直线的方向向量和平面的法向量

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,直线的方向向量和平面的法向量,研究,立体几何问题,O,P,A,B,P,P,O,例,1,如图,在正方形,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,N,分别是,C,1,C,、,B,1,C,1,的中点,求证,:MN,平面,A,1,BD,D,N,M,A,B,C,D,!,B,!,C,!,A,!,法,1:,法,2:,即 可用 与 线性表示,故 与,是共面向量,MN,平面,A,1,BD,如果表示向量,的有向线段所在直线垂,直于平面,，则称这个向量垂直于平面,记,作,，如果,，那么向量 叫做平面,的,法向量,.,二、平面的法向量,(1),定义,(2),理解,1.,平面的法向量是,非零向量,;,2.,一个平面的法向量,不是唯一的,，其所,有法向量都互相平行,;,二、平面的法向量,3.,向量 是平面 的法向量，,若,，则有,A,给定一点,A,和一个向量,那,么过点,A,以向量,为法向量的平面,是完全确定的,.,二、平面的法向量,(3),法向量确定平面的位置,二、平面的法向量,(4),求法,步骤：,A,1,x,D,1,B,1,A,D,B,C,C,1,y,z,E,F,CD,中点，求证：,D,1,F,例,2.,在正方体,中，,E,、,F,分别是,BB,1,，,平面,ADE,证明：设正方体棱长为,1,，为单位正交,基底，建立如图所示坐标系,D,-,xyz,，,则可得：,所以,三、用方向向量和法向量判定位置关系,三、用方向向量和法向量判定位置关系,例,1,如图,在正方形,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,M,N,分别是,C,1,C,、,B,1,C,1,的中点,求证,:MN,平面,A,1,BD,D,N,M,A,B,C,D,!,B,!,C,!,A,!,法,3:,建立如图所示的空间直角坐标系,.,x,z,y,设正方体的棱长为,1,则可求得,M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A,1,(1,0,1),B(1,1,0).,于是,设平面,A,1,BD,的法向量是,则 得,取,x=1,得,y=-1,z=-1,练习一,1.,设 分别是直线,l,1,l,2,的方向向量,根据下,列条件,判断,l,1,l,2,的位置关系,.,平行,垂直,平行,练习二,1.,设 分别是平面,的,法向量,根据,下列条件,判断,的位置关系,.,垂直,平行,相交,练习三,1,、设平面 的法向量为,(1,2,-2),平面 的法向量为,(-2,-4,k),若 ，则,k=,；,若 则,k=,。,2,、,已知 ，且 的方向向量为,(2,m,1),，,平面的法向量为,(1,1/2,2),则,m=,.,3,、,若 的方向向量为,(2,1,m),平面 的法向量为,(1,1/2,2),且 ，则,m=,.,4,-5,-8,4,一、平行关系：,课时小结,二、垂直关系：,