38数列在分期付款的应用

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,宇宙之大，,粒子之微，,火箭之速，,化工之巧，,地球之变，,生物之谜，,日用之繁，,无处不用数学。,华罗庚,CCTV,新闻调查中的一段新闻报道,：,中国近几年来“负翁”增多,中国的年轻一代的消费观念正发生巨大变化，一般的“工薪阶层”正兴起买车潮、买房潮，他们敢于用明天的钱来享受今天的生活，过起了名副其实的“负翁”生活，其主要原因是中国的各家商业银行、各商家的,分期付款,业务的开通。,首页,房产,购房指南,购房注意事项,正文,居民购房喜欢分期付款,(,图）,2006-12-06 12:56:05,来源：,tlf,随着住房制度改革的深入，个人购房渐成气候。居民如何挑选自己称心如意的住房，如何看目前的房地产市场？近日国家统计局经济景气监测中心就此问题进行了调查。结果显示，绝大多数人愿意采用分期付款的方式购房。,对于如何支付高额的购房费用，,47,8,的人希望选择十年分期付款，,25,4,的人希望选择二十年分期付款，,20,4,的人希望选择一次付清。这说明多数人已经认可分期付款的购房方式，“花明天的钱买今天的房”，不仅会使大部分居民圆了住房梦，而且也会推动房地产市场向前发展。,调查进一步显示，目前的城市房价和广大居民的支付能力及收入预期相比仍然偏高，高昂的房价仍是扩大城市居民的即期购房消费的一大障碍。高达,65,的人认为所在城市的房价偏高，,29,4,的人认为适中，只有,5,6,的人认为房价较低,.,此外，,16,的人在购房时首先考虑价格因素，,15,1,的人首先考虑环境因素，,14,2,的人首先考虑交通因素，,12,1,的人首先考虑位置因素，,11,2,的人首先考虑绿化因素，另外，朝向、物业、辅助设施、户型、增值、学校也是一部分居民购房时首先要考虑的因素。这说明价格、环境、交通、位置是居民购房时要考虑的四大主要因素，人们已经逐步从计划经济体制下福利分房、受制于自己的职位、工龄等的被动局面中走了出来，客观地、全面地考虑住房的经济性、适用性、舒适性这些问题，按自己的意愿选择理想的住房。,房产服务,装修装饰,家居故事,租房服务,精选楼盘,专题总汇,数列在分期付款中的应用,1,分期付款,分期付款是商家为了促进商品的销售，便于顾客买一些销售价较高的商品（如房子、汽车等）所采用的一种付款方式，分期付款要注意：（,l,）,付款的间隔时间相同（,2,）每期付款 额相同,（,3,）各期所付的款额连同最后一次付款时所生的利息之和等于商 品的售价及购买到最后一次付款时的利息之和,2,复利计算,所谓单利计息是指当期利息不纳入下期的本金中去,3,.,单利计算：,复利：在存款和贷款的过程中，每期之末结息一次，在将利息转,化为本金，即在下一期中和原来的本金一起作为本金生息的计算,方法。,计算公式：,y=,pqx,，其中,p,为本金，,q,为银行利率，,x,为期数,例,1.,某人采用零存整取方式存款，他每月初第一天存人,l00,元，到第,12,月最后一天取出全部本利和，已知月利率为,0,165,，请分别按单利和复利计息，到年底的本利和是多少？（所谓单利计息是指当期利息不纳入下期的本金中去）,【,解,】(1).,若按单息计算，则,第,1,个月存入的,100,元的利息为,100,0,l65%,12,；,第,2,个月存入的,100,元的利息为,1000.165,11,；,第,12,个月存入的,100,元的利息为,100,0.165,1,于是全部利息和为,S,12,1000,165%12+100 0.165%11,1000.165,1,=100 0.165,（,l,2,12,）,=,0,165,78,12,87,（元）,到年底的本利和是,1200+12.87,=,1212.87,而本金共,100,12,=,1200,元,(2).,若按复利计算，则,而各月的本利和是,第,1,个月存入的,100,元本利和,100,（,l,0.165,）,12,；,第,2,个月存入的,100,元本利和,100(1,0,165,),11,；,第,12,个月存入的,100,元本利和,100,（,1,0,165,）,1,于是全部本利和是,S,12,100,（,l,0,165,）,100,（,1,0,165,）,2,100,（,1,0,165,）,3,100,（,1+0,。,165,）,12,=,=1212.94,（元）,答：若按单息计算，到年底所取出的本利息是,1212,87,无，若 按复息计算，到年底的本利和是,1212,94,元,例,3.,某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等还本付息（以复利计算），某人贷款,10000,元，预计两年还清，月利率为,0.4575%,，那么每月应还多少钱？,填表,10000,元贷款的本金与它的利息之和,1,个月后,2,个月后,3,个月后,23,个月后,24,个月后,10000(1+0.004575),10000(1+0.004575),2,10000(1+0.004575),3,10000(1+0.004575),23,10000(1+0.004575),24,例,3.,某银行设立了教育助学贷款，其中规定一年期以上贷款月均等还本付息（以复利计算），某人贷款,10000,元，预计两年还清，月利率为,0.4575%,，那么每月应还多少钱？,填表 设每月还款,x,元,10000,元贷款的本金与它的利息之和,1,个月后还,x,元,2,个月后还,x,元,3,个月后还,x,元,23,个月后还,x,元,24,个月后还,x,元,(1+0.004575),23,x,(1+0.004575),22,x,(1+0.004575),21,x,(1+0.004575)x,x,X+1.004575x+1.004575,2,x+1.004574,23,=100001.004574,24,x440.91,例,2:,购买一件售价为,5000,元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后,1,个月第,1,次付款，再过,1,个月第,2,次付款，如此下去，共付款,5,次后还清，如果按月利率,0.8%,，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少,?