求解质点运动方程的问题课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,1-1,质点和参考系,1-2,描述质点运动的物理量,1-3,描述质点运动的坐标系,1-4,牛顿运动定律,1-5,力学中常见的力,1-6,伽利略相对性原理,第一章 质点的运动,2,力学中的一些基本概念,力学,的研究对象是,物体机械运动的规律及其应用，,是研究物理学其它部分的基础。,力学内容分为运动学、动力学和静力学三部分,。,运动学：,在研究物体位置变动时，不涉及引起运动变化的原因。,动力学：,研究物体之间的相互作用时，对物体运动的影响。,静力学：,研究一个静止不动或以等速度移动之系统。,3,机械运动,(,mechanical motion,),指物体的位置随时间改变，或一个物体内部某部分相对其它部分的位置随时间变化的过程，是最简单又最基本的运动。,经典力学（牛顿力学）,的研究对象是大量原子组成的宏观客体，被研究的物体的速度不能与光速相比拟（,VC,）。,（,1,）物体之间的相对位置的变更；,（,2,）物体各组成部分之间相对位置的变更。,4,1-1,质点和参考系,一、质点,(mass point),质点,：没有体积和形状,只具有一定质量的理想物体。,注意：,（,1,）质点是,一种理想的力学模型，任何物体都有一定的形状和大小。,（,2,）质点是,一种物理上的抽象，是为了讨论问题的方便而引入的。,5,（,3,） 对于同一物体，由于研究问题的不同，有时可以看作质点，有时则不能。,如果不能看作一个质点，可把物体看作由多个质点组成，每个质点都运用质点运动的结论，叠加起来得到该物体的运动情况。,注意：,当两物体之间的距离（,l,）大于大于物体自身线度（,r,）时，物体可以视为一个质点；否则就不能视为一个质点。,由于所有物体都可以视为质点或质点的集合体，因此,质点力学是整个力学的基础。,6,质点是没有大小和形状、但具有宏观物体质量的理想模型，是对实际物体的抽象，并不是真实的存在；,注意：不要把质点与微观粒子混同起来,微观粒子，如原子、质子和中子等都具有一定的大小，但质量微小。也正是因为微观粒子的质量微小，因而在一般情况下却遵从量子力学规律。,7,二、参考系,(reference system),1.,运动绝对性：,物体都在运动没有绝对静止的。,3.,为了描述物体的机械运动，必须选择另一个物体或者物体系作参照物，被选作参照的物体或者物体系称为,参考系,。只有选择了参考系，才能明确地表示被研究物体的运动情形。,4.,参考系原则上可任意选择。选择使问题的处理尽量简化的参考系。,同一运动，选择不同参考系， 对运动的描述不同的,。,2.,一个物体的位置及其变更,总是相对于其它物体而言的,否则没有意义,机械运动的相对性,。,8,三,.,坐标系,(coordinate system),坐标系是指固定在参考系上的数学坐标，它的作用是把运动物体在每一时刻相对于参考系的位置,定量,地表示出来。,在建立坐标系的问题上应注意以下几点。,(1),首先应注意不要把坐标系与参考系混淆了。,参考系是指为描述物体运动而选作参考标准的物体或物体群，利用它来判断物体是否在运动和如何运动。但是，只有参考系还不能把物体运动时的确切位置表示出来。,在描述物体运动的问题中，坐标系必须依附于参考系。在研究物体运动时，若选取不同的参考系，所得的运动规律的数学表达式和结果一般是不同的。,9,在同一个参考系上建立不同的坐标系，对同一物体的运动规律和结果不会产生多大变化，只会影响计算的繁简。,(2),坐标系的建立，可以帮助我们分析和解决问题。,(3),在物理学中，坐标系的建立还有更加广泛的意义。,物理学中的方程式在很多情况下都是矢量方程,而矢量方程的求解,特别是矢量的积分,必须先化为分量式才可以进行。要将矢量式化为标量式，必须建立坐标系。,求解质点运动方程的问题，而质点一般是受多个力作用的。力的正负，对于质点的运动是至关重要的，是在列方程时必须明确的。