例谈小学数学中概率的教学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,例谈小学数学中概率知识的教学,四川省小学教师培训中心,黎 波,02887771360,什么是概率？,概率是研究随机现象的一门学科。,随机现象跟我们其他的现象，或者跟确定性现象有什么不同呢？,第一，就是它的,不确定性,，也就是在相同的条件下做一件事，可能是这个结果，也可能是那个结果。举例说，掷一枚硬币，事先谁也无法预料，到底是正面朝上还是反面朝上。,第二，就是要能够重复做实验，或者说近似地认为它可以重复做实验，不是说所有的不确定性都是用概率来解决的。那么重复做实验以后，人们发现每一次虽然无法确定，但是重复做实验中，它会呈现一种,稳定性,。所以有人把它叫做偶然中的规律性，这是有一定的道理的。如果一点规律都没有的话，可能就不会有这个学科的产生了。,一、概率论的产生与发展,1.,最早出现在赌博和游戏活动中（约公元前,2000,年左右）；,2.14,世纪以后，人们开始研究保险业务和赌博中的赌注问题，标志着随机数学的出现,;,3.17,世纪中期正式产生概率和统计学科。其中最为著名的是法国数学家帕斯卡和费马于,1654,年通过书信各自解决的“点数问题”。,发展,（,1,）,18,世纪是概率论正式形成和发展时期。伯努利发现了“大数定律”，,1718,年法国数学家棣莫弗发表了,机遇原理,，拉普拉斯发表了,分析概率论,，系统总结了概率论，完善了古典概率论。,（,2,）,20,世纪初前苏联数学家柯尔莫哥洛夫于,1933,年发表了,概率的公理化结构,，建立了概率论的公理体系，为概率论奠定了严格的逻辑基础。概率和数理统计开始分家，成为两个数学分支。,（,3,）,20,世纪,50,年代开始，概率论进一步发展，理论研究和实际应用都取得了空前的发展，尤其是计算机的使用，使概率统计成为一个非常庞大的数学分支。,意义,（,1,）就应用而言，对社会发展有促进作用。,（,2,）就认识论而言，表明人们对偶然性与必然性之间的辨证关系有了进一步的认识。,随机数学是研究大量偶然性事件的规律的科学，是从事物的偶然性中揭示事物发展的必然趋势的学科。因此随机数学从量化上进一步认识偶然性服从于现象内部蕴藏的必然性。,（,3,）就方法论而言，是从局部到总体的归纳方法。（统计推断可以保证归纳的正确性。）,强化“概率与统计”学习内容的意义,1,形成合理解释数据的能力,我们正处在一个信息社会中，我们的生活正在被以数据所构成的信息包围着和控制着，因此对一般公民来说，学会对数据的认识、收集、描述、分析和利用是一种非常重要的能力。而这些能力应该从小学开始进行培养。正如邓小平总书记说过：计算机教学应从娃娃抓起。,2,提高科学认识客观世界的能力,我们生活的世界里，到处有无法确定甚至不可预测的随机现象，学会从这些随机现象中找出规律，就能更好地认识、描述和分析客观世界。利用一些统计和概率知识来科学、客观地认识世界，也是现代公民必备的基本素养。,3,发展现实情境中解决实际问题的能力,在现实世界中，现象和问题是以各种各样的形式存在的，而且又有非常强的偶然性和变化性，它需要现代社会成员通过自己的观察、分析，从大量的偶然性现象背后揭示出某些规律来，才能对自己的行为作出有效的选择，才能独立地去解决实际问题。,二、小学阶段教学内容及学段目标,（一）第一学段的主要内容和教学目标,标准指出：本学段中，学生将对数据统计过程有所体验，学习一些简单的收集、整理和描述 数据的方法，能根据统计结果回答一些简单的问题，初步感受事件发生的不确定性和可能性。,主要包括,统计活动初步,和,不确定现象,两部分。,不确定现象,这是新课程中新增加的主要内容之一。本学段的主要内容是：初步体验有些事件发生是确定的，有些是不确定的，能够列举简单实验所有可能发生的结果，知道有些事件发生的可能性大小，并能对这些可能性的大小用文字语言进行描述。