电动力学Chapter22(唯一性定理)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第二节,唯一性定理,1,一、静电问题的唯一性定理,区域V可以分为若干个均匀区域V,i,，每一均匀区域的电容率为,i,。设V内有给定的电荷分布,(,x,),。电势,在均匀区域V,i,内满足泊松方程,2,除此之外，要完全确定V内的电场，还必须给出V的外边界S上的一些条件。,在两区域V,i,和V,j,的分界面上满足边值关系,3,唯一性定理：,设区域V内自由电荷分布为,(,x,),，在V的外边界,S,上给定,（i）电势,s,或,（ii）电势的法向倒数(,/n),s,则V内的电场唯一地确定。,也就是说，在V内存在唯一的解，它在每个均匀区域内满足泊松方程，在两均匀区域分界面上满足边值关系，并在V的边界,S,上满足给定的,或,/n,值。,4,证明：,设有两组不同的解,和,满足唯一性定理的条件。,由,得,令,5,在两均匀区界面上有,在整个区域V的边界S上有,或,6,考虑第i个均匀区V,i,的界面,S,i,上的积分,对所有分区V,i,求和,在均匀区界面,内部边界积分相互抵消,7,这说明,和,至多只能相差一个常量。但电势的附加常量对电场没有影响，这就证明了唯一性定理。,而右边被积函数,i,(),2,0。,上式成立的条件是在V内各点上都有,=0,，即在V内，,外边界因,积分亦为零,或,8,二、有导体存在时的唯一性定理,当有导体存在时，由实践经验我们知道，为了确定电场，所需要条件有两种类型：,一类是给定每个导体上的电势,i,；,另一类是给定每个导体上的总电荷,Q,i,。,9,如图设在某区域V内有一些导体，除去导体内部以后的区域为V。设V内有给定电荷分布,，,S,上给定了,|,s,或(,/n)|,s,值。,10,第二类型：设区域V内有一些导体，给定导体之外的电荷分布,，给定各导体上的总电荷,Q,i,以及V的边界,S,上的,或,/n,值，则V内的电场唯一地确定。,第一类型：当每个导体上的电势,i,给定时，即给出了V所有边界上的,或(,/n),值，因而由上一小节证明了的唯一性定理可知，V内的电场被唯一确定。,11,在第i个导体上满足总电荷条件,和等势面条件,以及在V的边界S上具有给定的,|,s,或(,/n)|,s,值。,也就是说，存在唯一的解，,它在导体以外满足泊松方程,12,证明,设有两个解,和,满足,或,则,满足,13,对区域V用公式,14,上式左边的面积分包括V的边界,S,以及每个导体的表面,S,i,上的积分。,在,S,i,上的积分,在,S,上的积分,由此,15,即,和,至多只能相差一个常量，因而电场唯一确定。,当导体外的电势确定后，导体上的电荷面密度由边值关系确定,16,例 如图24，两同心导体球壳之间充以两种介质，左半部电容率为,1,，右半部电容率为,2,，设内球壳带总电荷,Q,，外球壳接地，求电场和球壳上的电荷分布。,17,设两介质内的电势、电场强度和电位移分别为,解,18,如果我们假设,E,仍保持球对称性，即,此时边值关系得到满足。,由于左右两半是不同介质，因此一般不同于只有一种均匀介质时的球对称解。在找尝试解时，我们先考虑两介质分界面上的边值关系,19,导体球面上的积分,将电场值代入得,解出,20,则,此解满足唯一性定理的所有条件，因此是唯一正确的解。,注意导体两半球上的面电荷分布是不同的，但,E,却保持球对称性。,21,设内导体半径为,a,，则球面上的电荷面密度为,虽然,E,仍保持球对称性，但是,D,和导体面上的电荷面密度,不具有球对称性。,22,