机械能守恒定律

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,笫五章机械能守恒,（一） 功 动能定理,（二） 保守力做功与势能,（三）机械能和机械能守恒定律,（四）两体碰撞与两体问题,目录,1,一、功,（一） 功 动能定律,定义：,力对质点所做的功等于力在质点位移方向的分量,与位移大小的乘积.,功是力对空间的累积作用,单位:,1焦耳(J)=1牛顿（N）.米（m）,量纲：ML,2,T,-2,A,B,元功,第五章机械能守恒,2,说明：,（1）在直角坐标系中：,第五章机械能守恒,（2）几个力同时作用在物体上时，所作的功：,3,合力对质点所作的功，等于每个分力所作的功的代数和。,（4）功率：,单位:焦耳/秒(瓦特) 量纲：,ML,2,T,-3,力在单位时间内所做的功,第五章机械能守恒,（3）功是标量，没有方向，但有正负.,4,1m,5N,例题5.1 如图所示，一绳索跨过无摩擦的滑轮系在质,量为1.0,kg,的物体上，起初物体静止在无摩擦的水平,面上。若用5.0,N,的恒力作用在绳索的另一端，使物体,向右作加速运动.当系在物体上的绳索从与水平,成,变,为 时,力对物体作功为多少?己知滑轮与水平面,间的距离为1,m,.,第五章机械能守恒,5,解: 建立坐标系(如图),x,0,F,1m,5N,第五章机械能守恒,6,二、质点动能定理,元功,:,质点由,A,到,B,这一过程中，力作总功为,：,A,B,m,-,质点的动能,第五章机械能守恒,-质点动能定理,令,则,7,例题,5.2,如图，初始时，绳子垂在桌外的长度为,b,设,绳子总长度为,L,求绳全部离开光滑桌面时的瞬时速率.,解：,方法一：利用动能定理,建立作坐标系，重力所作元功为：,由动能定理得：,M,L,b,x,o,t,=0,v,=0,第五章机械能守恒,8,方法二：利用牛顿定律,由牛顿定律得,两种方法结果相同,M,L,b,x,o,t,=0,v,=0,第五章机械能守恒,9,例题,5.3,假定地球的密度是均匀的，并沿地球的直径钻一个洞，质点从很高的位置,h,落入洞中，求质点通过地心的速度。,由动能定理：,解：,矢径方向如图所示，设通过,地心的速度为,O,m,h,R,第五章机械能守恒,10,又质点在地球内、外受力不同,第五章机械能守恒,11,三、质点系动能定理,-质点系动能定理,对所有质点求和：,设一个系统内有,n,个质点，作用于笫,i,个质点的力所作的,功为 ，由质点动能定理,第五章机械能守恒,12,（2） 是每个质点所受外力（内力）,作功,之和,，而不是合力功之和.,说明：,（3）,质点系内力的功：,研究两质点、间作用力与反作用力元功之和,即一对内力所作的功仅决定于力和质点间相对位移的标积.,（1）质点系所受的力分外力和内力，则,内力作的总功一般不为零,第五章机械能守恒,13,例题5.4 如图，质量为,M,的卡车载一质量为,m,的木箱，,以速率,v,沿平直路面行驶。因故突然紧急刹车，车轮,立即停止转动，卡车滑行一定距离后静止，木箱在,卡车上相对于卡车滑行了,l,距离,卡车滑行了,L,距离。,求,L,和,l 。,巳知木箱与卡车间的滑动摩擦系数为 ，,卡车轮与地面的滑动摩擦系数为,L,mg,Mg,N,F,mg,第五章机械能守恒,14,卡车和木箱受力如图.只有二者间摩擦力 和地面对车,的摩擦力,F,做功，三力之受力质点位移各为 .,根据质点动能定理得,解得,解：,解法一（用质点动能定理求解）,第五章机械能守恒,卡车： （1）,木箱： （2）,15,解法二（用质点系动能定理求解）,视卡车与木箱为一质点系.外力,F,做功 ，,内力做功等于力与相对位移的标积，即,根据质点系动能定理，有,又视木箱为质点，得上面(2)式.(2)(3)联立得与上法相同结果.,第五章机械能守恒,（3）,16,（二） 保守力做功与势能,一、几种常见的力作功,1、重力作功,重力作功只与质点的起始和终止位置有关，而与所经过的路径无关。