当建立了坐标系后，把这些力投影到坐标轴上来，与坐标轴同方向的为正，与坐标轴反方向的为负，运动方程很容易地就列出来了。,10,1,、直角坐标系,(rectangular coordinate),通常采用的直角坐标系属,右旋系,当右手四指由,x,轴方向转向,y,轴方向时,伸直的拇指则指向,z,轴的正方向。,在参考系上取一固定点作为坐标原点,O,过点,O,画三条相互垂直的带有刻度的坐标轴,即,x,轴、,y,轴和,z,轴,就构成了,直角坐标系,O,-,xyz,。,x,y,z,O,P(x,y,z),共有三个单位矢量：,11,*2,、平面极坐标系,(planar polar coordinates),取参考系上一固定点,O,作为极点,过极点所作的一条固定射线,OA,称为,极轴,。,用平面极坐标系处理圆周运动一类的平面运动。,质点处于点,P,连线,OP,称为点,P,的,极径,用,表示；自,OA,到,OP,转过的角,称为点,P,的,极角,。点,P,位置可用,(,),来表示,这两个量就称为点,P,的,极坐标,。,A,O,是极径方向的单位矢量,长度为,1,沿,增大的方向。,是沿极角增大方向的单位矢量,12,3,、自然坐标系,(natural coordinates),沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。,一个是指向质点运动方向的,切向单位矢量,用,表示,另一个是垂直于切向并指向轨道凹侧的,法向单位矢量,用,n,表示。,法线,切线,运动质点,n,自然坐标系,由运动曲线上任,一点的法线和切,线组成,13,一、时间和时刻,(time and moment),某一瞬时称为时刻（,t,）,，,质点运动时，与质点某一位置对应的为某一时刻，在时间坐标上是一个点。,秒（,s,）,:,铯,133,原子基态的两个超细能级之间的电子跃迁所对应的辐射的,9192631770,个周期的持续时间。,在坐标系中考察质点的运动时,质点位置与时刻相对应,质点运动所经过的路程与时间相对应。,1-2,描述质点运动的物理量,P,2,P,1,t,时间（,t,）表示一个过程对应的时间间隔，是重要的物理量，国际单位制（,SI,）中七个基本物理量之一。,时间具有单方向性，是标量，在时间坐,标上是线段，单位是,s (,秒,),。,t,1,t,2,14,二、位置矢量,(position vector),位矢包含两方面信息：质点,P,相对参考系固定点,O,的方位；质点,P,相对参考系固定点,O,的距离大小。,O,P,用黑体字母或带箭头的字母表示矢量。,质点,P,在任意时刻的位置,可用从原点,O,到质点,P,所引的有向线段,OP,来表示，或用矢量 来代表，这个矢量 就称为质点,P,的位置矢量,简称位矢。,位置矢量是,描述质点在空间位置的物理量,。,1.,定义,15,可用方向余弦来表示位置矢量方向。,位矢大小,其中,、和,分别是,x,、,y,和,z,方向的单位矢量。,在直角坐标系中,x,y,z,O,P(x,y,z),16,z,X,Y,O,z,y,x,r,随时间变化,r,质点在运动,位置在变化,位置矢量必定随时间改变。,该式称为质点运动的,轨道参量方程,，即质点的运动学方程,位置矢量是时间的函数：,2.,运动方程,写成分量形式,:,运动轨迹方程,x,y,z,0,f,(,),17,三、位移,(displacement),和路程,(distance, path ),1.,位移：描述质点位置的变化的物理量 。,质点从点,P,1,到点,P,2,所完成的位移,等于点,P,2,的位置矢量与点,P,1,的位置矢量,之差。,位移,是矢量，既表示质点位置变更的大小,(,点,P,1,与点,P,2,之间的距离,),，又表示这种变更的方向,(,点,P,2,相对于点,P,1,的方位,),。,z,X,Y,O,r,1,P,1,(,),t,1,r,2,2,P,(,),t,2,r,r,t,r,s,r,18,位移在直角坐标系中的表达式：,因为,19,2.,路程,s,是一定时间内物体所经过路线的总长度。