垂直平分线的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,什么叫线段的垂直平线？,线段垂直平分线的定义:,经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）。垂直平分线，简称“中垂线”。,复习回顾,A,B,C,D,o,CD 是AB的垂直平分线 （中垂线）,OA=OB；CDAB,怎样作出线段的垂直平分线,？,（1）折纸法,（2）过中点画垂线法,（3）,尺规作法,探究新知,作法,：1、分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧交于点E、F。,2、过点E、F作直线。,则直线EF就是线段AB的垂直平分线（图16-11）,A,B,E,F,图16-11,尺规作法,1、为什么以“大于1/2AB长”为半径？,、为什么这样作出的直线EF就是线段AB的垂直平分线呢？设所作直线EF交AB于点O，请你根据三角形全等的判定定理给出证明,思考,O,A,B,PA=PB,P,1,P,1,A=P,1,B,命题,：,线段垂直平分线上的,点,和这条线段两个端,点,的距离相等。,P,M,N,C,画一画,：,作线段AB的垂直平分线MN，垂足为C；在MN上任取一点P，连结PA、PB；,量一量：,PA、PB的长，你能发现什么？,归纳：,由此你能得到什么规律？,操作,命题：线段垂直平分线上的,点,和这条线段两个,端点,的距离相等。,A,B,P,M,N,C,PA=PB,直线MNAB,垂足为C,且AC=CB.,已知：如图，,点P在MN上.,求证：,证明：MNAB,垂足为C,PCA=PCB,在 PAC和 PBC中，,AC=BC,PCA=PCB,PC=PC,PAC PBC,PA=PB,线段垂直平分线,性质定理,：,线段垂直平分线上的,点,和这条线段两个,端点,的,距离相等。,符号语言,AC=BC,MNAB,P是MN上任意一点(已知),PA=PB(,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等,).,A,B,P,M,N,文字语言,：,C,例题,、,如图，在ABC中，ED垂直平分AB，,1)若BD10，则AD=,。,2)若A50，则ABD,。,3)若AC14，BCD的周长为24，则BC=,。,学以致用,高 速 公 路,A,B,在某高速公路L的同侧，有两个工厂A、B，为了便于两厂的工人看病，市政府计划在公路边上修建一所医院，使得两个工厂的工人都没意见，问医院的院址应选在何处？你的方案是什么?,L,实际问题1,实战演练,针对性训练,1、,如图，已知直线,MN,是线段,AB,的垂直平分线，垂足为,D,，点,P,是,MN,上一点，若,AB,=10 cm，则,BD,=_cm；若,PA,=10 cm，则,PB,=_cm.,1题图,2、如图，在,ABC,中，,BC,的中垂线交斜边,AB,于,D,，图中相等的线段有（）,A、1组,B、2组,C、3组,D、4组,针对性训练,1,2,3、已知，如图，,y,轴垂直平分线段,BC,，点,A,在,y,轴上，点,B,、,C,在,x,轴上。,（1）若点,C,的坐标为（3，0），则点,B,的坐标是_；,（2）若点,B,的坐标为（,m,，0），则点,C,的坐标是_。,针对性训练,如图1，在ABC中，已知AC=27，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，BCE的周长等于50，求BC的长.,变式1：如图1，在ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，若BEC=70，则A=？,图1,作业,：,已知：在,ABC,中，ON是AB的垂直平分线 OA=OC。,求证：点O在BC的垂直平分线上。,例题扩展,A,B,C,O,N,证明：,连结OB。,ON是AB的垂直平分线,（已知）,OA=OB,（线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等,）,OA=OC,（已知）,OB=OC,（等量代换）,点O在BC的垂直平分线上。,（到线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。）,线段的垂直平分线,已知:如图,在ABC中,边AB，BC的垂直平分线交于P.,求证：点P在AC的垂直平分线上;,B,A,C,M,N,M,N,P,PA=PB=PC,PB=PC,点P在线段BC的垂直平分线上,PA=PB,点P在线段AB的垂直平分线上,分析：,PA=PC,点P在AC的垂直平分线上,例2：,如图，在RtABC中，C=90度，DE是AB的垂直平分线，连接AE，1：2=1：2，求B的度数。,A,E,D,B,C,试一试,已知:如图,在等腰三角形ABC中,腰AB,的垂直平 线MN交AC于点 D,BC=8厘米,BDC的周长20厘米.,求:AB的长.,A,B,C,D,M,N,已知:如图,D是BC延长线上的一点,BD=BC+AC.,求证:点C在AD的垂直平分线上.,A,B,C,D,8,已知：如图，ABC中，AC=16cm，DE为AB的垂直平分线，BCE的周长为26cm，求BC的长。,做一做,解:,DE是AB的垂直平分线,EA=EB(线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）,BCE周长=CE+EB+BC,又AC=CE+EA=CE+EB,BC=BCE周长-(CE+EB),=BCE周长-AC,=10cm,解:,做一做,已知：如图，P为MON内一点，OMPA于E，ONPB于F，EA=EP，FB=FP，若AB长为15cm，求PCD的周长。,OMPA于E，EA=EP，点C在OM上，CA=CP(线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等）,同理，,ONPB于F，FB=FP，点D在ON上，,DB=DP,PCD周长=CP+CD+DP=CA+CD+DB=AB,又AB=15cm,PCD周长=15cm,二、逆定理：,到线段两个端点距离相等的点，在这条,线段的垂直平分线上。,线段的垂直平分线,一、性质定理：,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端,点的距离相等。,PA=PB,点P在线段AB的垂直平分线上,到线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上,线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等,三、,线段的垂直平分线的集合定义：,线段的垂直平分线可以看作是到线段两上端点距离相等的所有点的集合,小结,