微观经济学第三章 效用论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章 效用论,3.1,本章框架结构图,3.2,重点与难点导学,一、基数效用论,边际效用分析,1,效用的概念,效用是指商品满足人的欲望的能力评价，或者说，效用是指消费者在消费商品时所感受到的满足程度（,In a word, utility denotes satisfaction,）。如果消费者从消费某种物品中得到的满足程度大，该物品的效用就大，反之，效用就小。,2,基数效用和序数效用,效用有基数效用和序数效用之分，在此基础上，形成了分析消费者行为的两种方法，它们分别是,基数效用论者的边际效用分析方法,和,序数效用论者的无差异曲线分析方法,。,19,世纪和,20,世纪初期，经济学家普遍使用基数效用的概念。考虑到基数效用论的分析建立在效用可以用具体的数字来衡量基础上，在理论上很难令人信服，故在现代微观经济学中，通常使用的是序数效用的概念。,3,边际效用的含义,基数效用论者把效用区分为总效用和边际效用。其中，边际效用（,Marginal Utility,）是指消费者在一定时间内增加一单位商品的消费所得到的效用量的增量（,Marginal utility denotes the additional utility you get from the consumption of an additional unit of a commodity,）。,4,边际效用递减规律,在一定时间内，在其他商品的消费数量保持不变的条件下，随着消费者对某种商品消费量的增加，消费者从该商品连续增加的每一消费单位中所得到的效用增量即边际效用是递减的（,The law of diminishing marginal utility states that, as the amount of a good consumed increases, the marginal utility of that good tends to diminish.,）。,用数学语言表示为：,总效用函数为增函数，即 ，边际效用函数为递减函数，即 。,思考题：,如果你有一辆需要四个轮子才能开动的车子有了三个轮子，那么当你有第四个轮子时，这第四个轮子的边际效用似乎超过第三个轮子的边际效用，这是不是违反了边际效用递减规律？,5,消费者均衡,消费者均衡是研究单个消费者如何把有限的货币收入分配在各种商品的购买中以获得最大的效用。假定消费者的总效用函数为 ，他在预算约束下追求效用最大化，即有：,运用数学方法可解得消费者均衡条件为：,即消费者应选择最优的商品组合，使得自己花费在各种商品上的最后一元钱所带来的边际效用相等，且等于货币的边际效用。通俗来说，,消费者如果达到最优，他的钱无论花在哪里，每分钱的边际效用应该相等,。,6,利用边际效用递减规律推导需求曲线,基数效用论者认为，商品的需求价格取决于商品的边际效用,。边际效用越大，消费者愿意支付的价格越高，即消费者愿意支付的购买价格与商品的边际效用成正比关系。,思考题：,为什么对人的生命不可或缺的水的价格要比没有多少实际用处的钻石的价格低？,二、序数效用论,无差异曲线分析,1,关于偏好的假定,所谓偏好（,Preference,），就是爱好或喜欢的意思。序数效用论者提出了关于消费者偏好的以下三个基本的假定：,（,1,）,完备性,假定任何两个消费束都是可以比较的。或者说，给定两个消费束 和 ，理性消费者能够确定哪一个是更好的或者两者无差异。,（,2,）,反身性,任何消费束至少与它本身是同样好的。,（,3,）,传递性,给定消费束,X,、,Y,和,Z,，如果,X,好于,Y,，,Y,好于,Z,，则,X,一定好于,Z,。