计算物理 蒙特卡罗方法基础

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,计算机模拟方法,(1),蒙特卡洛方法,：,随机,性模拟方法或统计试验方法，又称蒙特卡洛,(Monte Carlo),方法。它是通过不断产生,随机数,序列,来模拟过程。自然界中有的过程本身就是随机的过程，物理现象中如粒子的衰变过程、粒子在介质中的输运过程,.,等。当然蒙特卡洛方法也可以借助概率模型来解决不直接具有随机性的确定性问题。,(2),分子动力学方法,：,确定,性模拟方法。它是通过数值求解一个个的粒子运动方程来模拟整个系统的行为。在统计物理中称为分子动力学（,Molecular Dynamics,）方法。,(3),离散型模拟方法,-,元胞自动机等,1,What is a Monte Carlo method?,2-1,蒙特卡罗方法的基础知识,the Comte de,Buffon,needle experiment,AD 1777,S,S,S,L,2,Stanislaw,Ulam,(1909-1984),Nicholas Metropolis(1915-1999),蒙特卡洛方法的起源,3,The Name of the Game,Metropolis coined the name“Monte Carlo”,from its gambling casino.,Monte-Carlo,Monaco,4,从蒙特卡洛模拟的,应用,来看，该类型的应用可以分为三种形式：,（,1,）,直接蒙特卡洛模拟,。,它采用随机数序列来模拟复杂随机过程的效应。,（,2,）,蒙特卡洛积分,。,这是利用随机数序列计算积分的方法。积分维数越高，该方法的积分效率就越高。,（,3,）,Metropolis,蒙特卡洛模拟,这种模拟是以所谓“马尔科夫”（,Markov,）链的形式产生系统的分布序列。该方法可以使我们能够研究经典和量子多粒子系统的问题。,5,一,基本思想,直接蒙特卡洛模拟法：,对求解问题本身就具有概率和统计性的情况。,如：,中子在介质中的传播，核衰变过程等，,思想,是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算机进行,直接,的抽样试验，然后计算其统计参数。,该方法也就是通常所说的,“,计算机实验,”,。,间接蒙特卡洛方法：,蒙特卡洛方法也可以人为地构造出一个合适的概率模型，依照该模型进行大量的统计实验，使它的某些,统计参量,正好是待求问题的解。,6,代表了该运动员的成绩。换言之，,为积分的估计值，或近似值。,现假设该运动员进行了,N,次射击，每次射击的弹着点依次为,r,1,，,r,2,，,，,r,N,，则,N,次得分,g,(,r,1,),，,g,(,r,2,),，,，,g,(,r,N,),的算术平均值,例,1,射击问题（打靶游戏）,-,直接蒙特卡洛方法,环数,7,8,9,10,击中次数,10,10,30,50,概率,0.1,0.1,0.3,0.5,假设射击,100,次，,平均成绩,7,设,r,表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，,g,(,r,),表示击中,r,处相应的得分数（环数），,f,(,r,),为该运动员的弹着点的,分布密度函数,，它反映运动员的射击水平。该运动员的射击成绩为,用概率语言来说，,g,(,r,),是随机变量，,的数学期望，即,在该例中，用,N,次试验所得成绩的,算术平均值,作为数学期望,的估计值（积分近似值）。,8,(1),巴夫昂,(,Buffon,),投针实验,实验方案：,在平滑桌面上划一组相距为,s,的平行线，向此桌面随意地投掷长度,l,的细针，那末从针与平行线相交的概率就可以得到,的数值。,S,S,S,L,例,2,圆周率的数值计算,-,间接蒙特卡洛方法,9,数学统计理论计算：,S,A,B,针的投影长度,确定的 ，相交的概率,的平均值,假如在,N,次投针中，有,M,次和平行线相交。当,N,充分大时，相交的频数,M/N,就近似为细针与平行线相交的概率。,10,经过,n,次投针后得到,值的精度,针与平行线相交的概率,针与平行线相交的次数应满足,二项式分布,其期望值为,的方差,的标准误差,的标准误差,相交和不相交,11,这意味着试验所得的值的,不确定性的范围,如下：,对,100,次投针为，,0.2374,对,10,000,次投针为，,0.0237,对,1,000,000,次投针为，,0.0024,可见，增加模拟的次数可以减小误差，但,不,可消除误差。,的标准误差,12,实验者,年份,投计次数,的实验值,沃尔弗,(Wolf),1850,5000,3.1596,斯密思,(Smith),1855,3204,3.1553,福克斯,(Fox),1894,1120,3.1419,拉查里尼,(,Lazzarini,),1901,3408,3.1415929,前人进行了实验，其结果列于下表,：,13,(2),投点法实验,实验方案：,在平滑桌面上划正方形，同时划一内切圆，向此正方形随意地投点，那末投点落在圆内的概率就可以得到的,数值。