(,精确到,1,元）,分析：本题可通过逐月计算欠款来处理，根据题意，第,5,个月的欠款数为零，据此可得等量关系。,购买一件售价为,5000,元的商品，采用分期付款的办法，每期付款数相同，购买后,1,个月第,1,次付款，再过,1,个月第,2,次付款，如此下去，共付款,5,次后还清，如果按月利率,0.8%,，每月利息按复利计算（上月利息要计入下月本金），那么每期应付款多少,?(,精确到,1,元）,(50001.008,2,-1.008x-x)1.008-x,即,50001.008,3,-1.008,2,x-1.008x x,购买,5,个月后的欠款数为：,50001.008,5,-1.008,4,x1.008,3,x-1.008,2,x-1.008x x,由题意,50001.008,5,-1.008,4,x1.008,3,x-1.008,2,x-1.008x x=0,即,x+1.008x+1.008,2,x+1.008,3,x+1.008,4,x=50001.008,5,解 ：设每月应付款,x,元，,购买,1,个月后的欠款数为,50001.008-x,购买,2,个月后的欠款数为,(50001.008-x)1.008-x,即,50001.008,2,-1.008x-x,购买,3,个月后的欠款数为,这就是说，每月应付款,1024,元,。,x+1.008x+1.008,2,x+1.008,3,x+1.008,4,x=50001.008,5,第,5,次付款,(,即最后一次付款,)x,元。,(,由于款已全部付清，因此这一期付款没有利息,),第,4,次付款,x,元后到款全部付清时连同利息之和,第,3,次付款,x,元后到款全部付清时连同利息之和,第,2,次付款,x,元后到款全部付清时连同利息之和,第,1,次付款,x,元后到款全部付清时连同利息之和,5000,元商品在购买,5,个月后（即货款全部付清时）连同利息之和,各次（期）所付的款以及各次（期）所付款到最后一次付款时所生的利息之和,商品的售价及从购买到最后一次付款时的利息之和。,从最后一次付款（即款全部付清）时的角度看,例,2:,顾客购买一件售价为,5000,元的商品时，如果采取分期付款，那么在一年内将款全部付清的前提下，商店又提出了下表所示的几种付款方案，以供顾客选择。,顾客在从上表中选择付款方案时，需要知道几种方案中每期应付款多少，总共应付款多少，这样才便于比较。,方案,类别,分几次,付清,付款方法,每期所付款额,付款,总额,与一次性付款差额,1,3,次,购买后,4,个月第,1,次付款，再过,4,个月第,2,次付款，再过,4,个月第,3,次付款。,2,6,次,购买,2,个月第,1,次付款，再过,2,个月第,2,次付款,购买后,12,个月第,6,次付款。,3,12,次,购买后,1,个月第,1,次付款，再过,1,个月第,2,次付款,购买后,12,个月后,12,次付款。,规定月利率为,0.8%,，每月利息按复利计算。,注,（,方案,1,）,解：设每期所付款额,x,元，那么到最 后,1,次付款时付款金额的本利和为：,x(1+1.008,4,+1.008,8,),元。,另外，,5000,元商品在购买后,12,个月后的本利和为,50001.008,12,元,。,由题意得,x(1+1.008,4,+1.008,8,),50001.008,12,每期所付款额为,1775.8,元，付款总额约为,5327,元，与一次性付款差额为,327,元,（方案,2,）,略解：由题意得,:,x(1+1.008,2,+1.008,4,+1.008,10,),50001.008,12,每期所付款额为,880.8,元，付款总额约为,5285,元，与一次性付款差额为,285,元,（方案,3,）,略解：,x(1+1.008+1.008,2,+1.008,11,),50001.008,12,每期所付款额为,438.6,元，付款总额约为,5263,元，与一次性付款差额为,263,元,一般地，购买一件售价为,a,元的商品，采用上述分期付款时要求在,n,个月内将款全部付清，月利率为,p,，分,n,次付款，那么每次付款数的计算公式是什么？,思考题,解,:,由题意 得,:,练习,:,某人购买价值为,10 000,元的彩电，采用分期付款的方法，每期付款数相同，购买后,1,个月付款一次，过,1,个月再付一次，如此下去，到第,24,次付款后全部付清，已知月利率为,0,8,，如果每月利息按复利计算，那么每期应付款多少元？（精确到,1,元,),【,解,】,设每期付款为,x,元,第,1,期付款,x,元连同到最后款全部付清时所生利息之和为,x,（,1,0.008,）,23,第,2,期付款,x,元连同到最后款全部付清时所生利息之和为,x(1+0.008),22,第,24,期付款,x,元，没有利息,于是各期所付的款连同到最后一次付款时所生的利息之和为,:,A,x,x,（,1,0.008,）,x(1+0.008),2,(1+0.008),23,(,元,),另一方面，这个商品的售价与其从购买到最后一次付款时的利息之和为,:,B=10,4,（,l,0.008,）,24,（,元）,由题意得,即,答：这个人每期应付款,460,元,x,（,l,0.008,1.008,2,十,十,1.008,23,）,10,4,1.008,24,从数学的角度看，本课题是等比数列前,n,项和的公式在购物付款方式上的一个实际应用。,问题的关键在于需要了解分期付款到底是怎么一回事，尤其要弄清以下情况和规定,：,在分期付款中，每月的利息均按复利计算；,分期付款中规定每期所付款额相同；,分期付款时，商品售价和每期所付款额在货款全部付清前会随着时间推移而不断增值；,小结,各期所付款额连同到