,为了使得无差异曲线具有良好形状或者说使得消费者行为便于分析，序数效用论者还添加了以下两个假定：,（,4,）,偏好的非饱和性,偏好的非饱和性指如果两个商品组合的区别仅在于其中一种商品的数量不相同，那么，消费者总是偏好于含有这种商品数量较多的那个商品组合。即就商品（,goods,）而非厌恶品（,bads,）而言，人们希望是多多益善。,（,5,）,偏好的凸性,如果 ，那么，对于所有 ，有 。这在几何意义上表示的是，消费者的消费束集是个凸状集。,偏好与偏好假定为借助无差异曲线分析消费者行为提供了条件,。,2,无差异曲线及其特点,（,1,）无差异曲线的含义,无差异曲线是用来表示消费者偏好相同的两种商品的所有组合的。或者说，它是表示能够给消费者带来相同的效用水平或满足程度的两种商品的所有组合的,（,The point on the indifference curve represent consumption bundles among which the consumer is indifferent; all are equally desirable,）。无差异曲线的绘制如图,3-1,所示。,图,3-1,无差异曲线,与无差异曲线相对应的效用函数可表示为：,（,2,）无差异曲线的三个基本特征,在同一坐标平面上的任何两条无差异曲线之间，可以有无数条无差异曲线。离原点距离远的无差异曲线比离原点距离近的无差异曲线效用大。,在同一坐标平面图上的任何两条无差异曲线不会相交。如图,3-2,所示，可以证明，相交的两条无差异曲线违背了偏好的完备性假定。,图,3-2,违反偏好假定的无差异曲线,无差异曲线是凸向原点的，且无差异曲线的斜率的绝对值是递减的。如图,3-3,所示，可以证明，向右上方倾斜的无差异曲线违背了偏好的完备性假定。,图,3-3,违反偏好假定的无差异曲线,3,效用函数、边际替代率及其递减法则,（,1,）效用函数的定义,效用函数表示某一商品组合给消费者所带来的效用水平。假定消费者只消费两种商品，则效用函数为：,效用函数在分析上的好处是，能使对消费者行为的偏好分析转换成效用函数的分析，从而发现消费者行为的规律。,事实上，可以用无差异曲线离开原点的距离度量效用的大小。令效用函数为某个常数，就可以得到无差异曲线。例如， ，令 ，可以得到无差异曲线 。,（,2,）商品的边际替代率,商品的边际替代率（,marginal rate of substitution,， ）是指,在维持效用水平不变的前提下，消费者增加一单位某种商品的消费数量时所需要的放弃的另一种商品的消费数量,。商品,1,对商品,2,的边际替代率的定义公式为：,从几何的角度看，边际替代率就是无差异曲线在该点的斜率的绝对值,。边际替代率的另一种重要数学表述为,，可以用全微分法证明如下：,维持效用水平不变，即使得效用增量 ，这种变化可以表示为：,整理得： 。,（,3,）商品的边际替代率递减规律,商品的边际替代率递减规律是指：在维持效用水平不变的前提下，随着一种商品的消费数量的连续增加，消费者为得到每一单位的这种商品所需要放弃的另一种商品的消费数量是递减的。,从几何意义上讲，由于商品的边际替代率就是无差异曲线的斜率的绝对值，所以，,边际替代率递减规律决定了无差异曲线的斜率的绝对值是递减的，即无差异曲线是凸向原点的,，如图,3-4,所示。,图,3-4,商品的边际替代率递减规律和无差异曲线的形状,4,无差异曲线的特殊形状,（,1,）完全替代品,完全替代品指两种商品之间的替代比例是固定不变的情况。,在完全替代的情况下，,两商品之间的边际替代率,就是一个常数，,相应的无差异曲线是一条斜率不变的直线，向下倾斜。,如两种商品相应的效用函数为：,则相应的无差异曲线形状如图,3-5,所示， 。,图,3-5,完全替代品的无差异曲线形状,（,2,）完全互补品,完全互补品指两种商品必须按固定不变的比例同时被使用的情况。