讲-应力与平衡、位移与应变

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2012/9/18,清华大学流体机械及工程研究所 王正伟 01062791262,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,2012/9/18,清华大学流体机械及工程研究所 王正伟 01062791262,#,2024/10/15,1,王正伟,13601363209,第二章,应力与平衡、位移与应变,Theory of Stress,and,Balance,、,displacement and strain,清华大学热能工程系,Dept.of Thermal Engineering,Tsinghua University,位移与应变,位移与运动的分解,变形的不同描述方式,应变位移的,关系,2024/10/15,2,王正伟,13601363209,应力与平衡,Theory of Stress and Balance,内力,与,应力,载荷、内力与应力,斜面,应力公式,(,柯西公式,),主应力,应力莫尔圆,应力平衡微分方程,笛卡儿坐标系下的平衡微分方程,圆柱坐标系下的平衡,微分方程,2024/10/15,3,王正伟,13601363209,外力、载荷,Load,面力,是作用在物体表面上的外力。,体积力,是作用在物体内部体积上的外力。,2024/10/15,若取 为变形前面元的初始面积，则上式给出,工程应力,，亦称,名义应力,，常用于小变形情况。,对于大变形问题，应取 为变形后面元的实际面积，称,真实应力,，简称真应力,也称,柯西应力,。,4,王正伟,13601363209,应力矢量,(,应力,),Stress Vector,应力矢量,(,应力,),2024/10/15,5,王正伟,13601363209,下图为低碳钢轴向拉伸变形情况，前两个图为小变形情况，应力计算采用,工程应力,，第三个真实截面面积相比于初始情况变化剧烈，因而必须采用,真实应力,来描述。在以后的讨论中主要研究小变形问题，因而应力计算上为工程应力。,应力矢量,(,应力,),Stress Vector,2024/10/15,6,王正伟,13601363209,应力状态,State of Stress,在,笛卡尔坐标系中，用六个平行于坐标面的截面在一点周围截取一个正六面体微元。正六面体的六个面法向矢量与坐标轴平行，同向的三个面称之为正面，反向的三个面称之为负面。将作用在正面上的应力矢量沿坐标轴方向分解。,2024/10/15,7,王正伟,13601363209,面力、应力矢量与应力状态辨析,相同点：,量纲,相同；,内力与应力的数学定义,相同。,不同点：,面力,为表面的已知量；,应力矢量依赖,于点和斜,截面；,应力状态,为客观量,，仅与,点,有关。,2024/10/15,8,王正伟,13601363209,斜面应力公式,Cauchy Formula,四面体,OABC,，由三个负面和一个法向矢量,为,的斜截面组成，其中,为 方向,的方向余弦。,2024/10/15,9,王正伟,13601363209,斜面应力公式,Cauchy Formula,四个截面面积分别为：,四面体体积为：,2024/10/15,10,王正伟,13601363209,四面体平衡条件为：,斜面应力公式,Cauchy Formula,2024/10/15,11,王正伟,13601363209,斜面应力公式的应用,计算斜截面上应力的,大小：,计算斜截面上应力的,方向：,计算,斜截面上,正应力：,计算,斜截面上,剪应力：,2024/10/15,12,王正伟,13601363209,转轴公式,（,1,）由老坐标（常选笛卡尔坐标）中的应力分量求新坐标（可选任意正交曲线坐标）中的应力分量。,（,2,）求斜截面应力。把斜面法线和斜面内某两个相互垂直的方向选作新坐标轴，用转轴公式能求得斜面上的正应力和剪应力。,2024/10/15,13,王正伟,13601363209,主应力,Principal Stress,对于给定的应力状态，若改变斜面方向，则斜面应力的大小和方向都会发生改变，因此是否存在一个面，使得只存在正应力而无,剪应力？,2024/10/15,14,王正伟,13601363209,主应力的性质,Principal Stress,不变性：,由于,特征方程的三个系数是不变量，所以作为特征根的主应力及相应主方向都是不变量。从物理的角度来考虑，它们都是物体内部受力状态的客观性质，与人为,选择的参考,坐标无关,。,实数,性：,即,特征方程的根永远是实数，从物理角度来考虑，应力也不存在复数的,可能。,极值,性：,主应力,和 是一点正应力的最大值和最小值。,正交性：,特征方程无重根时，三个主应力必两两正交；特征方程有一对重根时，在两个相同主应力的作用平面内可任选两个相互正交的方向作为主方向；特征方程出现三重根时，空间任意三个相互正交的方向都可作为主方向,。,主应力,坐标系：,在任意一点，以三个,主方向,为,轴建立坐标系称为主坐标系，此时,应力张量,可以,简化成对角型,。,2024/10/15,15,王正伟,13601363209,平面中一点的应力状态,Stress State,主应力：,主方向：,最大剪应力：,x,y,O,P,A,B,p,n,p,x,p,y,n,n,2024/10/15,16,王正伟,13601363209,应力莫尔圆,Mohr circle of stress,弹性力学中应力莫尔圆可以说是材料力学中二维应力圆的推广，在材料力学平面问题中只有两个主应力，这样只有一个莫尔圆，而弹性力学中有三个主应力，这样应力摩尔圆的数目为有三个。