,t,时间内经过的路程是曲线,P,1,P,2,的长度，是标量。,注意：,质点的位移和路程的区别和联系,（,1,）位移是矢量，路程是标量；,（,2,）一般位移矢量的模,不等于路程。,（,3,） 对于任何运动形式来说，,无限的缩短，则,：,z,X,Y,O,r,1,P,1,(,),t,1,r,2,2,P,(,),t,2,r,r,t,r,s,r,20,米（,m,）,:,氪,-86,原子的,2p,10,和,5d,5,能级之间的跃迁所对应的辐射在真空中的,1650763.73,个波长的长度。,位移和路程单位相同,在国际单位制中为,m (,米,),。,21,四、速度,(velocity),和速率,(speed),1.,平均速度与平均速率,:,质点的平均速度,平均速度是矢量，大小决定于位移的模与时间间隔,的比值；方向与位移矢量方向相同。,平均速度的大小和方向在很大程度上依赖于所取,时间间隔,的大小。,当使用平均速度来表征质点运动时，总要指明相应的时间间隔,。,大致描述运动质点在某段时间内的平均快慢情况,22,平均速率,是标量,等于单位时间内所通过的路程。,平均速率,平均速率和平均速度的区别：,1.,标量与矢量；,2.,数值上不一定相等,曲线运动时,s,r,。,沿闭合曲线运行一周,则质点的平均速度等于零,而相应的平均速率却不等于零。,平均速率与平均速度的关系和路程与位移的关系相似,。,23,2.,瞬时速度和瞬时速率,描述运动质点在某一时刻（某一位置）的快慢情况,如果,t,0,，平均速度的极限就表示质点某一时刻的真实速度，此极限即质点运动的,瞬时速度。,瞬时速度等于质点的位置矢量对时间的微商。,所说的物体运动速度,通常指它的瞬时速度。,24,直角坐标系：,该时刻质点所在处沿运动轨迹的切线并指向质点前进的方向。,方向,：,25,瞬时速率,为,t,0,时平均速率的极限,简称速率。,t,0,时路程的极限等于质点位移矢量的模的极限。,速率等于速度的模,等于速度的大小,总是正值。,速度和速率的单位为,m,s,1,(,米,/,秒,),。,26,上式称为,位移公式,。如果已知质点运动速度与时间的函数关系,代入上式积分可算得位移。,质点在从,t,0,到,t,时间内完成的位移,可通过对上式在此时间内的积分得到，即,可得位移的微分形式,根据速度的定义式,27,五、加速度,(acceleration),加速度是描述速度变化快慢的物理量。,O,L,B,A,在,t,时间内,速度的增量为,可用平行四边形法则或三角形法则求得。,是速度大小的变化和方向的变化共同引起的。,28,根据加速度的定义（,描述速度变化快慢的物理量,）,平均加速度,若 ，则：,瞬时加速度,加速度等于速度对时间的微商,或等于位置矢量对时间的二阶微商。,29,加速度的方向与,t,趋于零时 的极限方向一致。,曲线运动时，加速度,a,总是指向轨迹曲线凹的一边,。,直线运动中，,a,与,v,的方向在同一直线上，但有同向与反向两种情况,。,30,加速度的单位是,m,s,2,(,米,/,秒,2,),。,加速度大小,31,加速度在直角坐标系中的表达式,加速度大小,32,讨论：,（,1,）当 时，质点作匀速直线运动；,(2),当 时，质点作匀变速直线运动或二维抛体运动；,(4),当 的大小和方向都改变时，质点一般作曲线运动。,(3),当 的大小改变,方向和速度平行时，质点作变速直线运动。,33,根据加速度的定义式 可得,若求在,t,0,到,t,时间内速度的变化,可对上式积分：,速度公式,位矢的一般表达式,代入位移公式,34,思考题,:,什么是质点，什么情况可以视物体为质点；,位移和路程有何区别；,在曲线运动中 与 是否不同；,和 有何区别。