在完全互补的情况下，相应的无差异曲线为直角形状。如两种商品相应的效用函数为：,则相应的无差异曲线形状如图,3-6,所示，直角点上两商品的边际替代率为常数，即均有 。,图,3-6,完全互补品的无差异曲线形状,三、预算线,预算线又称为预算约束线、消费可能线和价格线，表示在,消费者的收入和商品的价格给定的条件下，消费者的全部收入所能购买到的两种商品的各种组合,，如图,3-7,所示。,图,3-7,预算线,假定以,I,表示消费者的既定收入，以 和 分别表示商品,1,和商品,2,的价格，以 和 分别表示商品,1,和商品,2,的数量，那么，相应的预算等式为：,该预算线的斜率为 。,四、消费者的均衡,在一定的预算约束下，为了实现最大的效用，消费者应该选择最优的商品组合，使得两商品的边际替代率等于两商品的价格之比,。也可以这样理解：在消费者的均衡点上，消费者愿意用一单位的某种商品去交换的另一种商品的数量（即 ），应该等于该消费者能够在市场上用一单位的这种商品去交换得到的另一种商品的数量（即 ）。消费者的均衡如图,3-8,所示。,图,3-8,消费者的均衡,序数效用论条件下的消费者均衡条件为 ，表示,无差异曲线与预算线相切的切点即为消费者均衡点,。这一均衡条件可以用数学方法予以证明。证明如下：,第一步，将经济问题转化成数学模型，即：在约束条件 下，求 的最大值。,第二步，数学求解。构造拉格朗日函数 。拉格朗日定理认为，最优选择必定满足以下三个一阶条件：,可得： 。,第三步，经济意义解释。当商品的边际效用之比等于它们价格比时，就达到了消费者均衡。,五、价格变化和收入变化对消费者均衡的影响,1,价格变化：价格,消费曲线,价格,消费曲线是在消费者的偏好、收入以及其他商品价格不变的条件下，与,某一种商品的不同价格水平,相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。换句话说，价格,消费曲线是收入给定的前提下相对价格 变化与消费需求量（ ）变化之间的对应关系的轨迹。价格,消费曲线的形成如图,3-9,所示。,图,3-9,价格,消费曲线,2,消费者的需求曲线,图,3-10,消费者需求曲线的推导,由消费者的价格一消费曲线可以推导出消费者的需求曲线，如图,3-10,所示。可以看出，,需求曲线上与每一价格水平相对应的商品需求量都是可以给消费者带来最大效用的均衡数量,。,3,收入变化：收入,消费曲线,收入,消费曲线是在消费者的偏好和商品的价格不变的条件下，与消费者的不同收入水平相联系的消费者效用最大化的均衡点的轨迹。换句话说，收入,消费曲线是 给定的前提下由于收入变化，预算线与无差异曲线的公切点的轨迹。收入,消费曲线的形成如图,3-11,所示。,（,1,）两种商品都是正常品 （,2,）商品,1,由正常品变成劣等品,图,3-11,收入,消费曲线,4,恩格尔曲线,由消费者的收入,消费曲线可以推导出消费者的恩格尔曲线。恩格尔曲线表示消费者在每一收入水平对某商品的需求量。与图,3-11,相对应的恩格尔曲线如图,3-12,所示。,（,1,）两种商品都是正常品 （,2,）商品,1,由正常品变成劣等品,图,3-12,恩格尔曲线的推导,六、替代效应和收入效应,1,替代效应和收入效应的含义,一种商品价格变动，会对消费者产生两方面的影响，一是使商品的相对价格发生变动，二是使消费者的收入相对于以前发生变动。,（,1,）替代效应,由于一种商品价格变动而引起的,商品的相对价格,发生变动，从而导致消费者在保持效用不变的条件下，对商品需求量的改变，称为价格变动的替代效应。,（,2,）收入效应,由于一种商品价格变动而引起的,消费者实际收入,发生变动，从而导致消费者对商品需求量的改变，称为价格变动的收入效应。,总效应,=,替代效应收入效应。