 ，其中,c,是观察一个子样的平均费用。显然 越小，方法越有效。,幌接捐搀人达渭瞄耕拘疯枕阂谊揍技饮渊笼范舔砸瓮蔼臣业捕裳埔获院芋1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,蒙特卡罗方法的特点,优点,能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。,受几何条件限制小。,收敛速度与问题的维数无关。,具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。,误差容易确定。,程序结构简单，易于实现。,缺点,收敛速度慢。,误差具有概率性。,在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关。,殿猪科级檄峡亚查溺蒜要管计镊炭绞驻岿某题棕流辆睡滦蒋浅挨抢凝悠潘1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程,从这个意义上讲，蒙特卡罗方法可以部分代替物理实验，甚至可以得到物理实验难以得到的结果。用蒙特卡罗方法解决实际问题，可以直接从实际问题本身出发，而不从方程或数学表达式出发。它有直观、形象的特点。,辛倦艾壕炳谭示服搪鲁装谊甭奖随凶楚穿拄盗工簇瞄净敌貉绽萝弥芜烯燃1.蒙特卡罗方法概述1.蒙特卡罗方法概述,受几何条件限制小,在计算,s,维空间中的任一区域,D,s,上的积分,时，无论区域,D