,（二）第二学段的主要内容和教学目标,本学段中，学生将进一步经历简单数据统计过程，进一步学习收集、整理和描述数据的方法，并根据数据分析的结果作出简单的判断和预测；将进一步体会事件发生可能性的含义，并能计算一些简单事件发生的可能性。,主要包括,数据统计过程,和,可能性,两部分。,可能性,本学段的主要内容是：能判断一些事件发生的可能性大小，并能对这些可能性的大小用文字语言进行描述，作出刻画。即能用自己的语言描述影响事件之所以发生可能性的主要理由并作出预测。,三、新课程标准修订的意见,第一学段：,鼓励学生运用自己的方式（包括文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果，删除“象形统计图、一格代表一个单位的条形统计图”、“平均数”的内容，相关要求放在了第二学段。,删除“知道可以从报刊、杂志、电视等媒体中获取数据信息”。,删除“不确定现象”部分，相关要求放在了第二学段。,第二学段,:,删除“中位数”、“众数”的内容，相关要求放在了第三学段。,删除“体会数据可能产生的误导”。,降低了“可能性”部分的要求，只要求学生体会随机现象，并能对随机现象发生的可能性大小做定性描述，定量描述放入第三学段。,四、教学建议,深刻体会随机现象的特点,不确定性和大量重复实验后的稳定性,自己有时猜对，有时又猜错,摸球游戏的规则,抛硬币实验的历史数据,组内数据的不一致,（,2,）,做实验的价值,通过大量活动来获得对可能性的体验,对是否做概率实验的讨论,（,1,）不做，或者是少做概率实验的原因,第一，相信学生不用做他完全能够知道。,第二，有时做了反而就混乱了。,第一，就是实验是现实生活中获得对概率,或者估计概率的一个很一般的方法。,就像意外死亡率一样的，现实生活中有大量这样的问题，需要靠统计频率来估计概率。那么，由于学生对现实世界中比较复杂的实际问题难以体会，所有孩子现在做一些摸色子的可以操作的实验。总有一天他要进入到现实生活中去，他要知道实验是可以帮助我们估计概率的，那他就会想到这样一种手段。如果你不做实验或者少做实验，他永远用理论分析的方法去解决，一旦遇到这个问题的时候，他发现没有公式，就比较麻烦。,“计算”的方法只能处理古典概型（所有基本结果是有限且等可能的），大量事件发生的概率是不能依靠计算得出的（如图钉钉尖着地的概率）。,陈希孺先生指出：“一事件出现的可能性大小，应由在多次重复实验中其出现的频繁程度去刻画。”,第二、对于不那么显然的计算结果，尤其是与 学生经验不符的结果，学生不能信服。,案例：掷两个均匀的硬币，两面都是正、两面都是反、一反一正的概率各为,1/3,？,第三，实验能帮助澄清学生对随机现象的错误认识。有的孩子会出现很多错误的认识，这是非常正常的，我们可以靠实验来帮助他澄清。,案例：华应龙北师大版数学二年级,抛硬币,组织小组活动：,盒子里有,3,个黄球、,3,个白球。每次摸出,1,个。摸之前先猜一猜，,你会摸到什么球？每次你都猜对了吗？,活动结束时，老师询问：有没有每次都猜对的同学？（全班有三人举手。）,师：为什么我们那么多的同学都没有猜对呢？,（此时，三个猜对的同学急于向大家介绍方法。）,生,1,：黄球和白球摸在手里的感觉不一样。,师：（饶有兴趣地）真的吗？让我们见识一下。,生,1,：（摸一个球）黄色！,（拿出后是白色。生,1,低头坐了下去。）,师：怎么不试了？,生,1,：没有信心了。,师：怎么就没有信心了？,生,1,：摸在手里分辨不出来。,生,2,：我有一个办法，如果第一个摸出来的是黄球，把这个黄球放回盒子，放在哪个角落第二次还从那里摸，一定还是黄球。,生,3,：（反驳）放回去要摇一摇，你这么做就不遵守规则了。,生,4,：如果第一次摸出来的是黄球，第二次就猜是白球。,师：你刚才就是这样猜的，结果全对了？,生,4,连连点头。,师：（半信半疑地）还有这个规律？摸一个！,（生,4,摸出一个白球，放回。）,生,4,：第二次一定是黄球。,（第二次生,4,果真摸出一个黄球。）,师：看来，下一次,生,4,：第三次该是白球了！,（第三次生,4,摸出一个黄球。）