流体力学(相似原理与)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五章 相似原理与量纲分析,流动相似,相似准则,模型试验,量纲分析,51 流动相似,几何相似,运动相似,动力相似,初始条件和边界条件的相似,原型,：流体实际流动的实物。,模型,：通常把原型（实物）按一定比例关系缩小（或放大）的代表物，称为模型。,模型试验,：依据相似原理把流体流动原型按一定比例缩小制成模型，模拟与实际情况相似的流体进行观测和分析研究，然后将模型试验的成果换算和应用到原型中，分析判断原型的情况。,关键问题,：模型流体和原型流体保持流动相似。,流动相似,：两个流动的相应点上的同名物理量（如速度、压强、各种作用力等）具有各自的固定比例关系，则这两个流动就是相似的。,模型和原型保证流动相似，应满足：,几何相似运动相似 动力相似 初始条件和边界条件相似,一、几何相似,几何相似是指原型与模型的外形相似，其各对应角相等，而且对应部分的线尺寸均成一定比例。,对应角相等,p,=,m,以角标,p,表示,原型,(prototype),，,m,表示,模型,(model),。,线性尺寸成比例,式,中,l,长度比尺；,l,p,原型某一部位长度；,l,m,模型对应部位的长度。,面积比尺,由上式可知，几何相似是通过长度比尺,l,来表示的。只要任一对应长度都维持固定的比尺关系,l,，就保证了流动的几何相似。,体积比尺,二、运动相似,运动相似是指原型与模型两个流动的流速场和加速度场相似。要求两个流场中所有对应的速度和加速度的方向对应一致，大小都维持固定的比例关系。,速度比尺,时间比尺,则,加速度比尺,由上可知，运动相似是通过长度比尺,l,和时间比尺,t,来表示的。长度比尺已由几何相似定出。,因此，运动相似就规定了时间比尺，只要对任一对应点的流速和加速度都维持固定的比尺关系，也就是固定了长度比尺,l,和时间比尺,t,，就保证了运动相似。,由于各相应点速度成比例，所以相应断面平均流速有同样的速度比尺，即,三、动力相似,动力相似是指原型与模型两个流动的力场几何相似。要求两个流场中所有对应点的各种作用力的方向对应一致，大小都维持固定比例关系。,即,式中,F,p,原型某点上的作用力；,F,m,模型对应点上的作用力。,由牛顿第二定律,：,F=ma=,V,a,则力的比尺为,因为,则,即,上式可写成,上式说明，两个流动动力相似，它们的牛顿数相等；反之两个流动的牛顿数相等，则两个流动动力相似。,在相似原理中，两个动力相似流动中的无量纲数，如牛顿数，称为相似准数。动力相似条件（相似准数相等）称为,相似准则,。,无量纲数,在相似原理中,称为牛顿数,N,e,四、初始条件和边界条件的相似,初始条件：适用于非恒定流。,边界条件：有几何、运动和动力三个方面的因素。如固体边界上的法线流速为零，自由液面上的压强为大气压强等。,五、流动相似的含义,几何相似是运动相似和动力相似的前提与依据；,动力相似是决定两个流体运动相似的主导因素；,运动相似是几何相似和动力相似的表现；,凡流动相似的流动，必是几何相似、运动相似和动力相似,的流动。,52 相似准则,雷诺准则,佛汝德准则,欧拉准则,52 相似准则,在模型实验中，只要使其中起主导作用外力满足相似条件，就能够基本上反映出流体的运动状态。,一、雷诺准则,作用在流体上的力主要是粘性力。,牛顿内摩擦定律,粘性力,粘性力比尺,由于,作用力仅考虑粘性力，F=T，,即,于是,上式说明，若作用在流体上的力主要是粘性力时，两个流动动力相似，它们的雷诺数应相等。反之，两个流动的雷诺数相等，则这两个流动一定是在粘性力作用下动力相似。,化简后,或者,无量纲数,即 雷诺数,上式说明，若作用在流体上主要是重力，两个流动动力相似，它们的佛汝德数相等，反之，两个流动的佛汝德数相等，则这两个流动一定是在重力作用下动力相似。,二、佛汝德准则,作用在流体上的力主要是重力。