第四章 ,第一节可测函数的定义及其简单性质

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一节,可测函数及其性质,第四章 可测函数,新的积分（,Lebesgue,积分,从,分割值域,入手）,y,i,y,i-1,用,mE,i,表示,E,i,的“,长度,”,问题：怎样的,函数,可使,E,i,都有“长度”,(,测度,)?,1,可测函数定义,例,(1),零集上的任何函数都是可测函数。,注：称外测度为,0,的集合为零集；零集的,子集，有限并，可数并,仍为零集,定义：设,f(x),是可测集,E,上的实函数,(,可取,),，,若,可测，则称,f(x),是,E,上的可测函数。,Th1.,可测函数的等价描述,证明,：利用（,1,）与（,4,），（,2,）与（,3,）互为余集，以及,定义：设,f(x),是可测集,E,上的实函数，则,f(x),在,E,上可测,对前面等式的说明,(,a-1/n a,(,a a+1/n,推论,设,f(x),在,E,上可测，则,Ef=a,总可测，不论,a,是有限实数或,.,证明：,Ef=a=Efa-Efa,（,2,）连续函数,对比：,设,f(x),为,(a,b),上有限实函数，,()()(),f(x),在 处连续,(,对闭区间,端点,则用,左或右连续,),设,f(x),为,E,上有限实函数，称,f(x),在 处连续,注：一个函数在其定义域的每一个孤立点都是连续的。,Th2,可测集,E,上的连续函数定为可测函数,证明：任取,xEfa,则,f(x)a,由连续性假设知，,则,G,为开集，当然为可测集，,Th3,（,1,）设,f(x),是可测集,E,上的可测函数，而,E,1,为,E,上的可测子集，则,f(x),看作是定义在,E,1,上的函数时，它是,E,1,上的可测函数。,（,2,）设,f(x),定义在有限个可测集,E,i,(i=1,2,s),的并集上，且,f(x),在每个,E,i,上都可测，则,f(x),在,E,上也可测。,证明：,E,1,fa=E,1,Efa,(,3),简单函数是可测函数,可测函数,注：,Dirichlet,函数是简单函数,任何简单函数都是可测函数。,0 1,若,(E,i,可测且两两不交），,f(x),在,每个,E,i,上取常值,c,i,，则称,f(x),是,E,上的,简单函数,；,R,中的可测子集,E,上的单调函数,f(x),必为可测函数。,a,I,a,x,1,x,2,由,f,单调增知下面的集合为可测集,证明：不妨设,f,单调增，对任意,aR,2.,可测函数的四则运算,引理 设,f(x),g(x),是,E,上的可测函数，则,Efg,和,Efg,都是可测函数。,证明：对任意的,x,0,Efg,x,0,Efr Egrg(x,0,).,所以：,Th4,若,f(x),g(x),是,E,上的可测函数,则下列函数（假,定他们在,E,上有定义）皆在,E,上可测：,f(x)+g(x),f(x),，,1/f(x),f(x)g(x),a-g(x)r f(x),关于,cf(x),当,c=0,时，显然可测，,(1)Ef+ga=Ef-g+a,现在对一般情形讨论：,可测函数类关于确界运算和极限运算封闭。,推论：可测函数列的极限函数仍为可测函数,（连续函数列的极限函数不一定为连续函数）。,若,f,n,(x),是,E,上的可测函数,则下列函数仍为,E,上的可测函数。,对上式的说明：,下确界：,(,a-1/n a,例,1,设,f,n,是可测函数列，则它的收敛点全体和发散,点全体是可测集,.,证明：发散点全体为,收敛点全体为,再,函数的正部与负部,则,f,+,(x),f,-,(x),是定义在,E,上的非负函数，分别成为,f(x),的正部和负部,非负函数,f(x),g(x),是某个实函数的正部和负部的充要条件,是,Ef0 Eg0=,Th5,可测函数与简单函数之间的关系,若,m(E,fg,)=0,则称,f(x)=g(x),在,E,上几乎处处成立,记作,f(x)=g(x)a.e.,于,E,。（,almost everywhere,）,设,是一个与集合,E,的点有关的命题，如果存在,E,的子集,M,，满足,mM=0,，使得,在,EM,上恒成立，也就,是说,EE,成立,是零测度集，则我们称,在,E,上,几乎处,处成立,，或说,a.e.,于,E,。,