,师：这个规律还成立吗？,学生们直摇头。,师：通过刚才的摸球游戏，你发现了什么？,生：盒子里又有黄球又有白球，摸出一个球，可能是黄球，也可能是白球。,案例片断：,对话,1:,两学生用“石头,剪刀,布”的方式决定输赢,.,师,:,为什么你一定会赢他,?,生,:,因为我有信心,.,(,对概率可能的误解,:,不承认偶然性,.,例如,:,我喜欢红色,所以我能摸出红球,.),对话,2:,盒里有,4,个红球,分别编号为,1,2,3,4;,还有,1,个白球,编号为,5.,在前面的实验中,已经摸到,2,次,3,号球,1,次,1,号球,1,次,5,号球,.,教师摸出一球,让学生猜他手里是几号球,.,生,1:,是,2,号球,因为刚才没摸到,.,生,2:,是,3,号球,因为刚才摸到,2,次,3,号球,.,(,对概率可能的误解,:,赌徒心理,.),对话,2:,生,3:,肯定不可能摸到白球,因为摸到白球的可能性很小,.,(,对概率可能的误解,:,机会小就是不发生,机会大就一定会发生,.),对话,3:,学生连续两次摸球,(,摸完之后又放回盒中,),盒中有黄球也有白球,.,生,:,我想这次摸到黄球,下次一定摸到白球,.,(,对概率可能的误解,:,偶然性是存在一些“所谓的必然规律的”,.),活动中学生是“操作工”还是“探究者”？,案例：这是我们经常看到的情形,师：（出示一个盒子）盒子里有,9,个白球、,1,个黄球。如果从中,任意摸出,1,个球，可能是什么颜色的球？,（学生略做思考后猜测。）,师：好，下面就请你们分小组摸球，记录自己摸球的结果，并与小组内的同学交流摸球的情况。,（各小组摸球、统计、讨论，教师巡视。）,师：谁愿意代表本组汇报一下小组交流的情况？,（各小组汇报。）,师：摸出白球的次数多，说明摸出白球的可能性,（生齐答：大）；反过来说，摸出黄球的次数少，说明摸出黄球的可能性,（生齐答：小）。,师：这个游戏告诉我们，虽然事件的发生是不能确定的，但是可能性是有大有小的。,牛献礼老师的教学案例,师：（出示盒子）同学们，这个盒子里放有白色和黄色的球共,9,个。不过两种球的个数是不相等的，如果不打开盒子看，你们有办法知道哪种颜色的球多吗？,生：可以猜。,师：猜，是一种方法。那你猜是哪种颜色的球多一些？,生：我猜是白球多一些。,生：我猜是黄球多一些。可到底是哪种颜色的球多，我们还是不能确定，这样瞎猜，即使猜对了也只能说明运气好。,生：（迟疑地）老师，我有个办法，能不能用在二年级时摸球的方法，每次摸出一个球看看颜色，然后放回去再摸。多摸几次，最后看摸出哪种颜色的球多，就说明盒子里这种颜色的球多。,师：大家明白他的意思吗？谁能再解释一下。,生：他的意思是从摸球的次数中判断哪种颜色的球多。摸出的次数多，就说明这种颜色球的个数多。,师：你们认为这个办法行吗？,生：（齐）行。,师：好，下面就来做这个实验。,（出示活动要求：每人每次摸出一个球，记录员记录结果；把球放进盒子，摇一摇，下一位同学继续摸，每组共摸,20,次。）,生：我们组认为盒子里的白球多。因为我们摸了,20,次，白球出现了,15,次，黄球只出现了,5,次。,生：我们组摸了,20,次，白球出现了,17,次，黄球只出现了,3,次。我们也认为白球多。,师：从摸出球的次数，我们推断出盒子里的白球可能多一些。我们的推断是否正确，最终还得,生：把盒子打开看看。,（各组打开盒子，发现白球有,8,个、黄球,1,个。学生们欢呼雀跃。）,师：如果把这几个球放回去再摸一次，会摸到什么球？,生：可能是白球，也可能是黄球。,师：会不会一定是白球。,生：不会，因为盒子里既有白球也有黄球，所以摸出来的也可能是黄球。,生：盒子里白球多，黄球，摸出白球的可能性大，摸出黄球的可能性小。但是可能性再小也是有可能的啊。所以摸出的不一定全是白球。,师：说得真好！那么，同学们，通过刚才的摸球游戏，你们对“可能性”有了哪些新的认识？,让学生在活动中积累体验很重要，而活动前、活动中、活动后的思考更重要。,潘小明,用分数表示可能