,35,36,1-3,质点运动的几种形式,一、 匀速直线运动,匀速直线运动的特点：,如取运动方向为,x,轴，则：,x,X,o,t=0,X,t,积分,轨迹方程,37,二 、匀变速直线运动,1.,一般情况：质点以恒定的加速度，沿直线运动,设,t=0,时，,v=v,o, x=x,o,该方程为质点匀变速直线运动方程,38,2.,自由落体运动,取地面为坐标原点，向上为,y,轴的正方向，则,a=-g,设,t=0,时，,y=y,o, v,o,=v,yo,则：,y,39,运动的独立性与叠加性,运动的独立性,：如果一个质点同时参与几个,分运动，其中任何一个运动都不受到其他运,动的影响，就好像只有自己存在一样。,运动的叠加性,：质点的一般运动可以看做由,几个相互独立的运动的合成，且合成的物理,量满足平行四边形法则。,40,三 、抛体运动,抛体运动具有两个特点,: (1),运动平面是竖直平面，恒与地面垂直，（,2,）不计空气阻力时，加速度就是重力加速度。,41,假设物体以初速度,v,0,沿与水平方向成角 方向被抛出,求物体运动的轨道方程、射程、飞行时间和物体所能到达的最大高度。,抛体运动可以看作为,x,方向的匀速直线运动和,y,方向的匀变速直线运动相叠加。,x,y,O,首先必须,建立坐标系,取抛射点为坐标原点,O,x,轴水平向右,y,轴竖直向上,如图。,运动叠加原理是求解复杂运动的有力工具。,42,x,y,O,由（,1,）、（,2,）得：,抛体运动轨道方程,(1),(2),讨论：,令,y,= 0,，得,43,解得：,（射程）,物体的飞行时间,抛射角,0,=,/4,时,最大射程,x,y,O,将,x,2,代入上式，得,44,实际运动轨道是弹道曲线，射程和最大高度都比上述值要小。,最大高度,:,当物体到达最大高度时,必有,物体达最大高度的时间,x,y,O,将上式代入,45,四,.,曲线运动,一般的运动都是曲线运动，即质点沿空间任意一条曲线运动。,1.,曲线的曲率和曲率半径,在曲线运动中，速度的大小和方向都在不断地变化。速度方向的变化与轨道的形状有关。这是因为速度的方向是曲线的切线方向。在曲线弯曲厉害的地方，速度方向变化大；曲线的这个弯曲程度用曲率来表示；,P,1,P,2,令曲线,曲线上,p,1,和,p,2,之间的平均曲率,46,当,s,趋近,0,时，,p,1,和,p,2,两点无限靠近，这个比值的极限称为曲线在,p,1,点的曲率,其倒数 称为该点的曲率半径,曲率半径决定的圆称为曲率圆，曲率圆的中心称为曲率中心。,圆：,说明圆的曲率半径即圆的半径，是一个恒量。,P,1,P,2,47,2.,法向加速度和切向加速度,动轨迹,平面运,质点的,T,切向,N,法向,t,切向单位矢量,n,法向单位矢量,M,时刻位置,t,0,M,初始位置,自然坐标系,48,L,B,A,O,B,A,V,A,V,B,49,V,A,V,B,50,V,A,V,B,切向加速度,法向加速度,大小：,方向：,51,讨论：,1.,若 ，则物体作直线加速运动；,2.,若 ，则物体作匀速圆周运动,关于自然坐标系的说明：,（,1,）在自然坐标系中表示质点速度，是非常简单的，因为无论质点处在什么位置上速度都只有切向分量，而没有法向分量。,（,2,）自然坐标系不仅适用于平面运动，也可以用于三维空间的运动。不过在三维情况下，应该引入两个法向单位矢量,52,五、圆周运动,1.,平面极坐标,A,O,P,的位置矢量表示为,根据速度的定义式：,式中 是单位矢量 的方向随时间的变化率。,53,O,L,在 时间内,质点沿任意平面曲线,L,由点,A,到达点,B,极角的增量为 。,O,A,B,B,A,等腰三角形,O,A,B,当,t,0,时,底边趋于与腰垂直,的方向趋于极角增大的方向,引入该方向的,单位矢量,。