对数函数-函数与导数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,学案,7,对 数 函 数,返回目录,1.,对数的概念,(1),对数的定义,一般地,如果,a,x,=N(a0,且,a1),那么数,x,叫做以,a,为底,N,的对数,记作,其中,叫做对数的底数,叫做真数,.,(2),几种常见对数,x=log,a,N,a,N,考点分析,返回目录,对数形式,特点,记法,一般对数,底数为,a(a0,且,a1),常用对数,底数为,自然对数,底数为,log,a,N,10,lgN,e,lgN,2.,对数的性质与运算法则,(1),对数的性质,=,;=,(a0,且,a1).,N,N,返回目录,(2),对数的重要公式,换底公式,:,(a,b,均大于零且不等于,1);,log,a,b=,推广,log,a,blog,b,clog,c,d=,.,(2),对数的运算法则,如果,a0,且,a1,M0,N0,那么,:,log,a,(MN)=,;,=,;,=,(nR);,.,nlog,a,M,3.,对数函数的图象与性质,a1,0a1,时,当,0 x1,时,当,0 x0,y0,y0,增函数,减函数,返回目录,4.,反函数,指数函数,y=a,x,与对数函数,互为反函数,它们的图象关于直线,对称,.,返回目录,y=x,y=log,a,x,返回目录,考点一 对数式的运算,计算,:,【,分析,】,利用对数定义求值,;,利用对数的运算性质,.,【,解析,】,(1),解法一,:,利用对数定义求值,.,设,=x,则,题型分析,返回目录,解法二,:,利用对数的运算性质求解,.,(2),原式,=,【,评析,】,(1),在对数运算中,先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式,使幂的底数最简,然后再运用对数运算法则化简合并,在运算中要注意化同底和指数与对数互化,.,(2),熟练地运用对数的三个运算性质,并配以代数式的恒等变形是对数计算、化简、证明常用的技巧,.,返回目录,对应演练,计算下列各式的值,:,返回目录,(2),原式,=,返回目录,(1),原式,=,(3),原式,返回目录,返回目录,考点二 对数函数的图象,当,x(1,2),时,不等式,(x-1),2,log,a,x,恒成立,则,a,的取值范围是,(),A.(0,1)B.(1,2)C.(1,2,D.(0,),【,分析,】,此不等式不是一般的不等式,无法直接求解,但可利用数形结合画出函数的图象,使,y=log,a,x,的图象在,x(1,2),上位于,y=(x-1),2,的图象上方,.,返回目录,【,解析,】,设,f,1,(x)=(x-1),2,f,2,(x)=log,a,x.,要使当,x(1,2),时,不等式,(x-1),2,log,a,x,恒成立,只需,f,1,(x)=(x-1),2,在,(1,2),上的图象在,f,2,(x)=log,a,x,的下方即可,.,当,0a1,时,如图,要使在,(1,2),上,f,1,(x)=(x-1),2,的图象在,f,2,(x)=log,a,x,的下方,只需,f,1,(2)f,2,(2),即,(2-1),2,log,a,2.,log,a,21,1log,b,x0log,c,x,则（）,A.0c1ba,B.0ba1c,C.0c1ab,或,0ab1c,D.0c1ab,或,0ba11,时，三个函数的图象关系如图（,1,）所示，此时有,0c1ab.,返回目录,若,0 x1,时，则三个函数的图象关系如图（,2,）所示，此时有,0ba10,a1),如果对于任意,x,3,+),都有,|f(x)|1,成立,试求,a,的取值范围,.,【,分析,】,当,x,3,+),时,必有,|f(x)|1,成立,可以理解为函数,|f(x)|,在区间,3,+),上的最小值不小于,1.,【,解析,】,当,a1,时,对于任意,x,3,+),都有,f(x)0.,|f(x)|=f(x),而,f(x)=log,a,x,在,3,+),上为增函数,对于任意,x,3,+),有,f(x)log,a,3.,因此,要使,|f(x)|1,对于任意,x,3,+),都成立,.,只要,log,a,31=log,a,a,即可,1a3.,当,0a1,时,对于,x,3,+),有,f(x)0,|f(x)|=-f(x).,f(x)=log,a,x,在,3,+),上为减函数,-f(x),在,3,+),上为增函数,.,对于任意,x,3,+),都有,|f(x)|=-f(x)-log,a,3.,返回目录,【,评析,】,本题属于函数恒成立问题,即为,x,3,+),时,函数,f(x),的绝对值恒大于等于,1.,恒成立问题一般有两种思路,:,一是利用图象转化为最值问题,;,二是利用单调性转化为最值问题,.,这里函数的底数为字母,a,因此需对参数,a,分类讨论,.,因此,要使,|f(x)|1,对于任意,x,3,+),都成立,只要,-log,a,31,成立即可,log,a,3-1=log,a,即 ,3,a1,在区间,(-,1-,上是减函数,g(x)=x,2,-ax-a,在区间,(-,1-,上也是单调减函数,且,g(x)0.,1-a2-2,g(1-)0,(1-),2,-a(1-)-a0,解得,2-2 a2.,故,a,的取值范围是,a|2-2 a0 ,x-10 ,p-x0 ,由得,a1,由得,x1,f(x),的定义域是,(1,p).,返回目录,【,解析,】,(1)f(x),有意义时,有,(2)f(x)=log,2,(x+1)(p-x),返回目录,当,即,p3,时,0 ,2log,2,(p+1)-2,当 ,1,，即,1p3,时，,0,3,时，,f(x),的值域是,(-,2log,2,(p+1)-2,;,当,1 .,（,1,）,f(x+1)=f(x-1),且,f(x),是,R,上的偶函数，,log,a,(2+x),x,-1,0,log,a,(2-x),x,0,1,.,f(x+2)=f(x)=,返回目录,返回目录,(2),当,x,2k-1,2k,时，,f(x)=f(x-2k)=log,a,(,2+x-2k),同理，当,x,2k,2k+1,时，,f(x)=log,a,(2-x+2k).,log,a,(2+x-2k),x,2k-1,2k,log,a,(2-x+2k),x,2k,2k+1,(kZ).,(3),由于函数以,2,为周期,故考查区间,-1,1,.,若,a1,log,a,2=,即,a=4.,若,0a0,且,a1),互为反函数,要能从概念、图象和性质三个方面理解它们之间的联系与区别,.,2.,在解决问题的思路和方法上,要注意与指数进行比较,.,3.,比较两个幂值的大小是一种常见的题型,也是一类容易做错的题目,.,解决这类问题时,首先要分清是底数相同还是指数相同,.,如果底数相同,可利用指数函数的单调性,;,如果指数相同,可利用图象,(,如下表,).,返回目录,同一坐标系下的图象关系,底的关系,ab1,图 象,底的关系,1ab0,图 象,y=a,x,与,y=b,x,y=log,a,x,与,y=log,b,x,y=a,x,与,y=b,x,y=log,a,x,与,y=log,b,x,当底大于,1,时,底越大,图象越靠近坐标轴,;,当底小于,1,大于,0,时,底越小,图象越靠近坐标轴,如果底数、指数都不同，则要利用中间变量,.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,