,2024/10/15,17,王正伟,13601363209,应力莫尔圆,Mohr circle of stress,三维莫尔圆,2024/10/15,18,王正伟,13601363209,应力平衡微分方程,Stress Balance Equation,首先,我们认为应力状态是坐标的函数，在笛卡尔坐标系下有,2024/10/15,19,王正伟,13601363209,现在考虑,X,轴方向上的受力平衡，得到：,应力平衡微分方程,Stress Balance Equation,2024/10/15,20,王正伟,13601363209,同样方法计算,Y,轴和,Z,轴方向上的受力平衡，得到应力的平衡微分方程如下：,指标形式：,下标,表示 对,方向求偏导数，为体积力。,应力平衡微分方程,Stress Balance Equation,2024/10/15,21,王正伟,13601363209,剪力互等定理,Stress balance equation,下面考虑微元的力矩平衡，通过形心考虑,Z,轴方向取矩，凡是作用线通过形心或方向与轴平行的应力和体力分量对该轴的力矩均为零，于是力矩平衡方程只剩两项。,2024/10/15,22,王正伟,13601363209,下面考虑圆柱坐标系中的平衡方程,应力平衡微分方程,Stress Balance Equation,2024/10/15,23,王正伟,13601363209,位移的描述,Characterization of Displacement,从,位移对物体的影响而言，位移可以,划分刚体,位移和变形,。,刚体,位移,是由整个物体在空间做刚体运动引起的，包括平动和转动,；,变形,是物体形状变化引起的位移，位移发生时不仅改变物体的绝对位置，且改变了物体内部各个点的相对位置,。,刚体,位移和变形是同时出现的，在弹性力学中我们忽略刚体运动对物体的影响，仅考虑变形。,2024/10/15,24,王正伟,13601363209,拉格朗日,坐标系,其坐标系是放在所描述,的,物体上随着物体一起运动。,拉格朗日,描述法以物体变形前的初始构形为参照构形，质点变形前的,坐标,为,基本未知量。将变形后物体,的位置,表示为,的,函数,：,欧拉,坐标系,其坐标系本身是固定,的,，仅物体,运动,。,欧拉描述法以物体变形后的新构形为参照构形，质点变形后的坐标,为,基本未知量。将变形前物体的位置,表示为,的,函数,：,位移的描述,Characterization of Displacement,区别：,欧,拉坐标固定在空间，拉格朗日坐标固定在材料上,；,欧拉坐标指一点在空间的位置，拉格朗日坐标标记一个材料点,。,2024/10/15,25,王正伟,13601363209,在下面的分析中采用符号,得到位移是质点初始坐标或变形后坐标的函数,利用小变形条件可以得到,位移的描述,Characterization of Displacement,2024/10/15,26,王正伟,13601363209,首先考虑最简单的一维杆在受到轴向拉伸力时的变形，计算杆中长度为,dx,的微元的变化，有,应变,-,位移关系,Strain-Displacement,Relationship,2024/10/15,27,王正伟,13601363209,对,在,处Taylor展开有,由于 非常小，忽略高阶项可以得到：,由此定义小变形情况下单轴拉伸的单轴应变,(,工程应变,),为：,应变,-,位移关系,Strain-Displacement,Relationship,2024/10/15,28,王正伟,13601363209,考虑最简单的一维杆在受到扭矩作用时的变形，有：,应变,-,位移关系,Strain-Displacement,Relationship,2024/10/15,29,王正伟,13601363209,下面考虑一个三维微元体在载荷作用下发生变形，如果采用几何的方法来分析三维物体微元变形就比较困难，于是将变形体向三个坐标轴组成的三个面投影。,应变,-,位移关系,Strain-Displacement,Relationship,2024/10/15,30,王正伟,13601363209,在三维问题中定义正应变,相,关的方法与一维杆情况相同，是相对变形长度与初始长度的比值，为,定义切应变,(,剪应变,),为转角的变化程度,应变,-,位移关系,Strain-Displacement,Relationship,2024/10/15,31,王正伟,13601363209,以,x-y,平面的关系为例，位移是坐标值的连续函数，所以,P,点在,x,及,y,轴上的位移分量为,u,、,v,，则,A,点及,B,点的位移分量按照多元函数,Taylor,展开，并利用小变形假设而略去二阶以上的无穷小量有,应变,-,位移关系,Strain-Displacement,Relationship,2024/10/15,32,王正伟,13601363209,计算线应变,计算剪应变,应变,-,位移关系,Strain-Displacement,Relationship,柯西应变矩阵,(,张量,),写成指标形式为：,2024/10/15,33,王正伟,13601363209,应变,-,位移关系,Strain-Displacement,Relationship,2024/10/15,34,王正伟,13601363209,柯西应变矩阵 的六个分量的几何意义是：当指标,时,表示沿坐标轴方向的线元工程正应变，以伸长为正，缩短为负；当指标,时,，,的,两倍表示坐标轴,i,与,j,方向两个正交线元间的工程剪应变。以锐化（直角减小）为正，钝化（直角增加）为负。,柯西应变矩阵 在每点至少存在三个相互正交的主方向，为主方向的单位矢量，则按张量主方向的定义,有,标量,称为,应变张量的主值，即沿主方向,的,主应变，与主应力类似，主应变也具有实数性，正交性和极值性,。,应变,-,位移关系,Strain-Displacement,Relationship,2024/10/15,35,王正伟,13601363209,特殊应变场,刚体位移,应变,-,位移关系,Strain-Displacement,Relationship,2