极坐标与直角坐标方程

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,直角坐标系与极坐标系,目标在哪？,在以,为,X,轴,以,为,Y,轴，,坐标是,.,算的太慢了！,以立新街为,X,轴,以大桥东路为,Y,轴,请问：去融安,二中怎么走？,以立新街为,X,轴,以大桥东路为,Y,轴,脑子,进水了？,以立新街为,X,轴,以大桥东路为,Y,轴,精神病！,从这向北向,东南方向,3000,米。,请问：去融安,二中怎么走？,请分析上面这句话，他告诉了问路人什么？,从,这向东南,走,3000,米,！,出发点,方向,距离,在生活中人们经常用方向和距离来表示一点的位置。这种用,方向,和,距离,表示平面上一点的位置的思想，就是极坐标的基本思想。,极坐标系的建立：,在平面内取一个定点,O,，叫做,极点,。,引一条射线,OX,，叫做,极轴,。,再选定一个长度单位和,角度单位,及,它的正方向,（通常取逆时针方向）。,这样就建立了一个,极坐标系,。,X,O,极坐标系内一点的极坐标的规定,X,O,M,对于平面上任意一点,M,，用,表示线段,OM,的长度，用,表示从,OX,到,OM,的角度，,叫做点,M,的,极径,，,叫做点,M,的,极角,，有序数对,（,，）,就叫做,M,的极坐标。,特别强调：,表示线段,OM,的长度，即点,M,到极点,O,的距离；表示从,OX,到,OM,的角度，即以,OX,（极轴）为始边，,OM,为终边的角。,题组一,:,说出下图中各点的极坐标,平面上一点的极坐标是否唯一？,若不唯一，那有多少种表示方法？,坐标不唯一是由谁引起的？,不同的极坐标是否可以写出统一表达式？,特别规定：,当,M,在极点时，它的极坐标,=0,，可以取任意值。,想一想？,点的极坐标的表达式的研究,X,O,M,如图：,OM,的长度为,4,，,请说出点,M,的极坐标的其他表达式。,思考：这些极坐标之间有何异同？,思考：这些极角有何关系？,这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。,本题点,M,的极坐标统一表达式：,极径相同，不同的是极角,题组二,:,在极坐标系里描出下列各点,:,A,B,C,D,E,F,G,O,X,极坐标系下点与它的极坐标的对应情况,1,给定（,）,就可以在,极坐标,平面内确定唯一的一点,M,。,2,给定平面上一点,M,，但却有无数个极坐标与之对应。,原因在于：极角有无数个。,O,X,P,M,(,),一般地,若,(,),是一点的极坐标,则,(,+2,k,),、都可以作为它的极坐标,.,如果,限定,0,0,2,或, ,那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以,一一对应,了,.,2.,在极坐标系中,与,(,),关于极轴对称的点是,( ),A.(,) B.(,),C.(,) D.(,),A,B,题组三,1.,在极坐标系中，与点,(3, ),重合的点是,( ),A.(3, ) B. (3,),C. (3, ) D. (3,),极坐标和直角坐标的互化,平面内的一个点的直角坐标是,(1, ),思考,:,这个点如何用极坐标表示,?,O,x,y,在直角坐标系中,以原点作为极点,x,轴的正半轴作为极轴,并且两种坐标系中取相,同的长度单位,点,M,的直角坐标为,设点,M,的极坐标为,(,),极坐标与直角坐标的互化关系式,:,设点,M,的直角坐标是,(x, y),极坐标是,(,),x=cos, y=sin,互化公式的三个前提条件：,1.,极点与直角坐标系的原点重合,;,2.,极轴与直角坐标系的,x,轴的正半轴,重合,;,3.,两种坐标系的单位长度相同,.,例,1.,将点,M,的极坐标,化成直角坐标,.,解,:,所以,点,M,的直角坐标为,已知下列点的极坐标，求它们的直,角坐标。,例,2.,将点,M,的直角坐标,化成极坐标,.,解,:,因为点在第三象限,所以,因此,点,M,的极坐标为,练习,:,已知点的直角坐标,求它们,的极坐标,.,直线的极坐标方程,思考：在平面直角坐标系中,1,、过点,(3,0),且与,x,轴垂直的直线方程为,;,过点,(3,3),且与,x,轴垂直的直线方程为,x=3,x=3,2,、过点（,a,b,）且垂直于,x,轴的直线方程为,_,x=a,特点：所有点的横坐标都是一样，纵坐标可以取任意值。,答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程就是找出曲线上动点的坐标,与,之间的关系，然后列出方程,(,)=0,，再化简并讨论。,怎样求曲线的极坐标方程？,例题,1,：,求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,o,M,x,分析：,如图，所求的射线上任一点的极角都是 ，其,极径可以取任意的非负数。故所求,直线的极坐标方程为,1,、求过极点，倾角为 的射线的极坐标方程。,易得,思考：,2,、求过极点，倾角为 的直线的极坐标方程。,和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线组合而成。原因在哪？