其中，,收入效应表示消费者的效用水平发生变化，替代效应则不改变消费者的效用水平。,2,正常物品的替代效应和收入效应,图,3-13,正常物品的替代效应和收入效应,对于正常物品来说，替代效应与价格成反方向的变动。收入效应也与价格成反方向的变动，在它们的共同作用下，总效应必定与价格成反方向的变动。,正因为如此。正常物品的需求曲线是向右下方倾斜的。,3,低档物品的替代效应和收入效应,图,3-14,低档物品的替代效应和收入效应,对于低档物品来说，替代效应与价格成反方向的变动，收入效应与价格成同方向的变动,，而且，在大多数的场合，收入效应的作用小于替代效应的作用，所以，总效应与价格成反方向的变动，相应的需求曲线是向右下方倾斜的。,4,吉芬物品的替代效应和收入效应,（,1,）吉芬物品的由来,19,世纪，英国统计学家罗伯特,吉芬发现一个现象，,1845,年爱尔兰发生灾荒，导致土豆价格上升，但居民对土豆的需求量却反而增加了，而这无法用传统的经济学理论进行解释，故此现象称为,“,吉芬难题,”,，并将像土豆这种随着物品价格上升，需求量反而增加的物品称之为,“,吉芬物品,”,。,（,2,）吉芬物品的替代效应和收入效应,图,3-15,吉芬物品的替代效应和收入效应,吉芬物品是一种特殊的低档物品。作为低档物品，吉芬物品的替代效应与价格成反方向的变动，收入效应则与价格成同方向的变动。,吉芬物品的特殊性就在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格成同方向的变动。,这也就是吉芬物品的需求曲线呈现出向右上方倾斜的特殊形状的原因。,5,总结,正常物品、低档物品和吉芬物品的替代效应和收入效应如表,3-1,所示。,表,3-1,商品价格变化所引起的替代效应和收入效应,6,替代效应和收入效应的计算,【,例,3.1】,已知某消费者的效用函数为 ，两商品的价格分别为 ， ，消费者的收入是 。现在假定商品,1,的价格下降为 。求：,（,1,）由商品,1,的价格下降所导致的总效应，使得该消费者对商品,1,的购买量发生多少变化？,（,2,）由商品,1,的价格下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品,1,的购买量发生多少变化？,（,3,）由商品,1,的价格下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品,1,的购买量发生多少变化？,商品类别,替代效应与,价格的关系,收入效应与,价格的关系,总效应与,价格的关系,需求曲线的,形状,正常商品,低档商品,吉芬商品,反方向变化,反方向变化,反方向变化,反方向变化,同方向变化,同方向变化,反方向变化,反方向变化,同方向变化,向右下方倾斜,向右下方倾斜,向右上方倾斜,解：,（,1,）消费者效用最大化的问题是：,当 ， 时，可得出最优消费束为 ，此时消费者的效用水平为： 。,当 下降到,2,元时，可得出此时最优消费束为 ，此时消费者的效用水平为： 。,所以，当 从,4,元下降到,2,元时，消费者对商品,1,的购买量从,10,增加到,20,，增加了,10,个单位。,（,2,）下面在保持原来效用不变的情况下，在新的价格水平下，求出 的需求量。此时，最优化问题是：,可得出 时，达到了原有的效用水平，且为经过调整后的最优消费束。,所以， 价格下降的替代效应使 的购买量变化为 。即由商品,1,的价格 下降所导致的替代效应，使得该消费者对商品,1,的购买量增加,4.14,。,（,3,）由于 价格下降的总的变化效应为 ，替代效应使得购买量变化为 ，所以收入效应为 。即由商品,1,的价格 下降所导致的收入效应，使得该消费者对商品,1,的购买量增加,5.86,。