导数及其应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高考,二轮,数学（文科）,第四讲导数及其应用,考纲点击,导数的应用,1,了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调性区间,(,其中多项式函数一般不超过三次,),2,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值,(,其中多项式函数一般不超过三次,),；会求闭区间上函数的最大值、最小值,(,其中多项式函数一般不超过三次,),3,会利用导数解决某些实际问题,基础梳理,三、导数的应用,1,函数的单调性与导数的关系,一般地，函数的单调性与其导数的正负值有如下关系：在某个区间,(a,，,b),内,(1),如果,_,函数,f(x,),在这个区间内单调递增,(2),如果,_,函数,f(x,),在这个区间内单调递减,(3),如果,_,f(x,),在这个区间内是常数函数,2,函数的极值与导数的关系,一般地，对于函数,y,f(x,),(1),若在点,x,a,处有,f(a,),0,，且在点,x,a,附近的左侧,_,，右侧,_,，称,x,a,为,f(x,),的极小值点；,_,叫函数,f(x,),的极小值,(2),若在点,x,b,处有,f(b,),0,，且在点,x,b,附近在左侧,_,，右侧,_,，称,x,b,为,f(x,),的极大值点，,_,叫函数,f(x,),的极大值,3,求函数,y,f(x,),在,a,，,b,上的最大值与最小值的步骤：,(1),求函数,y,f(x,),在,(a,，,b),内的,_,(2),将函数,y,f(x,),的各极值与端点处的函数值,f(a,),，,f(b,),比较，其中最大的一个是,_,，最小的一个是,_,整合训练,答案：,(1)B,(2)C,(2)(2010,年山东卷,),已知某生产厂家的年利润,y(,单位：万元,),与年产量,x(,单位：万件,),的函数关系式为,y,234,，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为,(,),A,13,万件,B,11,万件,C,9,万件,D,7,万件,利用导数解决曲线的切线问题,已知函数,f(x,),(x,2,ax,2a,2,3a)e,x,(xR),，其中,aR,.,(1),当,a,0,时，求曲线,y,f(x,),在点,(1,，,f(1),处的切线的斜率；,(2),当,a,时，求函数,f,(x),的单调区间与极值,解析：,(1),当,a,0,时，,f(x,),x,2,e,x,，,f(x,),(x,2,2x)e,x,，故,f(1),3e.,所以曲线,y,f(x,),在点,(1,，,f(1),处的切线的斜率为,3e.,(2)f(x),x,2,(a,2)x,2a,2,4ae,x,.,令,f(x,),0,，解得,x,2a,，或,x,a,2.,由,a,知，,2aa,2.,以下分两种情况讨论,若,则,2a,a,2.,当,x,变化时，,f(x,),，,f(x,),的变化情况如下所示：,x,(,，,2a),2a,(,2a,，,a,2),a,2,(a,2,，,),f(x,),0,0,f(x,),极大值,极小值,所以,f(x,),在,(,，,2a),，,(a,2,，,),内是增函数，在,(,2a,，,a,2),内是减函数,函数,f(x,),在,x,2a,处取得极大值,f(,2a),，且,f(,2a),3ae,2a,.,函数,f(x,),在,x,a,2,处取得极小值,f(a,2),，且,f(a,2),(4,3a)e,a,2,.,若 则,2a,a,2,，当,x,变化时，,f(x,),，,f(x,),的变化情况如下表：,x,(,，,a,2),a,2,(a,2,，,2a),2a,(,2a,，,),f,(x,),0,0,f(x,),极大值,极小值,所以,f(x,),在,(,，,a,2),，,(,2a,，,),内是增函数，在,(a,2,，,2a),内是减函数,函数,f(x,),在,x,a,2,处取得极大值,f(a,2),，且,f(a,2),(4,3a)e,a,2,.,函数,f(x,),在,x,2a,处取得极小值,f(,2a),，且,f(,2a),3ae,2a,.,跟踪训练,1,设函数,f(x,),x,3,ax,2,9x,1(a,0),若曲线,y,f(x,),的斜率最小的切线与直线,12x,y,6,平行，求：,(1)a,的值；,(2),函数,f(x,),的单调区间,(2),由,(1),知,a,3,，,因此,f(x,),x,3,3x,2,9x,1,，,f(x,),3x,2,6x,9,3(x,3)(x,1),，,令,f(x,),0,，解得：,x,1,1,，,x,2,3.,当,x(,，,1),时，,f(x,),0,，,故,f(x,),在,(,，,1),上为增函数；,当,x(,1,3),时，,f(x,),0,，故,f(x,),在,(,1,3),上为减函数；,当,x(3,，,),时，,f(x,),0,，故,f(x,),在,(3,，,),上为增函数,由此可见，函数,f(x,),的单调递增区间为,(,，,1),和,(3,，,),；单调递减区间为,(,1,3),利用导数研究函数的单调性问题,(2010,年重庆卷,),已知函数,f(x,),ax,3,x,2,bx,(,其中常数,a,，,bR,),，,g(x,),f(x,),f(x,),是奇函数,(1),求,f(x,),的表达式；,(2),讨论,g(x,),的单调性，并求,g(x,),在区间,1,2,上的最大值和最小值,解析：,(1),由题意得,f(x,),3ax,2,2x,b.,因此,g(x,),f(x,),f(x,),ax,3,(3a,1)x,2,(b,2)x,b.,因为函数,g(x,),是奇函数，所以,g(,x),g(x,),，即对任意实数,x,，有,a(,x),3,(3a,1)(,x),2,(b,2)(,x),b,ax,3,(3a,1)x,2,(b,2)x,b,，从而,3a,1,0,，,b,0,，解得,a,，,b,0,，因此,f(x,),的表达式为,f(x,),x,3,x,2,.,跟踪训练,2,已知函数,f(x,),ln(ax,1),，,x0,，其中,a,0.,(1),若,f(x,),在,x,1,处取得极值，求,a,的值；,(2),求,f(x,),的单调区间,利用导数研究函数的极值与最值问题,(2009,年广东卷,),已知二次函数,y,g(x,),的导函数的图象与直线,y,2x,平行，且,y,g(x,),在,x,1,处取得最小值,m,1(m0),设函数,f(x,),.,(1),若曲线,y,f(x,),上的点,P,到点,Q(0,2),的距离的最小值为 ，求,m,的值；,(2)k(kR),如何取值时，函数,y,f(x,),kx,存在零点，并求出零点,.,跟踪训练,3,设,a,为实数，函数,f(x,),2x,2,(x,a)|x,a|.,(1),若,f(0)1,，求,a,的取值范围；,(2),求,f(x,),的最小值；,(3),设函数,h(x,),f(x,),，,x(a,，,),，直接写出,(,不需给出演算步骤,),不等式,h(x)1,的解集,.,a,1.,.,.,0,且,x,a,祝,您,学业有成,