,为了弥补这个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线的极坐标方程可以表示为,或,例题,2:,求过点,A(a,0)(a0),，且垂直于极轴的直线,L,的极坐标方程。,解：如图，设点,为直线,L,上除点,A,外的任意一点，连接,OM,o,x,A,M,在 中有,即,可以验证，点,A,的坐标也满足上式。,求直线的极坐标方程步骤,1,、据题意画出草图；,2,、设点 是直线上任意一点；,3,、连接,MO,；,4,、根据几何条件建立关于 的方程,并化简；,5,、检验并确认所得的方程即为所求。,练习：,设点,A,的极坐标为,A ,直线 过点,A,且与极轴所成的角为,求直线 的极坐标方程。,解：如图，设点,为直线 上异于的点,连接,OM,，,o,M,x,A,在 中有,即,显然,A,点也满足上方程。,例题,3,设点,P,的极坐标为 ，直线 过点,P,且与极轴所成的角为,求直线 的极坐标方程。,o,x,M,P,解：如图，设点,点,P,外的任意一点，连接,OM,为直线上除,则 由点,P,的极坐标知,由正弦定理得,显然点,P,的坐标也是它的解。,设直线,与极轴交于点,A,。则,在,直线的几种极坐标方程,1,、过极点,2,、过某个定点，且垂直于极轴,3,、过某个定点，且与极轴成一定的角度,圆的极坐标方程,探究,如图，半径为,a,的圆的圆心坐标为,(a,0)(a0),，你能用一个等式表示圆上任意一点的极坐标,(,),满足的条件？,x,C(a,0),O,M,A,=2acos ,例,1,已知圆,O,的半径为,r,，建立怎样的坐标系，可以使圆的极坐标方程更简单？,C(r,0),x,O,M,=,r,练习,1,求下列圆的极坐标方程,（）中心在极点，半径为；,（）中心在（,，,），半径为,；,（）中心在（,，,2,），半径为,；,2,-2acos ,2asin ,极坐标方程分别是,cos,和,sin,的两个圆的圆心距是多少,练习,2,参数方程的概念：,如图，一架救援飞机在离灾区地面,500m,高处以,100m/s,的速度作水平直线飞行。为使投放救援物资准确落于灾区指定的地面（不记空气阻力），飞行员应如何确定投放时机呢？,x,y,500,o,参数方程的概念：,x,y,500,o,物资投出机舱后，它的运动由下列两种运动合成：,（,1,）沿,ox,作初速为,100m/x,的匀速直线运动；,（,2,）沿,oy,反方向作自由落体运动。,一般的，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标,x,，,y,都是某个变数,t,的函数，即,并且对于,t,的每一个允值，,由方程组 所确定的点,M(x,y),都在这条直线上，那么方程组 就叫做这条曲线的,参数方程,，联系,x,，,y,之间关系的变数叫做,参变数,，简称,参数,。,相对于参数方程来说，直接给出点的坐标间关系的方程叫做,普通方程,。,圆的参数方程,r,x,y,o,p,0,p,o,1,o,x,y,r,练习,:,如图，已知点,P,是半径是,2,的圆,O,上的一个动点，点,Q,是,x,轴上的定点，坐标为（,6,，,0,）,.,当点,P,在圆上运动时,线段,PQ,的中点,M,的轨迹是什么,?,P,x,y,O,Q,M,P,x,y,O,A,M,解,:,设点,M,的坐标是,(x,y).,因为圆,O,的参数方程为,所以 可设点,P,的坐标为,(2cos , 2sin,).,由线段中点坐标公式得点,M,的轨迹的参数方程为,参数方程和普通方程,的互化,（,1,）普通方程化为参数方程需要引入参数,如：直线,L,的普通方程是,2x-y+2=0,，可以化为参数方程,（,t,为参数）,在普通方程,xy=1,中，令,x = tan,可以化为参数方程,（,为参数）,（,2,）参数方程通过,代入消元,或,加减消元,消去参数化为普通方程,如：参数方程,消去参数,可得,圆的普通方程,(x-a),2,+(y-b),2,=r,2,.,参数方程,（,t,为参数）,可得普通方程：,y=2x-4,通过代入消元法消去参数,t ,（,x0,）,注意：,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x,，,y,的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的,.,例,:,把下列参数方程化为普通方程，并说明,它们各表示什么曲线？,例,:,椭圆 的参数方程为：,练习,:1.,把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程（口答）,。,练习,（,1,）当参数,R,时，化为普通方程是,_.,（,2,）当参数,0,，,时，化为普通方程是,_.,（,1,）,(x-1),2,+(y+3),2,=4,；,4,、在参数方程,中，,练习,:,（,2,）,(x-1),2,+(y+3),2,=4,(y-3).,5,、曲线,y=x,2,的一种参数方程是（ ）,.,注意：,在参数方程与普通方程的互化中，必须使,x,，,y,的取值范围保持一致。否则，互化就是不等价的,.,分析,:,发生了变化，因而与,y=x,2,不等价；,在,A,、,B,、,C,中，,x , y,的范围都,抛物线的参数方程,o,y,x,),H,M(x,，,y),普通方程,参数方程,引入参数,消去参数,小结,