,七、从单个消费者的需求曲线到市场需求曲线,一种商品的市场需求是指在一定时期内在各种不同的价格下市场中所有消费者对某种商品的需求数量。假定在某一商品市场上有,n,个消费者，他们都具有不同的个人需求函数 ，则该商品市场的需求函数为：,即一种商品的市场需求量是每一个价格水平上的该商品的所有个人需求量的水平加总。,八、消费者剩余,1,消费者剩余的含义,消费者剩余是由马歇尔首先在其价格理论中提出的，是指,消费者在购买一定数量的某种商品时愿意支付的最高总价格和实际支付的总价格之间的差额,（,Because consumers pay the price of the last unit for all units consumed, they enjoy a surplus of utility over cost. Consumer surplus measures the extra value that consumers receive above what they pay for a commodity,）。消费者剩余可以用图,3-16,来表示。,图,3-16,消费者剩余,如图,3-16,所示，反需求函数 表示消费者对每一单位商品所愿意支付的最高价格。消费者剩余可以用,消费者需求曲线以下、市场价格线之上,的面积来表示，即图,3-16,中的阴影部分面积所示。,消费者剩余也可以用数学公式来表示。令反需求函数为 ，价格为 时的消费者的需求量为 ，则消费者剩余为：,需求曲线上的每一个点表示对于每一个特定的需求量，消费者所能承受的最高价格；或者换个角度说，每一个点表示，对于某一特定的价格水平，消费者所愿购买的产品数量,。需要特别指出的是，消费者剩余是消费者的主观心理评价，它反映消费者通过购买和消费商品所感受到的状态的改善。因此，消费者剩余通常被用来度量和分析社会福利问题。,九、不确定性和风险,1,不确定性与风险的概念,（,1,）不确定性,不确定性是指经济行为者在事先不能准确地知道自己的某种决策的结果。或者说，只要经济行为者的一种决策的可能结果不止一种，就会产生不确定性。,（,2,）风险,在消费者知道自己某种行为决策的各种可能的结果时，如果消费者还知道各种可能的结果发生的概率，则可以称这种不确定的情况为风险。,风险与不确定性之间存在区别：,后者是指某一事件发生的概率不是百分之百，而风险还跟主观的期望值有关，它度量的是离差,。,2,期望效用和期望值的效用,（,1,）期望效用,在不确定情况下，由于消费者事先并不知道哪种结果事实上会发生，所以，他只是在事先做出最优的决策，以使他的期望效用最大化。,对于一张彩票 来说，彩票的期望效用函数为：,式中， 和 分别为 和 发生的概率。以上的彩票的期望效用函数也可简写为：,将上述这种特殊形式的效用函数称为期望效用函数（,expected utility function,），或称为冯,诺依曼,-,摩根斯顿效用函数（,VNM,）。,（,2,）期望值的效用,对于一张彩票 来说，彩票的期望值为：,由上式可知，彩票的期望值是彩票不同结果下的消费者所拥有的货币财富量的加权平均数。相应地，彩票期望值的效用为：,3,消费者对风险的态度,根据个人面对风险的态度不同，把人们对风险的态度分为三类：风险回避者、风险爱好者和风险中立者。,（,1,）,风险回避者,风险回避者偏好于确定性，即期望效用小于期望值效用。用数学语言表示为：,如图,3-17,所示，横坐标表示消费的货币收入 ，纵轴表示消费者的效用,U,。图,3-17,中效用曲线表示消费者在不确定性情况下对应每一种不确定的收入所获得的效用。,图,3-17,风险回避者的效用函数,根据该消费者的效用曲线 ，消费者在无风险条件下持有一笔确定的货币财富量的效用 相当于图中,A,点的高度，而拥有一张具有风险的彩票的期望效用 相当于图中,B,点的高度。