即：重力,G=mg=,Vg,重力比尺,由于作用力,F,中仅考虑重力,G,，因而,F=G,，即,f,=,G,于是,化简得：,或,无量纲量,佛汝德数,所以,上式说明，若作用在流体上的力主要是压力，两个流动动力相似，则它们的欧拉数应相等。反之，两个流动的欧拉数相等，则这两个流动一定是在压力作用下动力相似。,三、欧拉准则,作用在流体上的力主要是压力,P,。即：压力,P=,p,A,由于作用力,F,中只考虑压力,P,，因而,F=P,，即,压力比尺,于是可得,化简得,则,无量纲数,欧拉数,所以,53 模型试验,模型律的选择,模型设计,53 模型试验,模型的设计，首先要解决模型与原型各种比尺的选择问题，即所谓模型律的问题。,一、模型律的选择,在进行模型设计时，根据原型的物理量确定模型的量值，这就是模型律的选择，模型律的选择应依据相似准则来确定。,现在仅考虑粘性力与重力同时满足相似。,由雷诺准则,则,（1）,由佛汝德准则,通常,g,=1,，则,上式为,（2）,要同时满足雷诺准则和佛汝德准则两个条件，式（1）和式（2）相等。即得：,要实现两流动相似，,一是,模型的流速应为原型流速的 倍；,二是,必须按 来选择运动粘度的比值，但通常这后一条件难于实现。,若模型与原型采用同一种介质，即 ，根据粘性力和重力的相似，由式（1）和式（2），有如下的条件：,显然，要同时满足以上两个条件，则 ,即模型不能缩小，失去了模型实验的价值。,从上述分析可见，一般情况下同时满足两个或两个以上作用力相似是难以实现的。,二、模型设计,模型设计首先定出长度比尺 ，再以选定的比尺 缩小（或放大）原型的几何尺度，得出模型流动的几何边界。,通常，模型和原型采用同一种类流体，则 ，然后按所选用的相似准则确定相应的速度比尺，再按下式计算出模型流的流量：,按以上步骤，便可实现原型、模型流动在相应准则控制下的流动相似。,或,例1：一桥墩长,l,p,=24m,，墩宽,b,p,=4.3m,，水深,h,p,=8.2m,，河中水流平均流速,v,p,=2.3m/s,，两桥台的距离,B,p,=90m,。取,=50,来设计水工模型试验，试求模型各几何尺寸和模型中的平均流速和流量。,水深,由给定的,=50,直接计算,解：（1）模型的各几何尺寸,桥墩长,桥墩宽,桥台距离,（2）模型平均流速与流量,对一般水工建筑物的流动，起主要作用的是重力，所以模型试验只需满足佛汝德准则。即,所以,在此,g,=1,，则 ，模型的流速为,模型流量为,因为,由于 ，,例2：汽车高,h,p,=1.5m,，最大行速为,108km/h,，拟在风洞中测定其阻力。风洞的最大风速为,45m/s,，问模型的最小高度为多少？若模型中测得阻力为,1.50kN,，试求原型汽车所受的阻力。,解：（1）求模型的最小高度,h,m,对于分析气体阻力问题，可按雷诺准则计算。雷诺准则为,故,此处 ，,（2）求原型汽车所受的阻力,由在推导牛顿数得到的力的比尺为,故,则,54量纲分析,量纲和量纲和谐原理,量纲分析法,一、量纲,(dimension),和量纲和谐原理,1、量纲,表示物理量的种类，称为这个物理量的,量纲,（或称因次）。,同一物理量，可以用不同的单位来度量，但只有唯一的量纲。在物理量的代表符号前面加“,dim,”表示量纲，例如速度,v,的量纲表示为,dim,v,。,量纲可分为基本量纲和导出量纲。,基本量纲,必须具有独立性，不能从其它基本量纲推导出来，而且可以用它来参与表示其它各物理量的量纲。在流体力学中常用长度、时间、质量（,L、T、M,）作为基本量纲。,由基本量纲推导出来的量纲，称,导出量纲,。它可用三个基本量纲的指数乘积形式来表示。对于任何一个物理量,x,，其量纲可写作,（1）,导出量纲,速度,dim,v,=LT,-1,加速度,dim,a,=LT,-2,密度,dim,=M L,-3,力,dim F=M L T,-2,压强,dim,p,=M L,-1,T,-2,物理量,x,的性质可由量纲指数,，,来反映。,如,，,有一个不为零，则,x,为有量纲量。