,2,L,任意,投点,落在圆内的概率,14,的标准误差,的标准误差,的标准误差,的标准误差,投针,实验的,误差,分析,投点,实验的误差分析,对,100,次投针为，,0.1642,对,10,000,次投针为，,0.0164,对,1,000,000,次投针为，,0.0016,15,投点法,实验程序流程图,产生随机数,Yes,Yes,16,program main,use,freconstant,use,randomname,implicit none,integer,nmax,m,integer,i,ncount,real*8 lenr,lens,lenr2,real*8 x,y,dxy2,open(10,file=,Pi.dat,),call,randomval,(),lenr,=1.0d0,lens=2.0d0*,lenr,lenr2=,lenr,*,lenr,m=0,ncount,=0,write(*,*)Input,nmax,:,read(*,*),nmax,do i=1,nmax,call,randomnum,(),x=,lenr,*(rand-0.5d0)*2.0d0,call,randomnum,(),y=,lenr,*(rand-0.5d0)*2.0d0,dxy2=x*,x+y,*y,if(dxy2.le.lenr2)then,m=m+1,end if,ncount,=ncount+1,if(mod(ncount,100).,eq,.0)then,write(10,(I10,F15.6)ncount,4.0d0*,dble(m)/dble(ncount,),end if,end do,end,投点法,实验源程序,17,结果,和,分析,(1),总计投点,1.010,5,次,(2),该算法收敛，,计算值平均值为,3.1392,18,例,3,定积分计算,这时我们可以随机地向正方形内投点，最后统计落在曲线下的点数,M,，当总的掷点数,N,充分大时，,M/N,就近似等于积分值,I,。,O,x,y,1,1,19,间接,蒙特卡罗方法的思想,s,当问题可以抽象为某个确定的数学问题时，,(1),首先建立一个恰当的,概率模型,，即确定某个随机事件,A,或,随机变量,X,，使得待求的解等于随机事件出现的概率或随,机变量的数学期望值。,(2),然后进行,模拟实验,，即重复多次地模拟随机事件,A,或随机,变量,X,。,(3),最后对随机实验结果进行,统计平均,，求出,A,出现的频数或,X,的平均值作为问题的近似解。,该方法是按照实际问题所遵循的概率统计规律，用计算机进行直接的抽样试验，然后计算其统计参数。,直接,蒙特卡罗方法的思想,20,“,Buffon,投针法”计算圆周率。,作业,21,二,随机变量和随机变量的分布,随机变量：,是一个不止是一个值的变量（通常是连续的），,并且人们可能无法事先预言某一个特定的值。,但是：,其,分布,是可以了解的，假设我们研究某一连续性的变量，由随机变量的分布我可以得到它取某值的,概率,：,称为,u,的,概率分布密度函数,，它表示随机变量,u,在,u,到,u+du,之间值的概率。,称为,g(u,),的,分布函数,。,G(u,),在区间取值的单调递增函数,22,三,随机变量的独立性,假如我们考虑两个随机变量,u,和,v,的分布，则必须引进这两个变量的,联合,分布密度函数,h,(u,v,),，此时带来的数学问题就更为复杂。,若,h,(u,v,)=,p,(u,),q,(v,),，则两个随机变量,u,和,v,彼此独立。,对如下三个变量,(,x,y,),彼此独立；,(,x,z,),彼此独立；,(,y,z,),彼此独立；,(,x,y,z,),相互关联。,23,四,期望值、方差和协方差,一个函数,f,(u,),的,数学期望值,定义为该函数的平均值,称为,u,的,分布函数,。,通常,u,是在,a,b,区间,均匀,分布的随机变量，有,f,的数学期望值：,类似地，自由变量,u,的期望值为,u,的平均值，有,24,一个函数或变量的,方差,:,标准误差,或均方根误差：方差的平方根。,由于标准误差与其真值有相同的量纲，因而它比方差更具有物理意义。,假如,x,和,y,是随机变量，,c,是一个常数，则：,(1),数学期望是线性算符,(2),方差是非线性算符,x,y,间的协方差,25,协方差,0,，正关联,协方差,0,，负关联,注意：,(1),协方差,=0,x,y,为独立变量,(2),x,y,为独立变量,协方差,=0,26,五,大数法则和中心极限定理,概率论中的大数法则和中心极限定理是蒙特卡洛方法的基础。,1,大数法则,反映了大量随机数之和的性质。,如果函数在,a,b,区间，以,均匀,的概率分布密度随机地取,n,个数,u,i,，对每个计算出函数值,h,u,i,。大数法则告诉我们这些函数值之和除以,n,所得的值将收敛于函数,h,在区间,a,b,的期望值，即,大数法则保证了在抽取,足够多,的随机样本后，计算得到的积分的蒙特卡洛,估计值,将收敛于该积分的,正确结果,。,27,2,中心极限定理,中心极限定理,告诉我们：在有足够大，但又有限的抽样数,n,的情况下，蒙特卡洛,估计值,是如何,分布,的。,该定理指出：无论随机变量的分布如何，它的若干个独立随机变量抽样值之和总是满足正则分布,(,即高斯分布,),。,例如：,有一个随机变量,，它满足分布密度函数,f,(,x,),。如果我们将,n,个满足分布密度函数,f,(,x,),的独立随机数相加：,则,R,n,满足高斯分布。高斯分布可以由给定的期望值,和方差,完全确定下来。,28,当,n,充分大时，对任意的,，由列维定理知：,这说明，该积分的,期望值,与蒙特卡罗,估计值,之差在范围,内的,概率为,1-,。,29,积分的,期望值,与蒙特卡罗,估计值,之差在范围,内的,概率为,1-,。,显著水平,：,，置信水平：,1-,。,减小,蒙特卡罗,估计值,标准误差的办法：,(1),适当选取最优的随机变量，使其方差变小；,(2),提高实验次数；,这里蒙特卡罗方法,精度,的概念不是通常意义下收敛真值，而是在某一置信度，或者说是某一概率下收敛于真值。,2,为蒙特卡罗,估计值,标准误差，,30,蒙特卡罗方法的特点,优点,能够比较逼真地描述具有随机性质的事物的特点及物理实验过程。,受几何条件限制小。,收敛速度与问题的维数无关。,具有同时计算多个方案与多个未知量的能力。,误差容易确定。,程序结构简单，易于实现。,缺点,收敛速度慢。,误差具有概率性。,在粒子输运问题中，计算结果与系统大小有关。,31,