,（ ）,54,O,A,B,（ ）,径向速度,横向速度,速度大小,55,1.,质点直线运动时,取该直线为极径，极角为常量,2.,质点圆周运动时,极径是圆周的半径,为常量,圆周运动角速度,横向速度是质点沿圆周切向速度,讨论,56,线量,角量,57,质点加速度,:,O,B,A,O,L,A,B,等腰,O,A,B,当,t,0,时,趋于与 垂直,即指向 的方向,大小,58,于是有,将,和,代入,59,径向加速度,横向加速度,60,2.,质点圆周运动,极径,是圆周半径,为常量,有,1.,质点直线运动,取该直线为极径，极角为常量：,讨论,继续推算,61,引入角加速度,定义为,a,v,r,r,=,-,2,a,v,t,q,=,d,d,向心加速度,切向加速度,线量,角量,62,角量,线量,63,2.,圆运动方程,（,1,）匀速圆周运动,设：,（,2,）匀变速圆周运动,64,积分得：,形式上与直线运动的三个方程是相同的，只是线量与角量的区别,65,r,r,t,(,),运动学方程,v,t,(,),速 度,任一时刻的,a,t,(,),加速度,已知,求,第一类,第二类,v,v,t,(,),r,r,t,(,),运动学方程,或,速度方程,或,速度方程,v,v,t,),(,),0,r,),及,加速度方程,a,(,),0,v,a,t,),),及,求导,v,r,d,t,d,a,2,d,t,d,2,r,方法,积分,方法,-,0,v,v,d,t,a,t,0,r,-,r,0,d,t,t,0,v,由初始条件定积分常量,r,0,0,v,两类基本问题,质点运动学中的,质点运动学中的,两类基本问题,66,例,1,：通过绞车拉动湖中小船拉向岸边,如图。如果绞车以恒定的速率,u,拉动纤绳,绞车定滑轮离水面的高度为,h,求小船向岸边移动的速度和加速度。,解,：以绞车定滑轮处为坐标原点,x,轴水平向右,y,轴竖直向下,如图所示。,x,l,h,y,o,x,x,l,h,67,设,:,小船到坐标原点的距离为,l,任意时刻小船到岸边的距离,x,总满足,x,2,= l,2,h,2,两边对时间,t,求导数,得,绞车拉动纤绳的速率,纤绳随时间在缩短,故,;,是小船向岸边移动的速率。,x,l,h,y,o,x,负号表示小船速度沿,x,轴反方向。,68,根据数学公式：,69,小船的加速度随着到岸边距离的减小而急剧增大,70,例,2,：细棒以恒定角速度,绕其端点,O,旋转,棒上套一小球,小球以恒定速度,u,沿棒向外滑动。初始时刻小球处于点,O,求,t,时刻小球的速度和加速度。,解：,根据速度的定义式：,O,71,可见小球的径向速度就是它沿棒滑动的速度,横向速度则是,t,的线性函数。,求得小球的速度,根据,72,由上式可以看到,径向加速度是时间的线性函数,横向加速度则为常量。,小球的加速度可表示为,：,73,解,：质点的切向加速度和法向加速度分别为,例,3,:,质点以初速 沿半径为,R,的圆周运动,其加速度方向与速度方向夹角,为恒量,求质点速率与时间的关系。,分离变量,74,这就是所要求的速率与时间的关系。,得,积分,例,4.,一质点由静止开始作直线运动，初始加速度为,a,0,，,以后加速,度均匀增加,，,每经过,秒增加,a,0,，,求：经过,t,秒后质点的速,度和运动的距离。,解：据题意知，加速度和时间的关系为：,76,解：,此类问题从,a,与,x,的关系，求,v,与,x,的关系,即：,积分：,例题,5,一质点沿,x,轴运动，其加速度和位置关系为,a=2+6x,。质点在,x=0,处的速度为 。求物体的速度和位置的关系,。,77,习 题,1-4,现有一矢量,R,是时间,t,的函数，问 与 在一般情况下是否相等？为什么？,解,:,与,在一般情况下是不相等的。因为,前者是对矢量,R,的绝对值,(,大小或长度,),求导，表示矢量,R,的大小随时间的变化率,；而后者是对矢量,R,的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量,R,大小随时间的变化和矢量,R,方向随时间的变化两部分的绝对值。如果矢量,R,方向不变只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。,78,1-12,设质点的位置与时间的关系为,x,=,x,(,t,),，,y,=,y,(,t,),，在计算质点的速度和加速度时，如果先求出 ，然后根据 和 求得结果；还可以用另一种方法计算：先算出速度和加速度分量，再合成，得,v,=,和,。