,x,a,b,y,第五章机械能守恒,17,移动位移元 ，,F,可近似认为不变，故,由图知：,于是：,2、万有引力作功,如图，,M,不动，,m,由,a,经任一路径到,b,M,a,r,m,b,F,第五章机械能守恒,18,在弹性限度内，弹性力所作的功只由弹簧的起始和终了位置决定，而与形变的过程无关。,3、弹性力作功,如图，,O,点为平衡位置，拉长到,P,点时，伸长量为,x,：,万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，与所经过的路径无关。,第五章机械能守恒,0,x,K,m,P,19,保守力,：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关,的力。,二、保守力与非保守力,分析三种力作功的特点,反映保守力作功特点的数学表达式：,b,c,d,a,F,F,物体沿不同路径从,a,到,b,，保守力作功,第五章机械能守恒,该类力产生的力场为,保守力场,。,20,保守力沿任意闭合路径作功为零。,b,c,d,a,沿闭合路径运动一周，保守力作功：,保守力的一些判据：,(1)对于一维运动，凡是位置,x,单值函数的力都是保守力,如弹性力,f = f (x) = k(xx,0,),是,x,的单值函数，故它是保守力；,(2)对于一维以上的运动，大小和方向都与位置无关的力，如重,力,f = mg,是保守力;,(3),有心力是保守力，例如万有引力、库仑力都是保守力。,第五章机械能守恒,21, 称为耗散力（如滑动摩擦力，,将机械能转化为热能）,非保守力,：, （如爆炸力），将其他形态的能,（如化学能、电磁能）转化为机械能.,所作的功不仅与始、末位置有关，而且与具体路径有关，或沿任一闭合路径一周作功不为零的力。,非保守力可分两类：,第五章机械能守恒,22,三、势 能,证：在保守力场中，选择一个标量函数：如图，先任取一点,r,C,，令：,对空间任意点，定义：,r,A,r,C,r,B,第五章机械能守恒,定理,对于保守力场,，可以定义一个标量函数 ，使保守力做的功为,其中， 表示质点从空间点 运动到点 时保守,力所做的功。,称为,势能（或势函数、位能）。,23,由于是保守力场，故 唯一确定，与运动的路径无关，于是对于空间中的任意点,，我们定义的,的值确定并且唯一。,下面证明 就是势能,对于空间中任意两点 和 ，按照我们对,的定义，有：,由定义：,第五章机械能守恒,24,将上面(1)与(2)两式相减，注意到保守力作功与路径无关，可得：,故 就是势能。证毕,反之，存在势能的力一定是保守力。,注：,由证明可见，势能具有一个任意常数,一般我们规定点（无穷远处）的势能为零。,第五章机械能守恒,25,(2)势能是相对性的。为确定质点系在任一给定位置的势能值，必须选定某一位置为参考位置（势能零点），规定该点的势能为零.而势能零点可根据问题的需要任意选择；,(3),势能是属于系统的,。实质上势能是相互作用能；,说明,(1)势能是状态（位置坐标）的函数，即：,(4)自然界中的大部分能量是以引力势能的形式存在。,1.,势能,的计算,由定理可得：,即某点的势能等于保守力从该点沿任意路径到势能零点的积分值,第五章机械能守恒,26,即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值。,重力势能,2 三种势能,：,保守力作功可用势能差表示：,引力势能,弹性势能,第五章机械能守恒,27,3 势能曲线,当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数,势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。