实验3导数及偏导数运算

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,实验3 导数及偏导数运算,实验目的：,1.,进一步理解导数概念及几何意义；,2.,学习,Matlab的求导命令与求导,法。,学习 Matlab 命令,导数概念,求一元函数的导数,求多元函数的偏导数,求高阶导数或高阶偏导数,求隐函数所确定函数的导数与偏导数,实验内容：,1.,学习Matlab,命令,建立符号变量命令 sym 和 syms 调用格式：,x=sym(x),建立符号变量 x；,syms x y z,建立多个符号变量 x,y,z；,Matlab 求导命令,diff,调用格式：,diff(f(x)，,求,的一阶,导数 ；,diff(f(x),n)，,diff(f(x，y),x)，,求,对,x,的一阶偏,导数 ；,diff(函数f(x，y),变量名 x,n)，,求,对,x,的 n,阶偏,导数 ；,jacobian(f(x,y,z),g(x,y,z),h(x,y,z),x,y,z),matlab 求雅可比矩阵命令 jacobian，调用格式：,2.,导数的概念,导数为函数的变化率，其几何意义是曲线在一点处的切线斜率。,1).点导数是一个极限值,例1.,解：,syms h;limit(exp(0+h)-exp(0)/h,h,0),ans=1,2).导数的几何意义是曲线的切线斜率,画出 在x=0处(P(0,1)的切线及若,干条割线，观察割线的变化趋势.,例2,解,:在曲线 上另取一点 ，,则PM的方程是:,即,取h=3,2,1,0.1,0.01，分别作出几条割线,.,h=3,2,1,0.1,0.01;a=(exp(h)-1)./h;x=-1:0.1:3;,plot(x,exp(x),r);hold on,for i=1:5;,plot(h(i),exp(h(i),r.),plot(x,a(i)*x+1),end,axis square,作出,y=exp(x)在x=0处的切线y=1+x,plot(x,x+1,r),从图上看,，随着,M与P越来越接近,，割线,PM越来越接,近曲线的割线.,3.,求一元函数的导数,例3.,1)y=f(x)的一阶导数,解：,输入指令,syms x;,dy_dx=diff(sin(x)/x),得结果:,dy_dx=cos(x)/x-sin(x)/x2,.,pretty(dy_dx),cos(x)sin(x),-,x 2,x,在 matlab中，函数 lnx 用 log(x)表示，log10(x)表示 lgx。,例4,解：,输入指令,syms x;,dy_dx=diff(log(sin(x),得结果:,dy_dx=cos(x)/sin(x),.,例5,解：,输入指令,syms x;,dy_dx=diff(x2+2*x)20),得结果,:,dy_dx=20*(x2+2*x)19*(2*x+2),.,例6,解：,输入指令,syms a x;,a=diff(sqrt(x2-2*x+5),cos(x2)+2*cos(2*x),4(sin(x),log(log(x),Matlab 函数可以对矩阵或向量操作。,a=,1/2/(x2-2*x+5)(1/2)*(2*x-2),-2*sin(x2)*x-4*sin(2*x),4sin(x)*cos(x)*log(4),1/x/log(x),解：,输入命令,2)参数方程确定的函数的导数,例7,dy_dx=,sin(t)/(1-cos(t),syms a t;,dx_dt=diff(a*(t-sin(t);dy_dt=diff(a*(1-cos(t);dy_dx=dy_dt/dx_dt.,syms x y z;,du_dx=diff(x2+y2+z2)(1/2),x),du_dy=diff(x2+y2+z2)(1/2),y),du_dz=diff(x2+y2+z2)(1/2),z),a=jacobian(x2+y2+z2)(1/2),x y,z),解：输入命令,4.,求多元函数的偏导数,例8,du_dx=1/(x2+y2+z2)(1/2)*x,du_dy=1/(x2+y2+z2)(1/2)*y,du_dz=1/(x2+y2+z2)(1/2)*z,解：,输入命令,syms x y;,diff(atan(y/x),y),ans=,-y/x2/(1+y2/x2),syms x y;,diff(atan(y/x),x),ans=,1/x/(1+y2/x2),syms x y;,Jacobian(atan(y/x),xy,x,y),ans=,-y/x2/(1+y2/x2),1/x/(1+y2/x2),xy*y/x,xy*log(x),5.,求高阶导数或高阶偏导数,例10,syms x;,diff(x2*exp(2*x),x,20),解：输入命令,ans=,99614720*exp(2*x)+20971520*x*exp(2*x)+1048576*x2*exp(2*x),例11,syms,x y;,dz_dx=diff(x6-3*y4+2*x2*y2,x,2),dz_dy=diff(x6-3*y4+2*x2*y2,y,2),dz_dxdy=diff(diff(x6-3*y4+2*x2*y2,x),y,),解：输入命令,dz_dx=30*x4+4*y2,dz_dy=-36*y2+4*x2,dz_dxdy=8*x*y,6.,求隐函数所确定函数的导数或偏导数,例12,syms x y,;,df_dx=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),x),df_dy=diff(log(x)+exp(-y/x)-exp(1),y),dy_dx=-df_dx/df_dy,解：,df_dx=1/x+y/x2*exp(-y/x),df_dy=-1/x*exp(-y/x),dy_dx=-(-1/x-y/x2*exp(-y/x)*x/exp(-y/x),例13,syms,x y z;,a=jacobian(sin(x*y)+cos(y*z)+tan(x*z),x,y,z),dz_dx=-a(1)/a(3),dz_dy=-a(2)/a(3),解：,a=,cos(x*y)*y+(1+tan(x*z)2)*z,cos(x*y)*x-sin(y*z)*z,-sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)2)*x,dz_dx=,(-cos(x*y)*y-(1+tan(x*z)2)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)2)*x),dz_dy=,(-cos(x*y)*x+sin(y*z)*z)/(-sin(y*z)*y+(1+tan(x*z)2)*x),输入命令：,syms x y;,f=(x2-2*x)*exp(-x2-y2-x*y)-z;,pretty(-simple(diff(f,x)/diff(f,y);,练习：,