定积分在几何上的应用(面积)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章,定积分及其应用,6,定积分在几何上的应用,5.6,定积分在几何上的应用,若能把某个量表示成定积分,我们就可以计算了,.,回顾,曲边梯形求面积的问题,问题的提出,a,b,x,y,o,一、定积分应用的微元法,A,面积表示为定积分的步骤如下,（,3,）求和，得,A,的近似值,（,4,）求极限，得,A,的精确值,a,b,x,y,o,提示,面积微元,对,以上过程进行简化,:,这种简化以后的定积分方法叫,“微元法”,微元法的一般步骤：,两边积分,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,1.,直角坐标系情形,二、用定积分求平面图形的面积,上曲线,下曲线,x,o,y,x,x+dx,总之,x+dx,x,解,两曲线的交点,面积微元,选 为积分变量,可直接由公式得到,x+dx,x,求面积的一般步骤：,1.,作图求交点,.,2.,用定积分表示面积,.,3.,求出定积分的值,.,微元法,公式法,解,由公式得：,例2,可直接从几何意义上得到,x,y=,sin,x,o,y,解,两曲线的交点,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选,x,吗？,选 为积分变量,选 为积分变量,y,y,+,dy,说明,:,合理选择积分变量会使计算简单,.,一般地,:,y+dy,y,o,y,x,d,c,o,y,x,d,c,y+dy,y,右曲线,左曲线,例,4,解 如图求得交点为,o,x,y,取,y,为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,（相当于定积分的换元）,由,知,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于,4,倍第一象限部分面积,面积元素,曲边扇形的面积为,:,2.,极坐标系情形,解,由对称性知总面积,=4,倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下,平面图形的面积,.,（,注意恰当的,选择积分变量,有助于简化积分运算）,总结,微元法,o,y,x,o,y,x,o,y,x,o,y,x,思考题,请,列出,f,(,x,),所满足的关系式,