如图:,mgh,V,h,r,V,第五章机械能守恒,V,r,V,28,势能曲线的用途：,保守力与势能的关系,：,(1) 由势能曲线求保守力,第五章机械能守恒,29,mgh,V,h,r,V,V,r,第五章机械能守恒,V,F,F,-mg,F,F,重力及其势能,万有引力及其势能,弹性力及其势能,双原子分子及其势能,30,平衡位置：就是物体所受作用力为零的位置。,(2),求平衡位置及判断平衡的稳定性：,平衡的稳定性：取决于偏离平衡位置时，物体所受力方向：,第五章机械能守恒,x,O,V,x,0,x,O,V,x,0,x,O,V,x,1,x,0,x,2,(a)稳定平衡(),力始终指向平衡位置；,(b)不稳定平衡( ),离开平衡位置,力背离平衡位置方向,；,(c)亚稳平衡;,(d)随遇平衡（,x,1,x,2, ）。,x,O,V,x,0,x,0,31,第五章机械能守恒,利用势能曲线求平衡位置：,F,x,O,kx,V,x,例如：弹性势能,二维三维情况：特例马鞍形势能曲面中心,O,处的质点在,x,方向不稳定平衡，,y,方向为稳定平衡,(3),决定质点的运动范围,V,0,x,1,x,2,V,双原子分子势能曲线,32,一、质点系的功能原理,（三） 机械能守恒定律,根据质点系动能定理,功能原理,质点系机械能的增量，等于外力与非保守内力,对质点系作功之和。,机械能：,E=E,k,+V,第五章机械能守恒,与质点系动能定理的关系？,33,二、机械能守恒定律,当作用于质点系的外力和内非保守力作功为零时，系统机械能守恒。,当,根据功能原理：,或,或可写为：,第五章机械能守恒,34,第五章机械能守恒,说明：,（1）功能原理和 机械能守恒定律只在惯性系中成立；非惯性系中要引入惯性力；,（2）在不同的参考系中，力所做的功，体系的动能和体系的机械能可能不同；,（3）一个体系在一个参考系中机械能守恒，但在另一个参考系中并不一定成立;,i.功与参考系有关:,内力做功与参考系无关;,外力做功与参考系有关.,ii.体系的动能与参考系有关;,iii. 体系的势能与参考系无关.,（4）功是一个过程量, 能量是一个状态量.,35,三、柯尼希（Konig）定理,相对一定惯性参照系，质点系的动能为所有质点的动能之和,设 为质点系的质心速度， 为笫,i,个质点相对质心系的速,度，则有,代入上式得,第五章机械能守恒,36,于是,质心动能,体系相对质,心系动能,柯尼希定理,体系动能等于质心动能和体系相对质心系,的动能之和.,第五章机械能守恒,其中笫三项中,37,第五章机械能守恒,四、一般质心系中的功能原理,a,c,=0，质心系为惯性系；,a,c,0，质心系（平动参考系）为非惯性系，,此时惯性力所做的总功为：,即质心系虽为非惯性系时，可不考虑惯性力所做的功！,38,五、三种宇宙速度,笫一宇宙速度人造卫星,笫二宇宙速度（或称逃逸速度）人造行星（太阳系）,飞行物冲出地球引力范围而围绕太阳运动，成为人造行星。脱离地球引力的最低水平速度被称为笫二宇宙速度.,飞行物在地球引力作用下，环绕地球表面运行，成为人造卫星.,分别考虑,r,处和无穷远处的机械能,第五章机械能守恒,39,应当满足机械能守恒，即 ，于是,取其等于零，得,逃逸速度,第五章机械能守恒,产生“黑洞”的条件,令笫二宇宙速度取其等于光速,c,，则对质量为,M,的天体，,要成为“黑洞”，其半径需为,以太阳为例：,M,s,=1.99x10,30,kg,，,40,笫三宇宙速度人造行星(银河系),飞行物冲出太阳的引力范围而成为银河系中的人造行星.,根据笫二宇宙速度的同样原理，得到以太阳为参考系的,笫三宇宙速度,第五章机械能守恒,其中太阳质量 （地球质量） ，,太阳-地球平均距离 （地球半径）,故,41,这是从日心系看飞行器冲出的速度，自然其中包含了地球绕,太阳的公转速度 ，两者相减,这是地球-,飞行器质心,参考系看来，飞行器冲出地球引力,范围时，应有的速度。