显然,A,点高于,B,点。所以，严格向上突出的效用函数 满足风险回避者的判断条件。,（,2,）,风险爱好者,风险爱好者更偏好于风险，即期望效用大于期望值效用，用数学语言表示为：,风险爱好者的效用函数如图,3-18,所示。,图,3-18,风险爱好者的效用函数,（,3,）,风险中立者,风险中立者对风险没有具体的偏好，对待风险是一种无所谓的态度，即期望值效用等于期望效用，用数学语言表示为：,风险中立者的效用函数如图,3-19,所示。,图,3-19,风险中立者的效用函数,与上述分析相对应，消费者的风险态度也可以根据他的,VNM,效用函数的特征来判断。假定某消费者的,VNM,效用函数为 ，其中 表示货币收入，且 为递增函数，即 。根据高等数学的相关知识，可知：风险回避者的效用函数是严格凹函数，即 ，风险爱好者的效用函数是严格凸函数，即 ，风险中立者的效用函数是斜向上的直线，即 。,4,降低风险的途径,现实生活中，大多数人都是风险回避者，人们会用各种方法规避风险。降低风险的途径主要有：,（,1,）,多样化,多样化是指在风险存在情况下，人们可以采取多样化的行动，以降低风险。,“,把鸡蛋放在不同的篮子里,”,体现了通过多样化来降低风险的思想。,（,2,）,购买保险,消费者可以通过购买保险的方式降低风险。实质上，购买保险的方式降低风险是通过转移风险，将不确定性变为确定性。,（,3,）获得更多的信息,在不确定情况下，消费者的决策是建立在有限信息基础上的。如果消费者可以获得更多的信息，将会降低决策风险。但是获得更多信息是需要付出代价的。,3.3,名校历年考研真题回顾,一、单项选择题,电影票的市场需求为 ，如果电影票的价格为,30,元,/,张，市场的消费者剩余等于（ ）。,对外经济贸易大学,2009,研,A,1000,元,B,2000,元,C,4000,元,D,6000,元,【,答案,】,B,【,解析,】,消费者剩余可以用消费者需求曲线以下、市场价格线之上的面积来表示，即如图,3-20,中的阴影部分面积所示。,图,3-20,消费者剩余,则消费者剩余 。,二、判断题,1,如果某产品需求曲线向右下方倾斜，则可判定它必为正常品。（ ）,对外经济贸易大学,2009,研,【,答案,】,【,解析,】,如果某产品需求曲线向右下方倾斜，则它可能是正常物品，也可能是低档物品。,2,如果所有商品的价格变成原来的两倍，而收入变成原来收入的三倍，则消费者的预算线会平行向外移动。（ ）,对外经济贸易大学,2008,研,【,答案,】,3,如果效用函数 ，则无差异曲线的边际替代率是递减的。（ ）,对外经济贸易大学,2008,研,【,答案,】,【,解析,】,如果效用函数 ，则说明两种商品为完全替代品，其无差异曲线的边际替代率保持不变，即均有 。,三、概念题,1,消费者剩余,中央财经大学,2010,研,答：,消费者剩余是指消费者在购买一定数量的某种商品时愿意支付的最高总价格和实际支付的总价格之间的差额。由于消费者消费不同数量的同种商品所获得的边际效用是不同的，所以，他们对不同数量的同种商品所愿意支付的价格也是不同的。但是，消费者在市场上所面临的同种商品的价格往往却是相同的，这样，消费者为一定数量的某种商品所愿意支付的价格和他实际支付的价格之间就会有一定的差额，这一差额就构成消费者剩余。消费者剩余可以用图,3-21,来表示。,图,3-21,消费者剩余,如图,3-21,所示，反需求函数 表示消费者对每一单位商品所愿意支付的最高价格。消费者剩余可以用消费者需求曲线以下、市场价格线之上的面积来表示，即图,3-17,中的阴影部分面积所示。,需要注意的是，消费者剩余是消费者的主观心理评价，它反映消费者通过购买和消费商品所感受到的状态的改善。因此，消费者剩余通常被用来度量和分析社会福利问题。