力矩 转动定律 转动惯量

4-2力矩转动定律转动惯量,*,第四章 刚体的转动,物理学,第五版,*,第四章 刚体的转动,物理学,第五版,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,4-2力矩转动定律转动惯量,物理学,第五版,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,力不在转动平面内,注,（,1）,在定轴转动,问题中，如不加说明，,所指的力矩是指力在,转动平面内的分力对,转轴的力矩。,转动,平面,把力分解为平行和垂直于转轴方向的两个分量,2,O,合力矩,合力矩等于各个,力矩的代数和.,3,合内力矩,O,刚体的合内力矩为零,设质点1和质点2间相互作用力在垂直转轴平面的分力各为,F,12,和,F,21,它们大小相等、方向相反且在同一直线上,如图.它们的合力矩,质点系的合内力矩=?,0,4,例：,有两个力作用在一个有固定转轴的刚体上：,1、这两个力都平行于轴作用时，它们对轴的合力矩一定为零。,2、这两个力都垂直于轴作用时，它们对轴的合力矩可能为零。,3、当这两个力合力为零时，它们对轴的合力矩一定也为零。,4、当这两个力对轴的合力矩为零时，它们合力一定也为零。,5,二.刚体定轴转动定律,应用牛顿第二定律，可得：,O,对刚体中任一质量元,-外力,-内力,采用自然坐标系，上式切向分量式为：,O,6,用 乘以上式左右两端：,设刚体由,N,个点构成，对每个质点可写出上述类似方程，将,N,个方程左右相加，得：,根据内力性质(每一对内力等值、反向、共,线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：,7,得到：,上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以,M,表示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚体转动惯量，以,J,表示。于是得到,刚体定轴转动定律,刚体定轴转动定律,8,讨论：,（2）,J,与总质量、质量分布以及转轴的位置有关;,（3）,M,的符号：使刚体向规定的转动正方向加速,的力矩为正.,惯性大小的量度；,转动惯量是转动,（1）,M,一定，,J,对比,9,例题、,质量为,m,半径为,R,的薄圆盘从静止开始在恒力矩,M,的作用下绕通过直径的光滑轴转动，,（,J,=,mR,2,/4），,t,秒后点,B,的切向加速度,a,t,=_，,法向加速度,a,n,=_.,解：由转动定律,M=J,得,=,M/J,而,a,t,=,R,a,n,=,2,R,=,t,10,三转动惯量,J,的,意义：,转动惯性的量度,.,转动惯量的单位：,kgm,2,决定转动惯量的要素：,(1)体密度;,(2)几何形状;,(3)转轴位置.,两个相同的圆盘,铁质与木质,质量分布离轴越远,J,越大,同一刚体,转轴位置不同,J,就不相同,11,质量离散分布,J,的计算方法,质量连续分布,：质量元,：体积元,12,L,质量,m,均匀细棒的转动惯量.(1),O,轴通过棒一端且与棒垂直;(2),O,轴通过棒中点且与棒垂直.,x,d,x,O,O,解：,取轴为坐标原点,取长度微元如图,dm=,dx,=m/L,dJ=,r,2,dm,=,x,2,dx,(1)过棒的一端,O,=,L,3,/3,=mL,2,/3,(2)过棒的中点,O,=x,3,/3,=,L,3,/12,=mL,2,/12,结果表明：,同一刚体对不同位置的转轴，转动惯量并不相同。,13,例题 求圆盘对于通过中心并与盘面垂直的转轴的,转动惯量。设圆盘的半径为,R,，质量为,m,，密度均匀。,r,R,d,r,解,设圆盘的质量面密度为,，在圆盘上取一半径为,r,、,宽度为,dr,的圆环（如图），环的面积为,2,rdr,，环的,质量,dm=,2,rdr,。可得,14,几种常见刚体的转动惯量：,细棒,细棒,薄圆环,或薄圆筒,圆盘或,圆柱体,15,m,1,r,m,1,质点与刚体组合的转动惯量,16,四,平行轴定理,质量为,的刚体,，,如果对其质心轴的转动惯量为,，,则对任一与该轴平行,，,相距为,的转轴的转动惯量,C,O,17,质量为,m,，长为,L,的细棒绕其一端的,J,P,圆盘对,P,轴的转动惯量,O,O,1,d=L/2,O,1,O,2,O,2,18,(,2,),为瞬时关系,(,3,),转动中 与平动中,地位相同,(,1,),与 方向相同,说明,转动定律应用,19,竿子长些还是短些较安全？,飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？,20,例1,、一根轻绳跨过一定滑轮（滑轮 视为圆盘），绳的两端分别 悬有质量 为 m,1,和 m,2,的物体,，,m,1,m,2 ，,滑轮的 质量为,m，半径为 R，所受的摩擦阻 力矩为,M,f,，绳与滑轮间无相对滑动。,试求：物体的加速度和绳的张力。,已知：m,1,，m,2,，m，R，,M,f,求：,.,解:研究对象 m,1,，m,2,，m,建立坐标，受力分析 如图,M,f,对m,1,：,对m,2,：,对m：,21,联立求得：,注意：,当不计滑轮的质量及摩擦阻力时：,这便是质点动力学中所熟知的结果,22,例：,已知 ：R，m,求：圆盘自静止开始转动后，转过的角度与时间的关系,。,解：,圆盘和物体受力分析如图：,对圆盘：,对物体：,联立（1）、（2）、（3）得：,10/15/2024,23,例,2,质量为,m,A,的物体,A,静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为,R,、质量为,m,C,的圆柱形滑轮,C,，并系在另一质量为,m,B,的物体,B,上，,B,竖直悬挂,滑轮与绳索间无滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计,(,1,),两物体的线加速度为多少？水平和竖直两段绳索的张力各为多少？,(,2,),物体,B,从静止落下距离,y,时，其速率是多少,？,24,解,(,1,),用,隔离法分别对各物体作受力分析，取如图所示坐标系,A,B,C,O,O,25,O,O,26,解得：,27,如令 ，可得,（2）,B,由静止出发作匀加速直线运动，下落的速率,28,稳定平衡状态，当其受到微小扰动时，细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链,O,转动试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加速度和角速度,例,3,一长为,l、,质量为,m,匀质细杆竖直放置，其下端与一固定铰链,O,相接，并可绕其转动,由于此竖直放置的细杆处于非,m,l,O,mg,29,解,细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用，由转动定律得,式中,得,m,l,O,mg,30,由角加速度的定义,对上式积分，利用初始条件，,m,l,O,mg,解得：,有,31,