再追溯到地面附近,h,高度，发射速,度 应当满足机械能守恒，即,第五章机械能守恒,注意到 ，故,Sun,Earth,42,最后得出笫三宇宙速度,综上所述，三种宇宙速度均立足于地球上空预定,高度，物体在水平方向上的三个特征速度：,第五章机械能守恒,当 ，发射体环绕太阳作椭圆轨道运行；,当 ，发射体环绕地球作椭园轨道运行；,当 ，发射体将沿双曲线轨道离开太阳系.,43,（四） 两体碰撞与两体问题,所谓碰撞，是指两质点相互接近，运动状态发生迅速变化的,现象。碰撞的特征是,极短的时间,和,强烈的相互作用,。,一、正碰对心碰撞,说明： ,e,=0 完全非弹性碰撞, 0,e,1 非弹性碰撞(如采用不同材料时),e,=1 完全弹性碰撞,碰撞定律,恢复系数,碰撞前两球速度均沿两球中心,连线满足：动量守恒定律,第五章机械能守恒,44,当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得,讨论：,碰撞过程中损失的动能为,由此可知，对于完全弹性碰撞，,e,=1，动能守恒；,对于完全非弹性碰撞，,e,=0，动能损失最大.,第五章机械能守恒,45,第五章机械能守恒,高能粒子加速器,资用能: 真正参与粒子反应的能量，质心动能不参与反应,目的：用来研究微观粒子的结构、相互作用和反应机制,？,情况i,情况i:资用能,情况i:资用能,情况ii :高能粒子对撞,例如: 1987年,北京正负电子对撞机:资用能,2x2.2GeV 若单束加速:1.9x10,4,GeV,46, 质心系中的正碰撞,上面讨论的是在实验室系（,L,系）中正碰撞。而在质心系（,C,系）中，由于对质心的动量之和永远为零，故在质心系中描写碰撞，表达形式简单，物理意义清晰。,在,L,系中，质心速度为,在,C,系中，设碰撞前后两质点的速度分别为 和,则,由这两方程可得,第五章机械能守恒,47,在,C,系中，碰撞损失的动能为,思考：如何把质心系的碰撞结论化回实验室坐标系?,二、弹性斜碰,碰撞前两球的速度 不在两球中心连线上的碰撞叫,斜碰.一般情况下，斜碰为三维问题.若 ，则变为二维,问题.,提示：,第五章机械能守恒,48,如图，取 的方向为,x,轴，则上,面笫一式化为,在完全弹性碰撞中，动量和能量都守恒，有,式中 称为散射角.另外，碰撞结果还与碰撞前两小球中,心在,y,方向上的距离,b,有关.,b,称为瞄准距离.,b,=0时即为正碰.,通常，应用实验方法测出上面四个未知数中的一个，才,能求出其余三个未知数.,b,第五章机械能守恒,49,例题5.5 如图，质量为,M,的物块,A,在离平板为,h,的高度,处自由下落.落在质量也为,M,的平板,B,上.已知轻质弹,簧的倔强系数为,k,，物体与平板作完全非弹性碰撞，,求碰撞后弹簧的最大压缩量.,解：本题可分为三个物理过程,物块,A,下落,物块,A,与平板,B,发生碰撞,碰撞后弹簧被压缩,机械能守恒,h,第五章机械能守恒,50,弹簧被最大压缩时,如图，取弹簧不承载平板,的平衡位置为坐标原点,O,.则,平板,B,放上后位移为 ，物,块,A,碰撞后位移为 ，则,根据机械能守恒式，得,而,x,h,第五章机械能守恒,O,51,将、式代入式，整理后得,因 ，故应将负根舍去.得碰撞后弹簧最大压缩量为,解之得,第五章机械能守恒,52,第五章机械能守恒,例题5.6,弹弓效应,如图，土星的质量为5.67x10,26,kg，以相对于太阳的轨道速率9.6km.s,-1,运行；一空间探测器质量为150kg，以相对于太阳10.4km.s,-1,的速率迎向土星飞行。由于土星的引力，探测器绕过土星沿和原来速度相反的方向离去，求它离开土星的速度。,v,10,v,1,v,20,解：将其看成无接触碰撞，其中,e=1，m,1,可忽略，则,探测器绕过土星后由于引力作用速率增大，这种效应称,为,弹弓效应,。