,如,，均,为零，即,dim x=L,0,T,0,M,0,=1,则称,x,为无量纲量，也称纯数。,基本量与导出量适当组合可以组合成无量纲量。,无量纲量有如下特点：,量纲表达式中的指数均为零；,没有单位；,量值与所采用的单位制无关。,由于基本量是彼此互相独立的，故它们之间不能组成无量纲量。,2、无量纲量,量纲公式,问题1,：运动粘度的量纲是：,A.,L,/,T,2,；B.,L,/,T,3,C.,L,2,/,T,；D.,L,3,/,T,。,问题2,：速度,v,，长度,l,，重力加速度,g,的无量纲集合是：,A.B.C.D.,问题3,：速度,v,密度,压强,p,的无量纲集合是,：,A.B.C.D.,(C),(D),(D),3、量纲和谐,量纲和谐原理,：一个完整正确的物理方程，不仅其等号两边的数值相等，而且其中各项的量纲也一定相同。,由于物理方程的量纲具有一致性，可以用任意一项去除方程两边，使方程每一项变为无量纲量，这样原方程就变为无量纲方程。例如，动能方程,量纲分析法,就是应用量纲和量纲和谐来探求物理现象的函数关系，即建立物理方程的一种方法。,可改写为,又如，理想流体能量方程：,也可改写成,量纲和谐原理的重要性：,一个方程在量纲上应是和谐的，所以可用来检验经验公式的正确性和完整性。,量纲和谐原理可用来确定公式中物理量的指数。,可用来建立物理方程式的结构形式。,式中 k无量纲数；,k,1,，k,2,，k,3,，k,n,待定指数。,设,A、B、C,为基本量纲，则各因素的量纲为,二、量纲分析法,1、瑞利法,某一物理现象，各物理量间的函数关系为,式中,x,1,、x,2,、x,3,、x,n,和,y,为影响,物理现象的因素。,对上式进行量纲分析，以找出诸因素之间的数学表达式。上式可写成如下指数形式：,(,i,=1,2,3,n,),dim y=A,a,B,b,C,c,上式为量纲和谐方程组，解这个方程组便得到指数,k,1,，k,2,，k,3,，k,n,的数值，但因方程组中的方程数只有三个，当待定指数,k,n,中的指数个数,n3,时，则有,（n3）,个指数需要用其它指数值的函数来表示。,量纲表达式,由量纲和谐原理可知，等号两边的基本量纲的指数必须一致，所以有,A：,B：,C：,例：根据观察、实验和理论分析，认为总流边界单位面积上的平均切应力,0,与流体密度,、动力粘度,、平均流速,v,、水力半径,R,以及固体表面凸出的平均高度有关。,若令沿程阻力系数,，可得 。,各物理量的量纲,dim=M L,-1,T,-2,（dim F=M LT,-2,）,dim,=M L,-3,dim=M L,-1,T,-1,（,的单位,Ns/m,2,）,dim,v,=L T,-1,dim R=L,dim=L,解：由已知条件有,指数乘积式,将上述指数代入原指数乘积式，得,量纲表达式,量纲和谐方程组,M：1=k,1,+k,2,L:,1=,3k,1,k,2,+k,3,+k,4,+k,5,T:,2=,k,2,k,3,以上方程组有五个未知数，三个方程。,选定,k,3,、k,5,为待定,。,联立解上述方程组得,k,2,=2 k,3,k,1,=k,3,1,k,4,=-2+k,3,k,5,瑞利法适用于比较简单的物理问题。,=,又,则可得,若令,并代入上式得,2、,定理,其内容为：,若物理方程,f,(x,1,，x,2,，x,n,)=0,，含有,n,个物理量，其中涉及到,m,个基本量纲，则这个物理方程可用,（n,m）,个无量纲的,项的关系式来表示，即,F（,1,，,2,，,n-m,）=0,因为这些无量纲量用,表示，所以就把这个定理称为,定理。它首先由布金汉提出，也称布金汉定理。,现以实例来具体说明,定理的推演过程。,设影响圆球在液体中运动的阻力,F,D,与液体的密度,和动力粘度,，圆球直径,d,、相对速度,v,等因素有关，则可得如下函数关系,F,D,=,f,(,，,v,，d，),上式两边除以,，得,上式左边已无质量的量纲,M,，由量纲和谐原理知，右边也必