资源描述
单击此处编辑母版文本样式,课堂讲练互动,活页规范训练,课前探究学习,第三章数系的扩充与复数的引入,3,1,数系的扩充和复数的概念,3,1.1,数系的扩充和复数的概念,【,课标要求,】,1,了,解引进虚数单位,i,的必要性，了解数集的扩充过程,2,理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念,3,掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件,【,核心扫描,】,1,利,用复数的代数形式进行复数分类或考查两个复数相等是本节热点,2,常与方程、不等式、三角函数结合命题,3,多以选择、填空题的形式进行考查,自学导引,1,复数的有关概念,(1),复,数,定义：形如,a,b,i(,a,，,b,R,),的数叫做复数，其中,i,叫做,，满足,i,2,，,a,叫做复数的,，,b,叫做复数,的,表示方法：复数通常用,表示，即,这一表示形式叫做复数的代数形式,虚数单位,1,实部,虚部,字母,z,z,a,b,i(,a,，,b,R,),(2),复数集,定义：,所构成的集合叫做复数集,表示：通常用大写字母,表示,想一想：,复数,m,n,i,的实部、虚部一定是,m,、,n,吗？,提示,不一定，只有当,m,R,，,n,R,时，,m,、,n,才是该复数的实部、虚部,全体复数,C,实数,虚数,(,a,0,),(,a,0,),3,复数相等的充要条件,设,a,、,b,、,c,、,d,都是实数，则,a,b,i,c,d,i,，,a,b,i,0,.,a,c,且,b,d,a,b,0,名师点睛,1,数系的扩充与复数的概念,(1),数,的概念扩充到实数集后，人们发现在实数范围内很多问题还不能解决，如从解方程的角度看，象,x,2,1,这个方程在实数范围内就无解，为了解决这个问题，需要把数的范围作进一步的扩充，为此，人们引入一个新数,i,，叫虚数单位，且规定,i,2,1,；,i,可与实数进行四则运算；且原有的加、乘运算律仍成立,说明,：复数集中不全是实数的两数不能比较大小，如,i,和,0.,若,i0,，则,ii,0i,，即,10,，不成立,若,i0i,，即,10,，不成立,(2),我们把集合,C,a,b,i|,a,，,b,R,中的数，即形如,a,b,i(,a,，,b,R,),的数叫做复数，其中,i,叫做虚数单位全体复数所成的集合,C,叫做复数集复数是数系扩充以后得到的另一种数，通常用字母,z,表示它与实数有本质的区别，但也有内在的联系：当,b,0,时，,z,a,为实数；当,a,0,且,b,0,时，,z,b,i,为纯虚数；当,b,0,时，,z,a,b,i,为虚数,2,两个复数相等的充要条件,两,个复数相等的充要条件是它们的实部和虚部分别相等在两个复数相等的充要条件中，注意前提条件是,a,，,b,，,c,，,d,R,，即当,a,，,b,，,c,，,d,R,时，,a,b,i,c,d,i,a,c,且,b,d,.,若忽略前提条件，则结论不能成立利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到,“,化虚为实,”,的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解,题型一关于复数的概念,【,例,1,】,下,列命题中，正确命题的个数是,(,),若,x,，,y,C,，则,x,y,i,1,i,的充要条件是,x,y,1,；,若,a,，,b,R,且,a,b,，则,a,i,b,i,；,若,x,2,y,2,0,，则,x,y,0,；,一个复数为纯虚数的充要条件是这个复数的实部等于零；,1,没有平方根；,若,a,R,，则,(,a,1)i,是纯虚数,A,0 B,1 C,2 D,3,思路探索,只需根据复数的有关概念判断即可,解析,由于,x,，,y,C,，所以,x,y,i,不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，,是假命题,由于两个虚数不能比较大小，,是假命题,当,x,1,，,y,i,时，,x,2,y,2,0,成立，,是假命题,因为复数为纯虚数要求实部为零，虚部不为零，故,错；因为,1,的平方根为,i,，故,错；当,a,1,时，,(,a,1)i,是实数,0,，故,错；,答案,A,复数,z,a,b,i(,a,，,b,R,),中注意以下几点：,(1),a,，,b,R,，否则不是代数形式,(2),从代数形式可判定,z,是实数，虚数还是纯虚数,反之，若,z,是纯虚数，可设,z,b,i(,b,0,，,b,R,),；,若,z,是虚数，可设,z,a,b,i(,b,0,，,b,R,),；,若,z,是复数，可设,z,a,b,i(,a,，,b,R,),【,变式,1,】,已,知下列命题：,复数,a,b,i,不是实数；,当,z,C,时，,z,2,0,；,若,(,x,2,4),(,x,2,3,x,2)i,是纯虚数，则实数,x,2,；,若复数,z,a,b,i,，则当且仅当,b,0,时，,z,为虚数；,若,a,、,b,、,c,、,d,C,时，有,a,b,i,c,d,i,，则,a,c,且,b,d,.,其中真命题的个数是,_,(1),利用复数相等，我们可以把复数问题转化为实数问题来解决,(2),复系数方程有实根问题，实际上就是两个复数相等的问题,【,题后反思,】,(1),当复数不是,a,b,i(,a,、,b,R,),的形式时，要通过变形化为,a,b,i,的形式，以便确定实部和虚部,(2),注意分清复数分类中的条件：设,z,a,b,i(,a,，,b,R,),，则,z,为实数,b,0,；,z,为虚数,b,0,；,z,0,a,0,且,b,0,；,z,为纯虚数,a,0,且,b,0.,(3),求解时，要注意实部和虚部本身对变量的要求，否则容易产生增根,想当然的认为大的复数所对应的实部和虚部都大，忽视了只有实数才能比较大小的前提两个复数，如果不全是实数，则不能比较大小所以当两个复数能比较大小时，可以确定这两个复数必定都是实数,单击此处进入,活页规范训练,
展开阅读全文