你认为哪一组结果正确？,为什么？,79,解 第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确，这是因为在一般情况下,速度和加速度中的,r,是质点的位置矢量，不仅有大小而且有方向，微分时，既要对大小微分也要对方向微分。第一组结果的错误就在于，只对位置矢量的大小微分，而没有对位置矢量的方向微分。,80,1-21,质点从倾角为,=30,的斜面上的,O,点被抛出，初速度的方向与水平线的夹角为,= 30,， 如图所示，初速度的大小为,v,0,= 9.8 m,s,1,。若忽略空气的阻力，试求：,(1),质点落在斜面上的,B,点离开,O,点的距离；,(2),在,t,= 1.5 s,时，质点的速度、切向加速度和法向加速度。,81,解 建立如图所示的坐标系,(1),设,B,点到,O,点的距离为,l,，则,B,点的坐标可以表示为,如果质点到达,B,点的时间为,，则可以列出下面的方程式,(1),82,以上两式联立，可解得,(3),(2),将式,(3),代入式,(1),，得,83,(2),设在,t,= 1.5 s,时质点到达,C,点，此时,所以速度的大小为,速度与,y,轴负方向的夹角为,84,85,例题,6,：在倾角为,的山坡上安放一尊大炮，大炮相对山坡的仰角为,，所发射炮弹的初速为,v,0,。忽略了空气阻力，求炮弹击中目标的位置、最大射程和对应最大射程的仰角。,解,:,取炮口为坐标原点，取,x,轴沿水平向右、,y,轴竖直向上，建立坐标系。,该题与抛体运动无本质差异，只是炮弹的着地点,P,不是在水平面上，而是在倾角为,的山坡上。另外，炮弹着地点,P,不是在水平面上,86,根据抛物线方程：,山坡的直线方程为,(1),(2),（,1,）、（,2,）联立得：,(3),87,其中,最大射程应该满足下面的条件：,由这个方程可以求得对应最大射程的仰角。将,x,1,代入上式，得,88,于是得到,由此可解得对应最大射程的仰角，为,射程,R,是从坐标原点,(,即炮口,),沿山坡到击中点,P,的距离,OP,，不要错误地认为就是,x,1,。所以射程应为,89,将对应最大射程的仰角值代入上式，即可得到最大射程，为,90,作业：,P41,，,1-18,，,1-19,91,质点和参照系小结,一、 质点,没有体积和形状,只具有一定质量的理想物体。,二、参考系,为了描述物体的机械运动，必须选择另一个物体或者物体系作参照物，被选作参照的物体或者物体系称为,参考系,92,三、坐标系,坐标系是指固定在参考系上的数学坐标,1,、直角坐标系,x,y,z,O,P(x,y,z),有三个单位矢量：,93,2,、平面极坐标系,A,O,OA,：,极轴,自,OA,到,OP,转过的角,:,点,P,的,极角,。,连线,OP,:,点,P,的,极径,(,),两个单位矢量：,94,3,、自然坐标系,(natural coordinates),沿着质点的运动轨道所建立的坐标系。,一个是指向质点运动方向的,切向单位矢量,用,表示,另一个是垂直于切向并指向轨道凹侧的,法向单位矢量,用,n,表示。,法线,切线,运动质点,n,自然坐标系,由运动曲线上任,一点的法线和切,线组成,95,描述质点运动的物理量小结,一、时间和时刻,二、位置矢量,描述质点在空间位置的物理量,三、位移和路程,位移：描述质点位置的变化的物理量,96,路程（,s,）：,是一定时间内物体所经过路线的总长度,四、速度和速率,描述运动质点在某一时刻（某一位置）的快慢情况,97,五、加速度,加速度是描述速度变化快慢的物理量。,瞬时加速度,加速度的方向与,t,趋于零时 的极限方向一致。,加速度大小,98,描述指点运动的坐标系小结,一、曲线运动,1.,曲线的曲率与曲率半径,2.,法向加速度和切向加速度,99,二、圆周运动,速度：,当质点作圆周运动时：,圆周运动角速度,100,加速度,当质点作圆周运动时：,引入角加速度,定义为,