直线与平面-平面与平面垂直的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,直线与平面 平面与平面,垂直的性质,思考:,1.已知直线 和平面 ,如果 ,那么 的位置关系如何?,2.设 ,且,那么直线AB与平面 的位置关系如何?,3.设平面 垂直平面 ,点P在平面 内,过点P作平面,的垂线 ,直线 与平面 具有什么位置关系?,线面、面面垂直的性质定理,1线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行,(线面垂直线线平行),2面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂,直于交线的,直线与另一个平面垂直用符号语言表示为：若,，,l,，,a,，,a,l,，则,a,(面面垂直线面垂直),3面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么,经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线必在第一个,平面内,直线与平面垂直的性质定理的简单应用,例,1,：,如图,1，在四面体,P,ABC,中，若,PA,BC,，,PB,AC,，,求证：,PC,AB,.,图 1,思维突破：,要证线线垂直，可先证线面垂直，进而由线面,垂直的定义得出线线垂直,证明：,过,P,作,PH,平面,ABC,，垂足为,H,，连接,AH,、,BH,和,CH,.,PA,BC,PH,BC,，,PA,PH,P,，,BC,平面,PAH,.,又,AH,平面,PAH,，,BC,AH,.,同理,AC,BH,，即,H,为,ABC,的垂心，,AB,CH,.,PH,AB,，,CH,PH,H,，,AB,平面,PCH,.,PC,平面,PCH,，,PC,AB,.,点评：,从本例可以进一步体会线面位置关系的相互转化在,解,(,证,)题中的,作用,11.已知,a,、,b,是两条不同的直线，,、,为两个不同的平面，,a,，,b,，则下列命题中不正确的是(),B,A若,a,与,b,相交，则,与,相交 B若,与,相交，则,a,与,b,相交,C若,a,b,，则,D若,，则,a,b,解析：,与,相交，,a,与,b,可能是异面直线,12.,、,是两个不同的平面，,m,、,n,是,、,之外的两条不同,的直线，给出以下四个论断：,m,n,；,；,n,；,m,.,以其中三个论断作为条件，余下一个作为结论，写出你认,为正确的一个命题_.,解析：答案不唯一，如：也正确,图 2,证明：,作,AH,SB,于,H,.,平面,SAB,平面,SBC,，,AH,平面,SBC,.,AH,BC,.,又,SA,平面,ABC,，,SA,BC,.,又,AH,SA,A,，,BC,平面,SAB,.,BC,AB,.,面面垂直,线面垂直,平面与平面垂直的性质定理的简单应用,例,2,：,如图,2，在三棱锥,S,ABC,中，,SA,平面,ABC,，平面,SAB,平面,SBC,.求证：,AB,BC,.,21.如图 3，四棱锥,V,ABCD,的底面为矩形，侧面,VAB,底面,ABCD,，且,VB,平面,VAD,.,求证：平面,VBC,平面,VAC,.,图 3,证明：,四边形,ABC,D,为矩形，,BC,AB,.,又面,VBA,面,ABCD,，面,VBA,面,ABCD,AB,，,BC,面,VAB,.,BC,VA,.,VB,面,VAD,，,VB,VA,.,VB,BC,B,，,VA,面,VBC,.,又,VA,面,VAC,，面,VBC,面,VAC,.,面面垂直的综合应用,例,3,：,如图,4，已知矩形,ABCD,，过,A,作,SA,平面,AC,，,AE,SB,于,E,点，过,E,作,EF,SC,于,F,点,(1)求证：,AF,SC,；,(2)若平面,AEF,交,SD,于,G,，求证：,AG,SD,.,图 4,证明：,(1),SA,平面,AC,，,BC,平面,AC,，,SA,BC,.,四边形,ABCD,是矩形，,AB,BC,.,BC,平面,SAB,.,又,AE,平面,SBC,，,BC,AE,.,又,SB,AE,，,AE,平面,SBC,.,AE,SC,.,又,EF,SC,，,SC,平面,AEF,，,AF,SC,.,(2),SA,平面,AC,，,DC,平面,AC,，,SA,DC,.,又,AD,DC,，,DC,平面,SAD,.,又,AG,平面,SAD,，,DC,AG,.,又由,(1),有,SC,平面,AEF,，,AG,平面,AEF,，,SC,AG,，且,SC,DC,C,，,AG,平面,SDC,.,AG,SD,.,3 1.已知,PA,矩形,ABCD,所在平面，平面,PDC,与平面,ABCD,成 45角，,M,、,N,分别为,AB,、,PC,的中点,求证：平面,MND,平面,PDC,.,图 5,证明：,如图,5,，设,E,为,PD,中点，连接,AE,、,EN,，,M,、,N,分别为,AB,、,PC,中点，,EN,DC,AB,，,四边形,AMNE,为平行四边形，,MN,AE,.,DC,AE,，,DC,PD,，,PDA,是二面角,P,DC,A,的平面角,PDA,45,，又,PA,AD,，,APD,45,，,PAD,是等腰直角三角形,E,为,PD,的中点，,AE,PD,.,又,DC,AE,，,AE,平面,PDC,.,又,MN,AE,，,MN,平面,PDC,.,平面,MND,平面,PDC,.,PA,矩形,ABCD,所在的平面，,PA,DC,，,PA,AD,.,又,DC,AD,，,DC,平面,PAD,，而,AE,平面,PAD,.,例,4,：,证,明,：,如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么,它们的交线垂直于第三个平面,证法一：,如图,5,，在,内取一点,P,，作,PA,垂直,与,的交线于,A,，再作,P,B,垂直,与,的交线于,B,，,则,PA,，,PB,.,l,，,l,PA,，,l,PB,.,与,相交，,PA,与,PB,相交,又,P,A,，,PB,，,l,.,图,5,图,6,证法二：,如图,6,，在,内作直线,m,垂直于,与,的交线，在,内作直线,n,垂直于,与,的交线，,，,，,m,，,n,.,m,n,.,又,n,，,m,，,m,l,，,l,.,证法三：,如图,7,，在,l,上取一点,P,，过点,P,作,的垂线,l,，,但,l,，,l,与,l,重合，,l,.,图,7,点评：,证法一、证法二都是利用,“两平面垂直时，在一个,平,面内垂直于两平面的交线的直线垂直于另一个平面,”这一性,质，添加了在一个平面内垂直于交线的直线这样的辅助线这,是证法一、证法二的关键,证法三是利用,“,如果两个平面,互相垂直，那么经过第一个,平面内的一点垂直于第二个平面的直线，在第一个平面内,”,这,一性质，添加了,l,这条辅助线，这是证法三的关键,通过此例，体会两平面垂直时，添加辅助线的方法,1下面四个命题，其中真命题的个数为(),B,如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这,条直线和这个平面垂直；过空间一点有且只有一条直线和已,知平面垂直；一条直线和一个平面不垂直，这条直线和平面,内的所有直线都不垂直；垂直于同一平面的两条直线平行,A1 个,B2 个,C3 个,D4 个,2两个平面互相垂直，一条,直线和其中一个平面平行，则,这条直线和另一个平面的位置关系是,_,解析：,、是真命题,相交、平行、在平面内,练习:,小结:,1线面垂直性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行(线面垂直线线平,行),2面面垂直性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与,另一个平面垂直用符号语言表示为：若,，,l,，,a,，,a,l,，,则,a,(面面垂直线面垂直),3面面垂直性质定理：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的,一点垂直于第二个平面的直线必在第一个平面内,作业:,P：19，选做10，11,