,2,替代效应,对外经济贸易大学,2009,研,答：,由商品的价格变动所引起的商品相对价格的变动，进而由商品的相对价格变动所引起的商品需求量的变动，称为替代效应，即是指在消费者的实际收入（即满足水平）保持不变的前提下，由于商品价格的相对变化所引起的商品需求量的变化。,替代效应是价格变化的总效应之一，还有一个是收入效应。替代效应一般在程度上比收入效应大，在正常商品的情况下，两种效应的方向是一致的，即价格下降，替代效应引起消费者购买数量增加，收入效应也引起消费者购买数量增加。一般而言，替代效应总是负的，就是说，在实际收入保持不变的条件下，商品的价格和商品的需求量成反方向变动。,3,吉芬（,Giffen,）物品,中央财经大学,2008,研,答：,19,世纪，英国统计学家罗伯特,吉芬发现一个现象，,1845,年爱尔兰发生灾荒，导致土豆价格上升，但居民对土豆的需求量却反而增加了，而这无法用传统的经济学理论进行解释，故此现象称为,“,吉芬难题,”,，并将象土豆这种随着物品价格上升，需求量反而增加的物品称之为,“,吉芬物品,”,。,吉芬物品是一种特殊的低档物品。作为低档物品，吉芬物品的替代效应与价格成反方向的变动，收入效应则与价格成同方向的变动。吉芬物品的特殊性就在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格成同方向的变动。这也就是吉芬物品的需求曲线呈现出向右上方倾斜的特殊形状的原因。吉芬物品的替代效应和收入效应如图,3-22,所示。,图,3-22,吉芬物品的替代效应和收入效应,四、计算题,1,市场上黄瓜价格 元，西红柿价格 元，张三的收入为,50,元，其效用函数为,的平方根。,（,1,）根据上述条件计算张三的最大效用；,（,2,）做出张三的无差异曲线和预算线的图，分析张三的最优消费组合，与（,1,）对比，说明其有何区别并说明理由。,中国人民大学,2010,研,解：,（,1,）由题意得预算约束方程为 。由效用函数,得 ，,，边际替代率 ，可见边际替代,率是随着 的增加而增加的，所以不能根据消费者均衡条件 去求效用最大化时的消费组合（最大化的二阶条件不满足），此时效用最大化的点只能在预算线上的两个端点处获得，在点 处的效用为 ，在另外一个点 的效用为 ，因此张三的最大效用是 。,（,2,）张三的无差异曲线和预算线如图,3-23,所示。,（,2,）张三的无差异曲线和预算线如图,3-23,所示。,图,3-23,张三的无差异曲线和预算线,可以看出，无差异曲线是以原点为中心的一条条圆弧，而预算线是一条直线，一条无差异曲线与预算线相切于,b,点，而另一条无差异曲线与预算线相交于,a,点，,b,点是张三效用最小化的那一点，而,a,点是张三效用最大化的那一点，不难算出张三的最优组合为 ，这和（,1,）的结果一致。,2,王先生对财富,w,的效用函数为,ln,w,，他目前有,1,万元，他的地里可以种植某种作物，旁边有条小河，有,10%,的概率可能发生灾害，发生灾害了就会颗粒无收，如果没有发生灾害就会得到两倍的毛收益，问：,（,1,）王先生会投资多少？,（,2,）有提供竞争性保险的保险公司，保费是多少？,上海财经大学,2010,研,解：,（,1,）设王先生投资,x,元，则剩余 元。如果发生灾害，他这一部分的效用为 ；如果没有发生灾害，则投资的收益为,元，总财富变为 ，他这一部分的效用为 。要使总效用最大，则根据一阶条件得：,解得： 。,因此，王先生会投资,8000,元。,（,2,）假如王先生投资,8000,元，则发生灾害的话，其损失为,8000,元。设定保费为,y,元，则保险公司的收益为,元，而假如没有发生灾害的话，保险公司的收益为,y,元，因此保险公司的期望收益为：,因为保险市场是竞争性的，因此保险公司的期望收益为零，于是有 ，因此保险费,y,为,800,元。,