,53,第五章机械能守恒,三、两体问题处理方法,m,1,r,C,1,r,C,2,m,2,r,1,r,C,r,2,O,如图，考虑质量分别为,m,1,和,m,2,的两个质点的孤立体系，质点间的作用力是保守力，由两质点的相对位置决定。取一惯性系，位矢和速度分别为 ，质心的质量、位矢分别为,m,C,和,r,C,，则有：,在该惯性系中，动力学方程为：,处理方法一（,S,参考系法）,54,第五章机械能守恒,考虑,m,1,相对于,m,2,的运动。选择与,m,2,（通常选取质量较大的物体）相对静止的参考系，,m,2,位于原点，称该参考系为,S,系,（非惯性系）。,在,S,系中，,m,1,的位置为,r,，速度为,v,：,也可以通过引入惯性力来列出运动的牛顿方程,由,令 ，则,该方程与牛顿定律类似，即,利用约化质量，即可把两体问题化成单体问题。,其中,m,约化质量，或折合质量,55,第五章机械能守恒,例如：,单电子围绕原子核（如,H,原子），或地球围绕太阳的运动等，我们通常可以将大质量的物体看成静止，而仅研究小质量物体的运动，即将两体运动问题转化为单体问题。,又由于,m,1,m,2,，则,所以在,S,系中,这就是我们处理此类两体问题的依据所在。,讨论：,即使,m,2,不是很大，且,m,2,也运动时，只要利用约化质量，即可把两体问题化成单体问题；,其它多质点动力学问题不能化成单体问题。即使三体问题也未能一般解出。这类问题通常用摄动法（微扰法）解。,56,第五章机械能守恒,另外取质心为原点建立质心参考系（,质心系）,在以,O,点的惯性系中,设,m,1,、,m,2,在质心系中的坐标分别为,r,C,1,、,r,C,2,，有：,该式表明,孤立体系,的质心系是惯性系,处理方法二（,质心,参考系法）,故 ，且有,1. 质心在两质点的连线上；,2. 质点与质心距离反比于质点的质量,m,1,r,C,1,r,C,2,m,2,r,1,r,C,r,2,O,C,57,第五章机械能守恒,在质心系中的机械能：,系统的势能,利用约化质量，可得在质心系中的机械能：,由上式可得质点,m,1,、,m,2,在质心系中的速度为：,58,本章基本要求, 掌握功的定义及变力做功的计算方法., 理解质点和质点系的动能定理的意义及其应用., 掌握保守力和由之定义的势能的概念.掌握重力势能、 万有引力势能和弹性势能的概念和计算方法,特别注意势能零点的选择., 熟练掌握机械守恒定律，并能联系动量守恒定律解决 一些问题., 理解柯尼希定理及应用., 掌握两体碰撞的基本规律及应用.,7. 掌握两体问题的处理方法.,第五章机械能守恒,59,谢谢观看,/,欢迎下载,BY FAITH I MEAN A VISION OF GOOD ONE CHERISHES AND THE ENTHUSIASM THAT PUSHES ONE TO SEEK ITS FULFILLMENT REGARDLESS OF OBSTACLES. BY FAITH I BY FAITH,内容总结,笫五章机械能守恒。（四）两体碰撞与两体问题。之和，而不是合力功之和.。即一对内力所作的功仅决定于力和质点间相对位移的标积.。万有引力作功只取决于质点的起始和终了位置，与所经过的路径无关。保守力：作功只与物体的始末位置有关，而与路径无关。二、保守力与非保守力。(3)有心力是保守力，例如万有引力、库仑力都是保守力。即：保守力对物体作的功等于物体势能增量负值。当坐标系和势能零点一经确定，势能仅是坐标的函数。势能随坐标变化的曲线称为势能曲线。二维三维情况：特例马鞍形势能曲面中心O处的质点在x方向不稳定平衡，y方向为稳定平衡。iii. 体系的势能与参考系无关.。（4）功是一个过程量, 能量是一个状态量.。柯尼希定理体系动能等于质心动能和体系相对质心系。这是地球-飞行器质心参考系看来，飞行器冲出地球引力。碰撞前两球速度均沿两球中心。当两物体发生对心碰撞时，由以上两方程解得。资用能: 真正参与粒子反应的能量，质心动能不参与反应,